1、1 （整数值）随机数的产生教学设计（整数值）随机数的产生教学设计 孝义中学 白XX 一、一、教学内容解析 本节是人教 A 版数学必修 3 第三章第二节古典概型的第二课时的内容。 在第二章统计中，学生学习了几种随机抽样方法，这些人工或借助于随机数 表的抽样方法的不足是工作量大、成本高。本节课的主要内容是介绍用计算机或 计算器产生取整数值的随机数，并用随机模拟的方法估计事件的概率。它是在学 生学习了随机事件、频率、概率的意义和性质以及古典概型后，为了让学生进一 步体会用频率估计概率的思想， 同时也是为了让学生深刻意识到在面临实际问题 且不能利用概型公式求解时， 可以用随机模拟的方法计算事件发生的频
2、率而学习 的内容。当随机模拟试验次数非常多的时候，频率的稳定值就是概率，这也是一 种求概率的有效方法。所以这节课既是随机抽样的延伸，也是古典概型的重要补 充，还是信息技术与数学的有效交汇，能有效的培养学生数学建模能力。 据此，本节课的教学重点是：通过模拟试验的设计与实施，了解利用计算机 和计算器产生随机数的方法；通过模拟实验的设计和实施，体会如何运用模拟试 验的方法得到事件发生的频率，并以此来估计概率。 二、二、教学目标设置 1、通过介绍让学生了解产生（整数值）随机数的两种方法及其意义，并初 步学会利用计算机或计算器产生随机数； 2、通过教师演示及学生实践操作，让学生进一步理解随机模拟的基本思
3、想 是用频率近似估计概率； 3、通过例题教学让学生学会设计一种随机模拟方法，初步掌握建立概率模 型解决简单的实际问题的方法。 三、学生学情分析： 本班学生素质整体水平较高，他们具有扎实的数学基础，思维敏锐，具有一 定的分析问题、解决问题的能力。但要较好地达成本节所设教学目标、完成预设 的教学内容，学生还存在以下差距：一是利用计算器和计算机产生随机数还存在 一些困难， 主要是学生的计算器和计算机的应用水平较低， 需要提前适当的培训。 二是面对实际问题，学生应用数学建模的意识还是比较薄弱，不能有效的把学到 的知识方法迁移到具体的问题中去，需要教师在教学中适当引导。 据此得本节课的教学难点有两个：一
4、是由于学生以前没有随机模拟的认识和 体验，所以如何帮助学生理解随机模拟方法有一定的难度；二是由于学生积累的 经验还不够， 所以如何引导学生利用所学知识把实际问题转化为随机模拟问题并 设计恰当的概率模型实施操作也是一个难点。 2 四、教学策略分析 本节课主要采用合作探究式学习法， 学生在实际问题的探究实践中充分参 与体验，进而获得数学知识和解决问题的方法。主要设计思路是围绕两方面展开 的，一是从数学分析角度，即让学生弄清楚什么是随机数和伪随机数，为什么要 学习随机数，为什么要利用计算器和计算机产生伪随机数来代替随机数，以及面 对具体问题怎么建立概率模型；二是从学生实践操作角度，主要是通过教师示范
5、 指导让学生初步学会怎样利用计算器和计算机产生随机数以及在实际问题中建 立好概率模型后如何具体操作进行随机模拟。 首先，基于课本上介绍的随机数和伪随机数都是事实性知识，所以这一部分 由学生通过自主阅读进行了解。然后，通过掷硬币的例子逐步引出利用计算器和 计算机产生随机数的方法，同时在此过程中让学生深刻体会到信息技术的优势， 并通过 Excel 图表的直观分析，让学生进一步理解频率的随机性和规律性以及利 用频率估计概率的思想。最后，再进行应用拓展以检测学生的学习情况。 本节课将以一系列问题的提出和解决为主线，始终在学生思维的“最近发展 区”设置问题，通过学生自主学习、合作探究，建模实验、交流归纳
6、提炼出本节 内容的关键点，达成教学目标，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 另外，由于本节课主要依靠计算器产生随机数进行模拟，但是由于模拟次数 有限，在实际问题的解决中模拟结果与真实值相差较大，一定程度上会让学生对 蒙特卡罗方法的有效性和科学性提出质疑，鉴于此，课后作业要求学生自主查询 资料，寻求能解决提高模拟精确度的其他途径和方法，比如通过设计算法借助计 算机编程实现等。 由于各方面条件的限制，学生们没法上机操作，所以本课时的教学要求是每 组学生至少有一台计算器，小组合作完成一系列的实践活动。利用 Excel 产生随 机数以及随机模拟时，由教师做演示。 五、教学过程设计 （一）明确目
