1、 1 “充要条件”教学设计 张XX（内蒙古师范大学附属中学 010020） 一.教学内容解析 1.教学内容 “充要条件”是高中数学教学中的最为重要的数学概念之一.“课标”中对于本节内容 的教学要求是通过对典型数学命题的梳理， 理解充分条件的意义， 理解判定定理与充分条件 的关系；理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充要条件的意义，理 解数学定义与充要条件的关系.并从集合角度对概念加以剖析，使学生更加直观地理解概念 的内涵。 2.知识分析 本节内容属于概念性知识，教学重点是对概念的理解。是高中人教 B 版数学选修 2-1 第一章简单逻辑用语第三节的内容。首先，教材中先对命题“若
2、 p 则 q”的真假进 行讨论： “若 p 则 q”为真命题，等价于“由 p 推出 q” 。之后，给出“充分条件” ， “必要条 件” ， “充要条件”的概念，并在具体应用中始终强调命题“若 p 则 q”为真与“pq”与 “p 是 q 的充分条件” ， “q 是 p 的必要条件”这四种表达形式的一致性。这样安排，体现知 识层层深入，螺旋上升，符合学生认知规律。另外，对这一概念的学习，既可以培养学生的 逻辑推理能力，又可以让数学核心素养在课堂中落地生根。 3.素养体现 在普通高中数学课程标准（2017 年版)中，这部分知识调整到了预备知识这一主题中， 内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等
3、关系、从函数观点看一元二次方程和一元 二次不等式。足见这部分知识对整个高中阶段数学学习的重要性。 在“充要条件”的教学中，首先，要体现逻辑推理数学素养，提升学生研究问题严谨性 与精准性的能力。 其次， 由具体实例抽象生成数学概念， 体现数学抽象在概念教学中的作用。 再次，通过集合思想直观呈现概念的几何含义，培养学生直观想象数学素养。 二教学目标设置 1.了解“若 p 则 q”形式的命题，能正确描述“条件”和“结论” ，会判断其真假； 2.能够理解“若 p 则 q”为真与“pq”与“p 是 q 的充分条件” ， “q 是 p 的必要条件” 这四种表达形式的一致性； 3.会用集合思想直观理解“充分
4、条件”与“必要条件” ，理解“以小见大，大而必要” 的含义； 4.能够充分理解“充分条件” ， “必要条件”与“充要条件”之间的区别； 5.将“直观想象” 、 “数学抽象”和“逻辑推理”核心素养落实到课堂教学中。 三学生学情分析 笔者所带班级学生是文科学生， 大部分同学具有良好的数学素养， 同时教学设备也比较 2 先进，所以，整个教学过程是在多媒体辅助，结合传统的板书教学之下完成的。但也会存在 教学中的有利因素和不利因素。 1.有利因素 学生初中已经接触过命题及其真假的判断，所以，教学中，可以列举严谨但不失生活常 识的命题作为引例，之后再抽象生成精准概念，这样更有助于学生理解概念，理解数学源于
5、 生活，服务于生活。 2.不利因素 “充分条件和必要条件” 是密不可分的两个概念， 也是理解 “充要条件” 的前提和基础。 学生对于“充分条件”比较容易接受和理解，但对于“必要条件”的理解相对困难一些。所 以，教学中，采用通俗易懂的命题先把概念鉴定清楚，然后再进行抽象概括。这样设计便于 突破难点。 3.应对策略 鉴于此，教学中用一个较为易懂的命题“如果我生活在内蒙古，那么我生活在中国”为 例引入课题，并通过集合思想让学生直观理解过程，进而用具体命题先得出“充分条件”和 “必要条件”这两个概念，并始终强调“一箭双雕” ， “以小见大，大而必要”的功能。即在 “pq”这一过程中，能生成两个概念：
