1、椭圆的定义与方程 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学 选修选修21 第二章第二节 华中师范大学第一附属中学华中师范大学第一附属中学 曹曹XXXX 本节课在梳理椭圆的定义和方程的数学史背景下，汲收已有“数学史 视角下的椭圆的定义和方程教学案例”的精华，选择富有创意的教学方式， 采用问题化，将数学“史学形态”转化为“教育形态”，实现“核心素养实现“核心素养 导航、整体设计定位、数学史料融合”的三位一体的教学设计策略导航、整体设计定位、数学史料融合”的三位一体的教学设计策略。经历 从椭圆研究的历史情境中抽象出椭圆的本质特征的过程，在建立方程、研 究椭圆生成方式、赏析椭圆应
2、用的过程中体验坐标法、数形结合和运动变 化的思想观点。整体设计使学生经历“探椭圆历史之旅整体设计使学生经历“探椭圆历史之旅研椭圆定义之研椭圆定义之 理理推椭圆方程之道推椭圆方程之道究椭圆生成之变究椭圆生成之变赏椭圆曲线之用”的完整赏椭圆曲线之用”的完整 过程过程。采取“课前学生依据预习学案中问题串提示查阅资料自学、小 组内成员交流学习成果；课中各组展示学习成果、教师引导拓展探究；课 后继续课上未完成的探究”这样一种“探究展示过程贯穿于课前、课中、探究展示过程贯穿于课前、课中、 课后”的研究性学习方式进行课后”的研究性学习方式进行。 椭圆的定义与方程椭圆的定义与方程 1.为什么“椭圆、双曲线、抛
3、物线”被称为圆锥曲线？ 2.阿波罗尼奥斯与旦德林对椭圆的研究做了哪些重要贡献？ 3.请你翻阅课本设计试验，探究椭圆定义 4.你能建立恰当的坐标系推导椭圆方程吗？ 5.请你查一查课本，说一说除了椭圆定义外，还有哪些生 成椭圆的方式？ 6.请查阅“杰尼西亚的耳朵”这一传说，你能说一说其中 的奥秘吗？ 预习学案提示探究思路 椭 圆 曲 线 起 源 椭 圆 曲 线 应 用 展示环节展示环节 椭 圆 定 义 探 究 椭 圆 方 程 推 导 椭 圆 生 成 方 式 发现椭圆曲线 梅内克缪斯时期梅内克缪斯时期 用垂直于圆锥母线的平面截顶角分别为直角、钝角、锐角的（正）用垂直于圆锥母线的平面截顶角分别为直角、
4、钝角、锐角的（正） 圆锥圆锥，得到直角圆锥曲线，钝角圆锥曲线，锐角圆锥曲线，统一命 名为圆锥曲线。 梅内克缪斯梅内克缪斯（公元前375年- 公元前325年，古希腊数学家） 阿波罗尼奥斯时期阿波罗尼奥斯时期 用一个不过用一个不过圆锥顶点圆锥顶点的的平面沿不同方向截同平面沿不同方向截同一个圆锥一个圆锥，截出三种不同的圆 锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）。 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯 （公元前262年 -公元前190年，古希腊数学家） 圆锥曲线论圆锥曲线论 书中他证明了近500个命题，几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽， 但证明过程复杂。其中得到了一条很重要的性质： 椭圆上的点到两个定点的椭圆上的点到两个定点
5、的 距离之和为距离之和为常数常数。 旦旦德林德林时期时期 构造“旦德林双球旦德林双球”模型，巧妙而简洁地证明 了椭圆上的点到两个定点距离之和为常数。 旦德林旦德林（1794年4月12日 - 1847 年2月15日），比利时数学家 发现椭圆曲线 椭 圆 曲 线 起 源 椭 圆 曲 线 应 用 展示环节展示环节 椭 圆 定 义 探 究 椭 圆 方 程 推 导 椭 圆 生 成 方 式 椭圆定义探究椭圆定义探究 旦德林双球模型旦德林双球模型 性质：椭圆上的点到两个定点的距性质：椭圆上的点到两个定点的距 离的和为定值离的和为定值 思考：思考： 到两个定点的距离的和为到两个定点的距离的和为定定值值的的点的
