1、 1 一元一次方程竞赛选讲一元一次方程竞赛选讲 早在 300 多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想： 首先把宇宙万物的所有问题 都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转 化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性 一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括： 解方程、方程的解及其讨论 解一元一次方程有一般程序化的步骤， 我们在解一元一次方程时， 既要学会按部就 班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程 当方程中的系数是用字母表示时， 这样的方程叫含字母系数的方程， 含字母系数的
2、 一元一次方程总可以化为 axb 的形式，继续求解时，一般要对字母系数 a、b 进行讨论： 1当0a时，方程有惟一解 a b ； 2当0, 0ba时，方程无解； 3当0, 0ba时，方程有无数个解 例题 【例 1】 (1)已知关于 I 的方程x a xx4) 3 (23 和1 8 51 12 3 xax 有相同 的解，那么这个解是 (北京市“迎春杯”竞赛题) （2）如果 2004 2003 ) 1( 1 12 1 6 1 2 1 nn ，那么 n (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)设法建立关于 a 等式，再解关于 a 的方程求出 a 的值；(2)恰当地 解关于 n 的一元一次方程 注： 对于一
3、般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础， 后者是机智只有真正掌握一般步骤，才能“热能生巧” 方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用： (1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题； (2)代解：将方程的解代入原方程进行解题 当地解关于 n 的一元一次方程 2 【例 2】 当 b=1 时，关于 x 的方程 a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7 有无数多个解，则 a 等 于( ) A2 B一 2 C 3 2 D不存在 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 将 b=1 代人原方程， 整理所得方程， 就方程解的个数情况建立 a 的等式 【例 3】
4、是否存在整数 k，使关于 k 的方程(k 一 5)x+6=15x；在整数范围内有 解?并求出各个解 思路点拨 把方程的解 x 用 k 的代数式表示，利用整除的知识求出 k 【例 4】 解下列关于 x 的方程 (1)4x+b=ax-8； (a4) (2)mx-1nx； (3)2( 4 1 )( 3 1 mxnxm 思路点拨 首先将方程化为 ax=b 的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取值 的情况进行讨论 【例 5】已知qp、都是质数，并且以 x 为未知数的一元一次方程 px+5q=97 的解 是 1，求代数式 40p 十 101q+4 的值 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用代解法可得到qp、的关系式，进而综合运用整数相关知识分析 注：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的对于含字母系数 的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负 数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。 解一元一次方程常用的技巧有： (1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向 内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本性质化成整数；(4)逼用整 体思想，即把含有求知数的代数式看作一个整体进行变形 3
