1、焦XX 余弦定理 教学内容 本章主要是通过任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形 中边长和角度之间的数量关系，即正弦定理和余弦定理，运用它们解 决一些测量和与几何量有关的问题，本章教学的重点是运用两个定理 解斜三角形 本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第 一节余弦定理的第一课时余弦定理是揭示任意三角形边角之间关系 的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的 重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和 “角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机地结合起来，为解决 与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和 证明三角形中
2、的等式提供了重要的依据 教学内容 教科书中首先通过探究的方式，指出了“已知三角形的两边和它们 的夹角，根据三角形全等的判定定理，这个三角形是大小、形状完全确 定的三角形”，这样就可以从量化的角度看待此问题，直截了当提出问 题：“已知三角形的两边和它们的夹角，如何计算出三角形的另一边和 另两个角呢？”教科书上主要用向量的方法推导出余弦定理，同时提出 坐标法等方法也可以证明余弦定理为了体现由三边确定三角形，通过 公式的变形指出了可以通过三角形的三边计算出三角形的三个内角，体 现了量化思想最后通过两个例题使学生掌握余弦定理及其推论的应用， 同时让学生学会求三角形内角时如何选择正弦定理和余弦定理 教学
3、目标 理解余弦定理的证明方法，进而掌握余弦定理；能够从余弦定理解余弦定理的证明方法，进而掌握余弦定理；能够从余弦定 理中抽象出勾股定理，明确勾股定理和余弦定理的关系理中抽象出勾股定理，明确勾股定理和余弦定理的关系. . 能够利用余弦定理及其推论解三角形能够利用余弦定理及其推论解三角形, ,培养学生的数学运算能力，培养学生的数学运算能力， 能合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，提升学生的逻辑推能合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，提升学生的逻辑推 理能力理能力. . 让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程 思想等数学思想方
4、法，以及特殊与一般的辩证关系，注重培养学思想等数学思想方法，以及特殊与一般的辩证关系，注重培养学 生的数学核心素养生的数学核心素养. . 学情分析 已备知识：全等三角形，勾股定理，三角函数，平面向已备知识：全等三角形，勾股定理，三角函数，平面向 量，解析几何初步，正弦定理的证明及应用量，解析几何初步，正弦定理的证明及应用. . 授课对象授课对象: :洛阳市第一高级中学洛阳市第一高级中学（省级示范性高中省级示范性高中）高高 二年级实验班二年级实验班A A段学生段学生，学生基础知识扎实学生基础知识扎实，思路开阔思路开阔， 思维敏捷思维敏捷. . 能力现状与难点突破：定理的合理选用与适时分情况讨能力
5、现状与难点突破：定理的合理选用与适时分情况讨 论有所欠缺，需通过教师对例题的讲解、方法的对比等论有所欠缺，需通过教师对例题的讲解、方法的对比等 教学手段，促进学生能力达成教学手段，促进学生能力达成 教学策略分析 个人独立思考与小组合作探究相结合，培养团队意识，个人独立思考与小组合作探究相结合，培养团队意识， 体验知识生成体验知识生成. . 学生展示成果，获取成功喜悦学生展示成果，获取成功喜悦. . 学生演板，凸显学生个人解法的单一性学生演板，凸显学生个人解法的单一性, ,展现学生解法展现学生解法 的多样性，对比多种解法，突破求三角形内角时正弦的多样性，对比多种解法，突破求三角形内角时正弦 定理
6、和余弦定理选择这一难点定理和余弦定理选择这一难点. . 师生互动师生互动，及时鼓励，及时鼓励，问题引导，问题引导，完善漏洞完善漏洞. . 利用实物展台，利用实物展台，PPTPPT辅助教学辅助教学. . 教学 环节 课堂小结 课堂检测 定理应用 余弦定理及其推论 成果展示 情境引入 复习回顾 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 8 8 作业布置 复习回顾 1.正弦定理 . sinsinsinC c B b A a 已知两角和任一边； 已知两边和其中一边的对角. 2.正弦定理的应用 设计意图：设计意图：通过复习正 弦定理及其应用，使学生认 识到正弦定理为解三角形的 一种工具，能
7、定量研究三角 形的边角关系 情境引入 呢？得到边 ，能否根据这些条件及中，已知在 a AcbABC, 设计意图：设计意图：通过提出新的解三角形问题，引发学生的思 考让学生明确已知两边及其夹角时，该三角形的大小和形状完 全确定，进而第三边的长唯一确定通过“边a的长就是线段BC的 长，也可以看成点B和点C两点间的距离，联系已经学过的知识” 提示语来启发学生解决问题的思维出发点 问题问题1 1：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形 全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形怎 样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下求出另外一边，进 而解出三角形呢？ 情境引入环节视频展示