7、标，导入新课 教师：本节课我们学习（整数值）随机数的产生，首先让我们了解什么是随 机数，请大家阅读课本 P130 右侧的内容，并回答下面的问题。 阅读内容：随机数与伪随机数 （1）例如我们要产生 125 之间的随机整数，我们把 25 个大小形状相同的 小球分别标上, 1,2,3，24,25 放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出 一个，这个球上的数就称为随机数。 （2） 计算机或计算器产生的随机数是根据确定的算法产生的， 具有周期性 （周 期性很长） ，具有类似随机数的性质，但并不是真正的随机数，因此称它们为伪 随机数。 3 问题 1：产生随机数的方法有几种？它们各自的优缺点是什么？ 预设
8、的回答预设的回答：有两种，分别是由真实具体的试验产生或者是用计算机或计算 器产生。 利用试验产生的随机数是真正的随机数，但是如果需要的随机数的量很大， 这种方法就不是很方便，因为速度太慢；利用计算机或计算器产生的随机数不是 真正的随机数，但是可以快速大量的产生。 教师引导教师引导：大家想一想，本节课，我们为什么要学习随机数的产生？随机数 可以帮助我们解决什么问题？请大家带着疑问来研究后面的问题。 【设计意图】随机数和伪随机数的概念以及产生随机数的方法，完全可以由 学生通过自主阅读课本内容获取， 只需通过设置问题来检验学生的阅读效果即可。 进而通过教师的引导，引发学生思考为什么要学习本节随机数的
9、产生，让学生带 着问题进入本节课的学习研究中。 （二）要点分析，理解原理 问题 2：将一枚质地均匀的硬币抛掷 1 次，用 0 代表正面向上，用 1 代表反 面向上。 （1）正面向上的概率是多少？ （2）每次试验中 0，1 出现的机会一样吗？0,1 是不是随机数？ （3）如果通过试验的方法，要估计抛掷这枚硬币 1 次，正面向上的概率，你会 怎么做？ 预设的答案预设的答案：（1）正面向上的概率是 0.5；（2）因为 0,1 出现的概率是一 样的,又由于每一次实验的结果都是不确定的，具有随机性，所以 0,1 是随机数； （3）可以一个人不断重复的抛掷硬币很多次，或者很多人同时不断重复的 抛掷硬币很多
10、次，然后统计正面向上的次数，算出正面向上的频率，以此来估计 正面向上的概率 教师引导教师引导：由第一节的知识可知，只有当试验的次数很多时，出现正面的频 率值才会稳定在概率 0.5 附近。那么大家愿意做多少次这样的试验，100 次？ 1000 次愿不愿意？1 万次呢？ （学生：不愿意。 ） 其实，历史上很多数学家都进行过掷硬币的实验，比如大家熟悉的德.摩根 曾经就投掷了 4092 次，费勒投掷了 10000 次，而前苏联的一位数理统计学家罗 曼诺夫斯基竟投掷了 80640 次。但是大家也意识到手工试验方法耗时费事，统 计量大，效率低，所以需要我们寻求改进方法。为此，我们可借助于计算器产生 随机数
11、来帮我们做这些重复的单调工作。 预备知识：预备知识：利用卡西欧图形计算器产生随机数的操作步骤是： 1shift mode 2 2shift mode 6 0 4 3shift .(Ran#) 4反复按“=” 教师示范教师示范：shift mode 2 是把计算模式调成线性的，比如在线性模式是 3 1 0,333333，Shift mode 6 中的 fix 是控制小数的位数，计算器最多允许小数点后 9 位小数，而 Ran#表示产生（0.001,0.999）之间的随机数加上取整的功能，它 就表示 0 和 1 两个数，比如 Ran#产生的是 0.3 输出结果就是 0，Ran#产生的随 机数是 0.