6、“p 是 q 的充分条件”和“q 是 p 的充分条件” ，即 所谓的“一箭双雕” ，从集合观点来看，不难理解的是“小范围能够推出大范围” ， “想在小 范围就必须具备在大范围” ，即所谓的“以小见大，大而必要” 。这样反复强化，有助于学生 更加深入地理解概念。 4.教学难点 本节的教学难点是充要条件的判断，首先要意识到这是一个“双向判断”的过程，再结 合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解“充要条件”中条件与结论的等价性，进而理解数 学概念与充要条件的关系。 四教学策略分析 鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，课堂教学主要遵循以下思 路： 1.坚持“教师主导，学生主体”的教学理
7、念 本节课从教学内容来看，是通过对典型命题分析，抽象出新的数学概念。所以，教师更 多应站在一个引路人的角度，让学生发现命题的条件与结论之间的相互制约与相互依赖关 系，进而逐步形成概念。 2.实例引入，启发诱导，注重对学生思维的训练 教师通过命题引入，引导学生多角度审视问题，分别从命题的真假，条件与结论的推出 关系，集合思想的直观解释三个方面入手，既重视理性分析，又强化感性认识。在具体命题 3 中得出“充分条件”和“必要条件”的概念，从而提升学生对一个具体的数学命题的理解能 力，为进一步抽象归纳一般概念打下基础。 3.注重创新，亲切幽默，让学生轻松参与课堂 整个教学过程划分为五个环节： 问题引入
8、， 概念生成，应用提升， 课堂小结， 布置作业。 以问题为主线，将命题的真假与“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”联系起来，理 解其实质的统一性。当然，为了增加学生的参与度，课堂不能没有新意和幽默感，所以，设 置了“中国地图和内蒙古地图”的直观感知过程，归纳了“一箭双雕”，“以小见大，大而 必要”的记忆规则，最后，用“诗歌”的形式进行课堂小结。 五.教学过程 1.问题引入 在数学和日常语言中，我们经常会遇到“若 p 则 q”形式的命题，其中称 p 为命题的条 件，称 q 为命题的结论。 下面，为了更加准确地理解命题，我给同学们举一个严谨但不失生活常识的例子： 引例引例：如果我生活在内蒙古，
9、那么我生活在中国. 问题设置问题设置： （1）这个命题的条件和结论分别是什么？（2）这个命题的真假？（3）请同 学们再举几个命题，并说明条件与结论之间的关系。 【设计意图设计意图】给出学生比较熟悉的命题实例，让学生熟悉命题的构成，并且会通过逻辑 推理得出命题的真假，由此得到命题“如果 p 则 q”为真的等价说法“pq” 。 通过地图展示，将命题的“条件”与“结论”视为集合，从集合观点让学生直观体会命 题中“条件”与“结论”的包含关系。之后，在具体问题中让学生初步感受“充分条件”和 “必要条件” 。 问题（3）的设计意图是想从中获得学生对知识的理解程度，以达到指导下面的教学流 程。 2.概念生成
10、 抽象出“充分条件” “必要条件”的概念，流程如下： 4 ”是真命题则“如果qp qp .的必要条件是 的充分条件，是 pq qp 在这一教学过程中，由于之前已有实例作为铺垫，所以采用提问学生的方式进行。 【板书概念板书概念】 “如果“如果 p 则则 q”为真命题，等价于“”为真命题，等价于“pq” ，并称” ，并称 p 为为 q 的充分条件，的充分条件，q 为为 p 的必要条件。的必要条件。 【板书注释】概念可理解为“一箭双雕，以小见大，大而必要。 ”【板书注释】概念可理解为“一箭双雕，以小见大，大而必要。 ” 题组一：判断下面说法的真假，并用三种不同的等价说法描述这一逻辑关系。题组一：判断
11、下面说法的真假，并用三种不同的等价说法描述这一逻辑关系。 （1）如果四边形是菱形，那么四边形是平行四边形； （2）等边三角形等腰三角形； （3）梯形是平行四边形的充分条件； （4）ab=0 是 a=0 的必要条件. 【设计意图设计意图】题组一的四个小题分别从四个角度给出，这样设计可以更好地了解到学 生对概念的理解程度，以便发现问题，及时解决问题。 题组二：判断下列命题的真假题组二：判断下列命题的真假. （1）p: ab, q: a+cb+c. （2）q: a+cb+c, p: ab. 【设计意图设计意图】两个命题其实是互逆命题，由之前知识做铺垫，引导学生说出 p 既是 q 的充分条件，又是 q