8、 小组合作探究小组合作探究 成果展示 设计意图：设计意图：分组合作探究，培养了学生的团队合作 意识联系已经学过的知识解决该问题，学生可以多角度 思考去寻找解决问题的方法，起到训练知识迁移使用的能 力通过上台展示，培养学生的学习自信力通过解题过 程的完善，培养学生数学思维的严谨性问题的解决使余 弦定理的生成比较自然 几何法展示几何法展示 解法质疑解法质疑 完善几何法完善几何法 向量法展示向量法展示 坐标法展示坐标法展示 成果展示环节视频展示 余弦定理及其推论 问题问题2:余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常相近余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常相近? 设计意图：设计意图
9、：启发学生从余弦定理中抽象出勾股定理启发学生从余弦定理中抽象出勾股定理，进而辨析进而辨析 勾股定理与余弦定理的关系勾股定理与余弦定理的关系. . 余弦定理及其推论 设计意图：设计意图：学习余弦定理的符号语言和文字语言学习余弦定理的符号语言和文字语言，掌握余弦定掌握余弦定 理的式子结构理的式子结构，认识余弦定理也是反映三角形中边角间的数量关系认识余弦定理也是反映三角形中边角间的数量关系， 明确余弦定理的用途明确余弦定理的用途掌握余弦定理的推论掌握余弦定理的推论，明确推论的用途明确推论的用途 问题问题3:我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的关系式我们得到的余弦定理是关于三角形三边和一个角的
10、关系式. 把把 这个关系式作某些变形这个关系式作某些变形,是否可以解决其他类型的解三角形问题是否可以解决其他类型的解三角形问题? 余弦定理及其推论讲解视频展示 定理应用 设计意图：设计意图：通过两个例题使学生基本掌握余弦定理的初步通过两个例题使学生基本掌握余弦定理的初步 应用应用，学生演板学生演板，教师讲解点评使学生明确解三角形过程中正教师讲解点评使学生明确解三角形过程中正 弦定理和余弦定理如何合理的选择弦定理和余弦定理如何合理的选择 问题问题4：在解三角形的过程中，若求某个角时既可以用余弦定在解三角形的过程中，若求某个角时既可以用余弦定 理也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？如何选择？理也
11、可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？如何选择？ .1cm 1 解三角形（角度精确到 cmcm1 ），边长精确到 ，中，已知在例 413460AcbABC 解：根据余弦定理， Abccbacos2 222 41346023460 22 cos 75470408011563600. ，821676. 由正弦定理得， . .sinsin sin54400 41 656034 41 4134 a Ac C 得是锐角，利用计算器可，所以不是三角形中最大的边因为Cc ， 33C .)()( 1063341180180CAB 所以 ).cm(41a 解法指导解法指导 学生演板学生演板 学生感悟学生感悟 ).
12、cm. cm.cm.2 17161 8876134 到，解三角形（角度精确 ，中，已知在例 c baABC 得解：由余弦定理的推论 bc acb A 2 222 cos 71618872 6134716887 222 . .1. ；0256 A ,.55430 ca bac B 2 222 cos 716161342 88771616134 222 . . ，83980. ；3532 B )()(35320256180180 BAC .7490 方法迁移方法迁移 课堂检测 设计意图：设计意图：巩固余弦定理及其推论的应用，练习巩固余弦定理及其推论的应用，练习 4 4意在训练解三角形时正弦定理与余
13、弦定理的选择意在训练解三角形时正弦定理与余弦定理的选择 练习1.在ABC中，a=1,b=1,C=120，则 =_. 练习2.在ABC中， = 7, = 5, = 3,则这个三角形的最大角的大 小为_. 练习3.在ABC中，若三边，满足2= 2+ 2 ，则 =_. 练习4.在ABC中， = 8, = 7, = 60，则 =_. 方法对比方法对比 点评优劣点评优劣 课堂小结 1.余弦定理的证明方法： 几何法； 向量法； 坐标法. 2.余弦定理的作用： 已知两边及其夹角求第三边； 已知三边求内角. 问题问题5：证明余弦定理我们用了哪些方法？应用余弦定理可证明余弦定理我们用了哪些方法？应用余弦定理可 以解决哪些类型的解三角形问题？以解决哪些类型的解三角形问题？ 设计意图：设计意图：引导学生就证明余弦定理的方法以及应用引导学生就证明余弦定理的方法以及应用 余弦定理解三角形问题分析、归纳和总结余弦定理解三角形问题分析、归纳和总结. . 课堂小结视频展示 作业布置 设计意图：设计意图：设置常规训 练 内 容 ， 巩 固 本 节 课 所 学 知 识设置了思考题，为下一节正 弦定理与余弦定理的综合应用做 好铺垫设置与数学文化相关的 作业内容，以引领学生去了解数 学文化的发展历史，学习科学家 的探索精神，鼓励学生勇攀科学 高峰 请各位专家批评指正请各位专家批评指正