12、7,输出结果就是 1。 问题 3：依据上述预备知识思考：（1）如何产生 110 的随机数？（2）如 何产生 20102018 的随机数？（3）如何产生 ab 的随机数？ 预设的答案预设的答案：（1）给 Ran#乘以 10 就行了。 教师引导：教师引导：乘以 10 产生的是 0 到 10 的随机数，再想想应该怎么办？ 预设的答案预设的答案：（1）Ran#乘以 9 加上 1;（2）Ran#乘以 8 加上 2010;（3） （b-a）Ran#+a 就可以了。 实际操作实际操作：教师带领学生操作计算器，验证上述思路的正确性。 【设计意图】让学生理解计算器产生随机数每一步的原理，介绍 Ran#函数 的功
13、能是产生（0.001,0.009）范围内的数，通过线性模式和控制小数点而把它 变成整数 0 或 1。 在此基础上进一步探讨其他范围的随机整数用 Ran#如何实现， 增强学生理解的灵活性，也渗透等价转换的数学思想，把不熟悉的问题化归到熟 悉的问题中去解决。 （三）方法展示，深化理解 问题 4：你能利用计算器模拟抛掷一枚质地均匀的硬币 200 次，验证硬币出 现正面向上的概率是 50%吗？约定：用 0 代表正面向上，用 1 代表反面向上。 步骤：1每个小组用计算器产生 20 次随机数； 2统计 0 出现的次数并计算频率； 3用 Excel 软件的折线图直观展示规律。 预设的成果：预设的成果： 5
14、( (图图 1)1) 【设计意图】让学生小组合作，熟悉利用计算器产生随机数的过程，并收集 数据，汇总到 Excel 表中，为下一个问题做准备。 问题 5：观察图 1。（1）各组得到的 0 的频率相同吗？为什么？ （2）随着实验次数的增多，0 产生的频率怎样变化? 预设的答案预设的答案：不相同，因为 0 的产生是随机的，自然得到的 0 的频数也是不 确定的，频率也是不相同的。随着实验次数增多，频率就稳定于概率，正面向上 的频率值基本在 0.5 附近摆动。 教师引导教师引导：通过分析，我们注意到随机模拟试验得到的结果只能是概率的近 似值或估计值，每次试验的结果可能是不同的，这是频率估计概率时出现的
15、必然 现象，体现了频率的随机性。当试验次数不断增加时，频率的估计值稳定在概率 附近。 我们称用计算器或计算机模拟实验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗 （Monte Carlo）方法。 随机模拟法：是一种重要的数值计算方法，它起源于美国，在第二次世界大 战中研制原子弹的“曼哈顿计划”里，该计划的组织者之一是数学家冯.诺依曼， 他首创该法用于裂变中的中子随机扩散进行模拟，并用驰名世界的城市摩 洛哥国的 Monte Carlo 来命名这种方法。 蒙特卡罗方法在金融工程学， 宏观经济学， 在应用物理， 原子能， 固体物理， 化学，生物，生态学等领域都得到了广泛的应用，他不但用于解决许多复杂的科 学方面的
16、问题，也被项目管理人员经常使用。 蒙特卡罗方法的优点是高效， 便捷， 操作方便， 统计方便， 结果的精确度高。 【设计意图】通过让学生参与活动，从实践中体会随机模拟的便捷性，通过 折线图让学生们直观的看到频率和概率的关系，加深对频率估计概率的理解，同 时通过一系列活动，水到渠成的提出蒙特卡罗方法，结合学生的体验再介绍这种 方法的应用学生很容易理解随机模拟法的特点。 （四）应用举例，发展能力 例题：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为 40%，这三天中 恰有两条下雨的概率是多少？ （1）可否用古典概型求解？ （2）如何设置随机数来体现每天下雨的概率是 40%？ （3）如何模拟三天中恰有
17、两天下雨? 预设的答案：预设的答案：（1）不能用古典概型求解，因为可能出现的 8 种情况不是等 可能的。 6 （2）产生 09 的随机数，用 0,1,2,3 代表下雨，4,5，6,7,8,9 代表不下雨 （3）可用三个随机数作为一组，比如 114 就表示三天中恰有两天下雨。 教师引导：教师引导：要产生三位随机数直接用 Ran#乘以 1000 就行了（教师用计算 器展示）。 操作要求：操作要求：小组合作进行模拟操作，每组实验次数 20 次。 通过本题的求解，大家思考以下问题： 问题 6：（1）各组得到的结果和课本上的结果一样吗？为什么？ （2）你能说说随机模拟的优缺点吗？ （3）你能归纳用随机模
