1、 1 / 7 3.43.4 基本不等式基本不等式 教学设计教学设计 云南省玉溪第一中学云南省玉溪第一中学 飞飞 XX 2 / 7 一、教学内容解析：一、教学内容解析： 1、本节内容选自普通高中课程标准实验教科书 （人教 A 版教材）高中数学必修 5 第三章第 4 节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的 基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束 性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修 4-5 进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础， 也是体
2、会数形结合、 分类讨论等 数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些 特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、 在高中数学中， 不等式的地位不仅特殊， 而且重要， 它与高中数学很多章节都有联系， 尤其与函数、 方程联系紧密， 因此， 不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、 重点， 有时也是难点 二、学情分析：二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对
3、于分析 法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已 知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标：三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升 数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会 数学的严谨性，发现数学的实用性. 四、教学重点与难点：四、教学重点与难点： 1 1、教学重点：、教学重点：基
4、本不等式的推导及其简单应用 2 2、教学难点：、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值. 五、教学策略分析：五、教学策略分析： 1、由情景 1 和情景 2 引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而 激发学生的学习兴趣； 2、精心设置“问题串” ，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨 论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导 的教学理念； 3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再 师生共同完成的策略； 4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不
5、等式求最值的要 点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等 方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心； 5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作 为重点； 6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心 素养在数学学习中的作用。 3 / 7 六、教学过程设计：六、教学过程设计： 教学教学 环节环节 教学内容教学内容 师生活动师生活动 设计意图设计意图 一、一、 情境情境 创设创设 导入导入 课题课题 情境情境 1 1：在农村，为防止家畜家禽对菜地的破 坏，常用篱笆围成一个菜
6、园. 1.如果菜园的面积一定，为节省材料，就 应该考虑所用篱笆最 短 的问题；最短是 ？ m； 2.如果所用篱笆的长度一定，为了充分利 用材料，就要考虑所围菜园面积最 大 的问 题.最大是 ？m 2； 师： 引导学生思考 生：思考回答 师： 学习了本堂课 的内容就很容易 解决这两个最值 问题 情境 1 提出的 实际问题新颖 有趣，简单易 懂，贴近生活， 激发学生的学 习兴趣， 也为第 三环节实际应 用埋下伏笔. 情境情境 2 2：观看第 24 届国际数学家大会视频，注 意观察这个图形在视频中出现了多少次？ 问题问题：你能在这个图形中找出一些相等关系或 不等关系吗？ 师：播放视频 生： 观看视频
