1、人教 A 版 数学选修 23 第一章 计数原理 第三节 二项式定理 第 1 课时 二项式定理二项式定理教学设计教学设计 湖南师大附中梅溪湖中学 曹稳 一、教材分析一、教材分析 本概念选自人教版 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 （1） 第一章第三节第一小节.第一节 计 数原理 、第二节排列组合的学习为研究二项式定理奠定了基础，一方面是因为它的证明要用到计数 原理，另一方面可以把它作为计数原理的一个应用，同时也为学习随机变量及其分布作准备另外，由于 二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，二项式定理对本章知识与第 二章知识的学习有承上启下的作用 本节课要在用计数原
2、理解决预设问题的基础上，得出二项式定理的猜想，并用计数原理给出证明 二、学情分析二、学情分析 学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它们解决一些计数问题了； 同时，在初中已经熟练掌握了 2 ()ab的展开公式，也了解了 3 ()ab的展开公式但是，学生对于计数 原理与这些多项式乘法运算公式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜 想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点 三、三、教法分析教法分析 根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有 的知识经验中产生新的
3、知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问 题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核 心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标 四、学法分析四、学法分析 ”建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学 生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归 纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律， 主动发现，主动发展 五、教学手段五、教学手段 制作 P
4、PT 与 Flash 动画教学课件，利用电脑等多媒体教学设备展现二项式定理的发现与证明过程，激 发学生的学习兴趣，提高学习的效率利用自制教具辅助引入问题的解决，增强数学活动的直观性。 六、教学目标六、教学目标 1.1.知识与技能：知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.2.过程与方法：过程与方法： (1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识 与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 (2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导 n ba
5、)( 的展开式提供了一种 方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依 3 3. .情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严 谨通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对 科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育。 4 4. .活动体验：活动体验： 通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、 主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的 七、教学重点、难点七、教学重点、难点 重点：重点：用计数原理分析 3 )(ba的
6、展开式，得到二项式定理 难点：难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 人教 A 版 数学选修 23 第一章 计数原理 第三节 二项式定理 第 1 课时 八、教学过程八、教学过程 教学过程教学过程 师生互动师生互动 设计意图设计意图 （一）复习旧知，提出问题（一）复习旧知，提出问题 问题问题 1 1：一个箱子装着标有字母ba,的两个大小，形状一样的球， 从中摸出 1 个球， 有可能出现哪些结果？每一种结果有多 少种情况？ 问题问题 2 2： 两个箱子均装着标有字母ba,的两个大小， 形状一样的球， 从每个箱子中摸出一个球， 共摸出 2 个球， 有可能出
7、现哪 些结果？每一种结果有多少种情况？ 问题问题 3 3： 三个箱子均装着标有ba,字母的两个大小， 形状一样的球， 从每个箱子个摸出一个球， 共摸出 3 个球， 有可能出现哪 些结果？每一种结果有多少种情况？ 1、教师由浅 入深提出问题， 并出示自制教 具，直观引导学 生思考 2、 学生口答， 教师创新板书结 果，为后面的观 察归纳作好铺 垫 “建构主义” 观点 认为：情境必须有 利于学生对所学内 容的意义建构根 据教学内容特点和 学生的认知规律， 复习旧知识，提问 设疑，逐步推进， 为学生学习新课内 容作知识上、方法 上、 心理上的准备， 同时为后面发现、 证明二项式定理奠 定了联想、类比
8、的 思想方法基础 ( (二二) ) 归纳类比，提出猜想归纳类比，提出猜想 问题问题 4 4：请同学们认真观察每个问题的结果及其结果的种数，是否 联想到我们非常熟悉的代数运算公式呢？ ,)( 1 baba 222 2)(bababa， 32233 33)(babbaaba 问题问题 5 5：请同学们大胆地猜想 n ba)( 的展开式是怎样的？ 猜想：猜想： )()( *110 NnbCbaCbaCaCba nn n kknk n n n n n n 1、 教师引导学生 观察教师在黑板 上的板书，从结 构形式与数值特 征上展开联想 2 2、教师鼓励学 生大胆猜想，请 一位同学上台板 书猜想结果 1
