1、 1 一元一次方程应用题解题方法论初探一元一次方程应用题解题方法论初探 方程的应用问题的教学可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段， 在学生的数学学 习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题的教学学时为 41 学时，约占整 个初中数学学时的 11.5） ，而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最 基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功，对后续包括二元一次方程组的应用、一 元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。 但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆 力较强，分析能力却相对仍然较弱，因此，要提高初一年级数学应用题教学效果，除了要逐 步提高学生的数学分析能力，
2、 及时地给学生以解题方法论的指导， 也是每一位数学教师必须 考虑和认真探索的问题。 显然， 列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。 笔者通过 多年的教学实践，认为初中数学应用题的教学基本可有如下几种方法： 一、直列法。即由题中的“和” 、 “少” 、 “倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的 方程。 例 1 在甲处劳动的有 27 人，在乙处劳动的有 19 人，现在另调 20 人去支援，使在甲 处人数为在乙处的人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 分析：显然，人员调动完成后，甲处人数2乙处人数。 解：设调 x 人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得： 27+
3、x=2(19+20-x)， 解之得 x17 20-x20173（人） 答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人。 二、公式法。学生熟识的公式诸如“路程速度时间” 、 “工作总量工作效率工作 时间” 、 “利润售价进价” 、 “利润率利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。 例 2 商品进价 1800 元，原价 2250 元，要求以利润率不低于 5%的售价打折出售，则 此商品最低可打几折出售？ 分析：根据利润率公式，列出方程即可。 解：设最低可打 x 折。据题意有： 5%=（2250 x-1800）/1800， 2 解之得 x0.84 答：最低可打 8.4 折。 三、 总分法。 即根据总量等于
4、各分量之和来列出方程， 用此法要注意分量不可有所遗漏。 例 3 “过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列题目，便可知他一生经过了多少 寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的 年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁 数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算， 丢番图活到多大， 才和死神见面？” 分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭” ，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几 个部分，解题时只需运用其总年龄各部分年龄的和即可得出解答。 解：设丢番图活了 x 年。据题意可得： x=x/6+
5、x/12+x/7+5+x/2+4 解之得 x84 答：丢番图共活了 84 岁。 由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图 33 岁结婚，38 岁得子，80 岁死了儿子，儿子活了 42 岁等。 四、同一法。这类题目的解题原理是：如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这 两个代数式必然相等。 例 4 一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是 5 千米/时，走了 4.5 千米时， 一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是 14 千米/时，他在 距离部队 6 千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？（报信时间忽略不计） 分析：该题的解答关键在于，通讯员从返回学校
6、到追上队伍所用时间与队伍走了 4.5 千米到距离部队 6 千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间） 。 解：设学校到部队的距离是 x 千米。据题意得： (x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14， 解之得：x15.5 答：学校到部队的距离是 15.5 千米。 当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例 4 的解答必然要用到公式： “路程速度 时间” 。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例 1 的解答也可以用总分法： 解：设人员分配后乙处人数为 x 人，甲处为 2x 人。分配后的总人数为 27+19+2066 3 人，据题意有： x+2x27+19+20， 解之得 x22， 2x44，故 442717（人） ，221939（人） 答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人。 可见，方程应用题方法论的训练，不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥” ， 而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。