6、轨迹一定是椭圆吗？点的轨迹一定是椭圆吗？ 若若定值定值等于等于两个定点距离两个定点距离, ,则动点轨迹是线段则动点轨迹是线段 若若定定值小于值小于两个定点距离两个定点距离, ,则动点轨迹不存在则动点轨迹不存在 AEAF AEAF 实实 验验 定义定义：平面内到两个定点：平面内到两个定点 的距离的的距离的 （ ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫 做椭圆的做椭圆的 ，两焦点，两焦点间间的距离叫做椭圆的的距离叫做椭圆的 。 大于大于 焦点焦点 焦距焦距 和等于常数和等于常数 历史上椭圆的画法历史上椭圆的画法 舒腾画椭圆的三种方式 : 折纸 勒内勒内笛卡尔笛卡尔 （公
7、元1596 年3月31日公元1650年2月 11日） 皮皮耶耶德德费费马马 （公元 1601年8月17日公元1665年 1月12日） 性质 方程 由 形 到 数 由 形 到 数 由 数 到 由 数 到 形形 坐坐 标标 法法 数 形 结 合 数 形 结 合 解析几何基本思想解析几何基本思想 椭 圆 曲 线 起 源 椭 圆 曲 线 应 用 展示环节展示环节 椭 圆 定 义 探 究 椭 圆 方 程 推 导 椭 圆 生 成 方 式 椭圆椭圆方程推导方程推导 Marquis de lHpital 洛必达（1661-1704） 二次平方法 和差术（洛必达） 平方差法（赖特） 有理化 椭圆标准方程：椭圆标
8、准方程： 焦点在焦点在x x轴上轴上 焦点焦点 焦点在焦点在y y轴上轴上 焦点焦点 椭 圆 曲 线 起 源 椭 圆 曲 线 应 用 展示环节展示环节 椭 圆 定 义 探 究 椭 圆 方 程 推 导 椭 圆 生 成 方 式 椭圆生成方式椭圆生成方式 生成方式的联系 生成方式 生成方式的联系生成方式的联系 第二定义 第三定义 欧几里得欧几里得 几何原本几何原本 三种定义的联系三种定义的联系 方程方程1 1 第一定义第一定义 方程方程2 2 第二定义第二定义 第三定义第三定义 形形 数数 数数 形形 形形 数形结合 椭 圆 曲 线 起 源 椭 圆 曲 线 应 用 展示环节展示环节 椭 圆 定 义
9、探 究 椭 圆 方 程 推 导 椭 圆 生 成 方 式 椭圆曲线应用椭圆曲线应用 杰尼西亚的耳朵 据说，很久以前，意大利西西 里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰 尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里。 囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划 都被杰尼西亚发现。起初囚犯们认 为出了内奸，但始终未发现告密者。 后来他们察觉到囚禁他们的山洞形 状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射 到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅 咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”。 椭圆曲线应用椭圆曲线应用 思考： 囚犯得知是狱卒偷听他们的谈话后，十分生 气。于是想着要教训下狱卒，打算向上扔绳 子打狱卒。囚犯走到崖底，大约40米。囚犯、 狱卒、崖底大致在一条直线上，并测得沿与 该直线垂直的方向到达山洞内壁，约64米。 请你计算下，囚犯们用最短多长的绳子才能 打到狱卒。 总结：总结： 思想思想 数形结合数形结合 方法方法 坐标法坐标法 知识知识 椭圆的定义椭圆的定义 与方程与方程 文化文化 椭圆的研究椭圆的研究 历史历史 应用应用 数学源于生活数学源于生活 应用于生活应用于生活 课后探究课后探究 1.请了解舒腾使用的椭圆规的结构，并用代数 方法证明画出的曲线是椭圆. 2.请完成椭圆方程推导过程中的完备性证明. 谢谢大家！谢谢大家！