9、、 “建构主义” 观点认为：要把学 习者原有的知识经 验作为新知识的生 长点，通过教师引 导学生对问题的结 果的观察类比，实 现旧知向新知的迁 移； 2、“联想”与 “思考”是学习者 意义建构的关键， 学生通过对三个展 开式的自主探讨， 亲 历 了 知 识 的发 生、发展、形成的 过程，从而发现问 题、提出问题，并 在教师的引导下解 决问题，达到了” 创造性使用教材， 人教 A 版 数学选修 23 第一章 计数原理 第三节 二项式定理 第 1 课时 培养学生的创新意 识”的教学目的， 3、牛顿说过：没有 大胆的猜想，就做 不出伟大的发现， 通过观察归纳，培 养学生的归纳猜想 能力 ( (三三)
10、 ) 说理证明，形成定理说理证明，形成定理 说理证明：说理证明： n ba)( 是 n 个)(ba 相乘， 相当于有 n 个箱子， 从每个箱子 摸一个球，共摸出 n 个球， n a相当于没摸出b球的结果，ban 1 相 当于摸出 1 个b球的结果，同学们看这个式子 kkn ba ，这相当于 摸出 k 个b球的结果，一直到 n b相当于摸出 n 个b球的结果， ，而 每一项对应的系数就是每一种结果对应的种数 从而就出现我们今 天所要学习的非常重要的定理-二项式定理 等式的右边 nn n kknk n n n n n bCbaCbaCaC 110 叫 做二项展开式 教师通过课件动 画演示，将课前
11、的计数问题推广 到 n 个盒子的情 形，说理证明二 项展开式中每一 项的意义，重点 证明通项的意 义 郭沫若说过： “既异 想天开，又实事求 是，这是科学工作 者特有的风格” 通 过仿照 3 )(ba展 开式的探究方法， 二项式定理的证明 采用“说理”的方 法，从计数原理的 角度对展开过程进 行分析，概括出项 的形式，用组合知 识分析展开式中具 有同一形式的项的 个数，从而得出用 组合数表示的展开 式，培养学生严谨 推理的数学思维意 识 ( (四四) ) 熟悉定理，发现特征熟悉定理，发现特征 问题问题 7：进一步研究二项式定理，同学们可以发现二项展开式有哪 些特征吗？ 1、 教师从如何更 熟练
12、地记忆二项 达尔文说过：科学 就是整理事实，以 便从中得出普遍的 规律或结论，通过 人教 A 版 数学选修 23 第一章 计数原理 第三节 二项式定理 第 1 课时 1. 项数：共有1n项. 2. 次数：各项字母a、b指数和都等于n 字母a按降幂排列，次数由n递减到 0； 字母b按升幂排列，次数由 0 递增到n 3. 二项展开式的通项: 式中的 kknk n baC 叫做二项展开式的通项. 用 1k T表示.即通项为展开式的第k项: 1k T= kknk n baC 4. 二项式系数: 依次为 n n k nnnn CCCCC, 210 ， 这里), 1 , 0(nkC k n 称为二项式系数
13、. 展开式的角度提 出问题，引导学 生观察展开式的 特征 2、 学生口答观察 结果，教师板书 示范 对二项式定理进一 步研究，发现二项 展 开 式 的 一 些特 征，掌握规律；进 一 步 提 高 学 生归 纳、推理的能力， 强化对二项式定理 的深度理解，为后 面对二项式系数性 质 的 研 究 作 好准 备，从根本上掌握 运用二项式定理解 决问题的原理 （五）结束语（五）结束语 二项式定理最高中数学中一个非常重要的定理，最先由牛顿 提出， 后来高斯进行了严格的证明 其实二项式系数的特征最早由 我国南宋时期杰出的数学家杨辉提出， 中国古代数学史有自己的光 辉灿烂的篇章，作为现代的我们要更好的学习数
14、学、应用数学，大 胆地猜想牛顿说过：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发 明 教师激情讲述二 项 式 定 理 的 发 现、发展史 追溯二项式定理发 现、证明的历史， 介绍中国古代数学 史，激发学生的学 习欲望，弘扬科学 的 探 究 与 钻 研精 神，培养学生的爱 国主义情操 九九、教学资源、教学资源整合与整合与运用运用说明说明： 在资源整合与运用方面，本概念教学设计有以下在资源整合与运用方面，本概念教学设计有以下5大创新之处：大创新之处： 创新之一：巧妙创设课题创新之一：巧妙创设课题情境情境 建构主义认为：活动是第一位的，在做数学中学数学.因此，我设置了摸球活动来导入新课，从而激发 学生的学
15、习兴趣，让学生体会到数学来源于生活实际，为学生架起一条“从生活走向知识”的桥梁，帮助 学生从特殊到一般、从感性认识到抽象思维过渡. 创新之二：创新之二：优化课堂教学方法优化课堂教学方法 坚持以学生为主体，学生思维为主线，让学生经历积极思考、解决问题、类比联想、归纳猜想、推理 证明、定理应用等过程，体现了学生学习的主体性，有利于学生养成自主探究、主动发展的学习习惯 ,注 重“四基”数学课程目标，落实学生数学核心素养的培养. 人教 A 版 数学选修 23 第一章 计数原理 第三节 二项式定理 第 1 课时 创新之创新之三三：创新板书设计创新板书设计 在板书设计中，将三种情形摸球结果与结果的种数按三
16、角形形状板书，借助几何直观，利用图形理解 二项式定理的特征，为二项式定理的猜想与证明奠定了方法基础，培养学生创新思维与“直观想象”核心 素养 创新之创新之四四：渗透数学思想方法：渗透数学思想方法 J.S 布鲁纳指出： 领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路” .因此， 我将多种数学思想贯穿于 本设计中的各个环节.比如教师在由摸球问题引入到课题的设计上，渗透了类比思想；在由观察 23 () ,()abab展开式引导猜想()nab展开式的设计中，渗透了由特殊到一般的数学思想 创新之创新之五五：培养学生人文素养：培养学生人文素养 新课标指出， “高中数学课程提倡体现数学的文化价值”,因此，我适时挖掘教材中的人文教育因素. 比如在追溯二项式定理发现、证明的历史，介绍中国古代数学史的设计上，激发学生的学习欲望的同时培 养学生的科学人文精神和理性探究精神，达到“挖掘潜能、完善人格”的目的需求.同时，适时对学生进 行爱国主义思想教育