7、后回 答 师： 强调会标上的 图形的重要性及 其对数学学习的 意义 情境 2 通过会 标导入新课， 贴 近现实， 可激发 学生的探究欲 望， 也让学生感 受到数学文化 的同时， 激起学 生的爱国情怀. 二、二、 自主自主 探究探究 推导推导 公式公式 问题问题 1 1：对于“情景导学”中的图形，把“风 车”抽象成平面图形.在正方形ABCD中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直 角边长为, a b，正方形ABCD的面积为S，4 个直角三角形的面积和为 1 S，则： （1）正方形ABCD的边长为 （2）S （3） 1 S (4)由图可知，S 1 S ， 即 生：思考后回答 师： 借助几
8、何画板 动态演示面积变 化过程， 尤其注意 归纳取等号的条 件 问题 1 将问题 细化， 以填空形 式呈现问题， 并 利用图形的面 积大小关系， 循 序渐进地抽象 出重要不等式， 几何画板演示 直观形象， 体会 数形结合的思 想. 问题问题 2 2： 不等式 22 2abab对任意的实数都 成立吗？ 重要不等式：重要不等式： 22 2abab(0,0)ab， 当且仅当ab时取等号 师： 分析问题 1 中 推导出的不等式 中, a b的取值范 围，提出问题 2 生：思考后回答 师:如何证明？ 问题 2 培养学 生学习的严谨 性和逻辑推理 能力. 4 / 7 生：思考后证明 师： 板书重要不等 式
9、， 并解释当且仅 当的含义 问题问题 3 3：如果0,0ab，用,ab分别代 替重要不等式中的, a b，可得什么？取等号的 条件是什么？ 基本不等式：基本不等式： 2 ab ab (0,0)ab， 当且仅当ab时取等号. 生：思考后回答 师： 板书基本不等 式 问题 3 体会代 换在数学学习 中的作用， 感受 数学知识间的 联系. 问题问题 4 4：还有没有其他证明基本不等式的方 法？ 法（一）作差比较法 2 () 0 22 abab ab 法（二）分析法 要证明 2 ab ab ，只需证明： 2abab，要证只需证明 20abab ，要证只需证明 2 ()0ab.显然， 是成立的.当且仅
10、当ab时，中的等号成立. 师:指导学生分组 讨论证明基本不 等式 生： 分组讨论证明 基本不等式 师： 实物投影展示 学生成果， 并和学 生一起分析证明 思路 师生共同完成分 析法的证明过程 先从几何图形 中的面积关系 获得基本不等 式， 然后从代数 的角度推导， 实 现由感性认识 到理性认识的 升华. 引导学生从多 个角度证明基 本不等式， 培养 逻辑推理能力， 小组讨论可培 养学生的合作 交流能力， 实物 投影可及时发 现学生的问题. 探究探究：如图，AB是圆O的直径，点C是AB 上一点，,ACa BCb. 过点C作垂直于AB的 弦DE， 连接AD、BD、 OD.则： （1）半径OD （2
11、）CD （3）显然CD OD， 即 师： 指导学生分组 讨论基本不等式 的几何意义 生：分组讨论，探 索基本不等式的 几何意义 师： 实物投影展示 学生成果， 难点是 CD的求法，及时 指出问题， 并用几 何画板演示 借助初中阶段 学生熟知的几 何图形， 并将问 题细化， 以填空 形式呈现问题， 有利于学生循 序渐进地探索 出基本不等式 的几何意义， 并 进一步领悟基 本不等式中等 号成立的条件， 5 / 7 基本不等式的几何意义基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一 半. ab又可称为a与b的几何平均数， 2 ab 又 可称为a与b的算术平均数，基本不等式也叫 做均值不等式. 基本不等式的
12、代数意义：基本不等式的代数意义：两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数. 升华理解. 小组讨论可培 养学生的合作 交流能力， 投影 展示成果可及 时发现学生的 问题. 用数学符号语 言、 日常语言和 图形语言表述 基本不等式， 将 几何意义和代 数意义一起讲 解， 有助于学生 从多个角度认 识基本不等式， 培养学生数学 表达能力. 问题：重要不等式和基本不等式有什么联系与 区别？ 生：思考后回答， 基本不等式可由 重要不等式推导 得到， 但它们的适 用条件不同. 辨析两个不等 式的区别和联 系，加深理解 三、三、 实际实际 应用应用 加深加深 理解理解 例例：（1）用篱笆围一个面积为 2