12、 的.必要条件，从而简称为“充要条件” ，同理可得“q 是 p 充要条件” 。 【板书概念板书概念】如果“如果“pq” ，且“” ，且“qp” ，则称” ，则称 p 与与 q 互为充要条件互为充要条件. 【板书注释】【板书注释】概念可理解为“双向判断，实为等价。 ”概念可理解为“双向判断，实为等价。 ” 3.应用提升 例例 下列命题中，哪些 p 是 q 的充要条件 （1）p: BA ， q: ABA （2）p: 0, 0yx ， q: 0 xy （3）p:四边形的两组对边分别平行， q:四边形为平行四边形 （4）p: 1sin ， q: 90 【设计意图】通过对 4 个命题的双向判断，反馈学生
13、对充要条件的理解，并理解充要条 件与数学定义的关系。另外，为了加深学生对概念的理解，可以从集合角度予以解释 4 个命 题。 4.课堂小结 5 本节课是一节概念课，教学重点是要将概念的来龙去脉讲清楚，而不是抛出定义，然后 大量习题训练。所以，笔者先采用通过具体命题引出概念，再让学生举例熟悉概念，然后抽 象归纳出精准概念的教学流程。然后再从集合角度直观给出三种关系的图形解释。所以，课 堂小结时，为了精准归纳有富有“诗意” ，给出以下四句话： 对命题研究真假对命题研究真假 看箭头一箭双雕看箭头一箭双雕 用集合以小见大用集合以小见大 论充要实为等价论充要实为等价 5.布置作业 作业：作业：1.课本 2
14、2 页 B 练习 1 题、2 题； 充要条件教学点评充要条件教学点评 内蒙古呼和浩特市教研室 杨鲜枝 （正高级、特级教师） 本节课属于概念课，所以教学重点应该放在对概念的理解之上，教学难点是 对具体问题的准确判定。 张生老师的这节课的实例引入生动有趣，课堂节奏把控得当，教学设计环环 相扣，教学过程妙语连珠、生动幽默。这样的设计能够抓紧学生的思维点，符合 学生的认知规律、符合概念课的教学内容特点以及新课程改革的教育教学理念， 注重概念的生成和理解， 教学过程中能够调动学生积极参与互动， 内容理解深刻、 透彻，教学思路清晰、自然，教学重点突出，本节课有以下 5 个亮点. 1、课题引入生动有趣 课堂
15、开始就对课题研究内容进行概括，可谓开门见上，主题鲜明，符合数学 课的味道。以“如果我生活在内蒙古，那么我生活在中国”为例引入，并从生活 常识的角度、集合直观的角度逐步分析，通过具体问题生成概念，设计新颖。 2、概念形成自然流畅 本节课虽然在第 12 分钟才正式得出“充分条件”和“必要条件”的概念， 但事实上通过具体实例分析， 学生早已理解概念。 所以， 概念形成不会显得突兀， 反倒通过课堂学生表现来看，这样的设计更为合理有效。另外，张生老师对概念 的归纳解释也是一个亮点： “一箭双雕” 、 “以小见大，大而必要” ，这样的归纳很 是吸引学生眼球。有助于学生更加深刻地理解概念。 6 3、数学活动
16、充实有序 在整个教学过程中，学生主动举手，教师提问交流，氛围自然，其乐融融。 看似一节公开课，更像一节常态课。通过题组训练，强化概念间的区别和联系， 使学生对概念的本质属性有更为深刻的理解. 同时为下一节充要条件做好铺垫， 体现了教师教学的“大局观”. 4、设计创新，情切幽默 本节课中有多处设计可谓新意满满： 开始的地图解释引例， 既体现直观想象， 又体现集合思想；对概念的高度概括，既有助于学生形象化的理解概念，又增加 了教学的趣味性，可谓寓教于乐；小节中的“四句话”概括，紧扣主题，妙不可 言！同时，张生老师教态和蔼幽默，和学生是在用心互动，师生关系如此融洽， 值得学习推广. 5、关注核心素养养 本节课，在概念生成过程中，张生老师注重对直观想象、数学抽象、逻辑推 理等数学素养的落实，重视具体与一般的转化思想循循善诱，润物无声。 一点不足：板书设计稍有逊色。