13、 100m的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短.最短的篱笆是多少？ （2） 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大.最大面积是多少？ 解： （1） 设长为xm， 宽为ym， 则100 xy ， 篱笆长为2()xym， 由10 2 xy xy 可 得：2()40 xy，当且仅当10 xy时， 等号成立，所以这个矩形的长和宽都为10m 时，篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则 2()36xy，即：18xy，矩形菜园的 面积为xy 2 m.由9 2 xy xy 可得： 师：分析解题思 路， 将实
14、际问题转 化为数学问题， 注 意分析为何可用 基本不等式来解 决该问题，PPT 展 示（1）的解答过 程， 请一学生板演 （2） ， 指导学生完 成（2） 生：一学生板演 （2） ， 其他学生自 己完成（2） 师： 适当引导学生 其他解法，比如： （1）也可转化为 对勾函数， （2）可 转化为二次函数 和情景 1 前后 呼应，学以致 用， 把两个实际 问题化归为利 用基本不等式 求最值的数学 模型， 体会数学 的应用价值， 增 强学生的学习 的动力和信心. 板演有利于及 时发现学生解 答中的问题， 及 时纠错. 一题多解可更 好的培养学生 思维的发散性. 6 / 7 81xy ，当且仅当9xy
15、时，等号成立， 所以这个矩形的长和宽都为9m时，菜园的面 积最大，最大面积是 2 81m. 题后反思：题后反思：结合基本不等式，你能将本题的结 论推广为更一般的情况吗？ 结论：设结论：设0,0ab， 1、若abP（定值） ，则当且仅当ab时， ab有最小值2 P； 2、 若abS（定值） ， 则当且仅当ab时， ab有最小值 2 4 S . 要点：一正二定三相等 师： 引导学生将实 际问题抽象为数 学问题， 明确已知 和所求， 将问题一 般化. 生： 思考后将例题 的结论推广为更 一般的情况. 师：板书结论，指 导学生根据基本 不等式的变形理 解记忆该结论 师生共同归纳该 结论的三个要点 在学
16、生经历例 题中的两个最 值问题之后， 及 时提问， 培养学 生题后反思的 好习惯， 将特殊 问题一般化， 举 一反三， 总结规 律， 有利于构建 系统完整的知 识结构. 四、四、 巩固巩固 强化强化 综合综合 提升提升 练习练习 1 1：（1）把 36 写成两个正数的积，当这 两个正数取什么值时，它们的和最小？和的最 小值是多少？ （2）把 16 写成两个正数的和，当这两个正数 取什么值时，它们的积最大？积的最大值是多 少？ 解：（1）两个正数都是 6 时，它们的和最小， 和的最小值是 12. （2）两个正数都是 8 时，它们的积最大，积 的最大值是 64. 师： 指导学生用刚 才的结论解决该
17、 问题， 注意分析三 个条件是否都满 足 生:抢答练习 1 练习 1 设置较 为基础， 主要是 让学生体会用 基本不等式求 最值的方便之 处，也为练习 2 做好铺垫. 练习练习 2 2：判断下列 3 个命题是否正确，并说明 理由. （ 1 ） 函 数 1 yx x 的 最 小 值 为2. （ ） （2）函数 4 2 yx x (2)x 的最小值为 6. （ ） （3）函数 2 2 1 9 9 yx x 的最小值是 2. （ ） 解：（1）假. x可为负数，不能直接用基本不等式， 师： 让学生小组讨 论，解决该问题 生：小组讨论，小 组代表回答问题 师：点评学生回 答，并指出：运用 基本不等式求
18、最 值， 三个条件缺一 不可， 尤其三相等 最忽略. 练习 2 可加深 对用基本不等 式求最值的条 件的理解， 小组 讨论可培养学 生的合作交流 能力， 小组代表 回答问题可培 养学生数学表 达能力、 概括能 力和逻辑推理 能力. 7 / 7 1 yx x 无最小值. （2）真. 4 (2)2 2 yx x 2 426，当且 仅当4x时取等号，所以 4 2 yx x (2)x 的最小值为 6. （3）假.一正二定满足，但等号取不到 五、五、 课堂课堂 小结小结 布置布置 作业作业 归纳回顾本堂课的内容：归纳回顾本堂课的内容： 1、由会标数学抽象得到几何图形（赵爽弦图） 2、由赵爽弦图直观想象得
19、重要不等式 3、由重要不等式代换可得基本不等式并依据 不等式的性质证明基本不等式 4、探索基本不等式的几何意义 5、运用基本不等式求最值：三个条件缺一不 可 师： 1、强调课堂中涉 及到的数学思想： 特殊到一般， 分类 讨论，数学结合 2、 数学核心素养： 数学抽象， 逻辑推 理，数学建模，直 观想象， 数学运算 从多个角度总 结归纳本堂课 的主要内容， 不 仅重视知识本 身， 更重视知识 间的联系和研 究问题的方法； 另外， 更强调了 数学思想方法 和数学核心素 养在数学学习 中的作用. 布置课后作业：布置课后作业： 1、必作题： 课本 100 页：A 组 2 101 页：A 组 3、4，B 组 1 2、选作题： 课本 101 页：B 组 2 体现作业的巩 固性和发展性 原则， 分为必做 题和选作题， 又 充分考虑了学 生的差异性.