18、拟法估计概率的步骤吗？ 预设的答案预设的答案 ： （1）不一样，是频率的随机性导致的。 （2）好处是快捷简单， 不需要通过数学上的推算。缺点是当模拟的次数少时，模拟结果和真实值相差较 大。 （3）随机模拟法估计概率的步骤：建立概率模型进行模拟实验统计实验 结果。 教师演示教师演示：通过解决上面的问题，我们已经熟练的会使用计算器产生随机数 进行随机模拟了。除了用计算器，我们还可以用计算机产生随机数，而且还可以 直接统计出频数和频率。比如我们对问题 4 和例题中的试验进行 1000 次，就可 以借助计算机软件 Excel 来更方便的完成。 用 Excel 软件模拟抛掷 1000 次硬币的流程： 1
19、利用 RANDBETWEEN(0,1)产生随机数； 2复制单元格 ； 3利用定位功能转到第 1000 个单元格； 4按 shift 选中这 1000 个单元格，按 ctrl+V； 5利用 FREQUENCY 函数统计 0 的个数。 教师讲解教师讲解：由实验可知，显然 1000 次试验统计的频率比 200 次试验统计的 7 频率更接近概率 50%。 教师演示教师演示：用 Excel 展示例题中 1000 次模拟试验。 （掷硬币实验） （三天恰有两天下雨实验） 练习 ： 请设计一种用计算机或计算器模拟摸牌试验的方法，完成下面的任务 ： 从 52 张扑克牌（没有大小王）随机地抽取一张牌，求这张牌出现
20、下列情形的概 率： 1是红心； 2红心 7 ； 3是 J 或 Q 或 K ； 4编一个概率为的情形。 4 3 预设的答案预设的答案：（1）随机产生 14，4 个随机数，用 1 表示红桃，其余不是 红桃，统计 1 出现的频率。 （2）随机产生 152,52 个随机数代表 52 张牌，统计 7 出现的频率。 （3）随机产生 113,13 个随机数，用 1,2,3 表示 J,Q，K，其余不是 J,Q,K，统计频率。 （4）随机地抽取一张牌，不是红桃的概率。 【设计意图】通过例题讲解培养学生们的合作意识，使学生在实践中深刻感 受计算器和计算机进行随机模拟的便捷性， 通过练习培养学生建立概率模型的意 识
21、，从多角度培养学生思维的灵活性。 （五）总结反思，形成体系 1知识层面： 了解了随机数和伪随机数，深刻理解了“频率”与“概率”的联系和区别； 2方法层面： 技术方面：利用计算器产生随机数的方法； 统计方面：随机模拟法； 3思维层面： 体会在解决实际问题中建立相应概率模型的思想。 （六）作业布置，巩固延伸 1练习：1，3 8 2课后自主查询相关资料，寻求能提高随机模拟结果精确度的其他途径和 方法。 六、课堂教学目标检测 假设每个人在任何一个月出生是等可能的，利用随机模拟的方法，估计在一 个有 10 个人的集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率？ 【设计意图】进一步开阔学生视野，巩固本节所学内容
22、，同时检测学生的学 习效果。 （整数值）随机数的产生课例点评 本节课主要是介绍利用计算器和计算机中的Excel软件产生取整数值的随机 数的方法以及让学生初步学会利用这两种方法进行模拟试验。 这是一节与信息技 术相整合的课，是一节立足于数学分析与实践操作相结合的课。那么，针对本节 课课堂教学的组织实施以及教学效果，我从以下两方面谈一谈。 一、本节课的亮点 1、引课较好，通过自主阅读课本随机数与伪随机的内容以及设置问题，一 方面起到检验学生的自学能力和学习效果的作用， 同时也引发学生思考为什么学 习本节内容，让学生快速地进入了课堂学习状态； 2、能充分利用学生参与活动，让学生参与实际操作以及验证分
23、析结果的过 程，化抽象教学为直观教学，突破了教学上的一些难点； 3、教学设计以问题为主线，注重过程的体验，能较好地培养学生的思维和 探究能力，体现自主、合作、探究、互动、评价的课堂模式，起到了一定的数学 育人的实效作用。 二、存在的不足和需要注意的问题 1、板书设计必须有，不能都用多媒体代替板书； 2、教师要注意自己以及关注学生数学语言叙述的准确性和规范性。 3、课上要给学生完整的思考时间，点评之前可先让学生讨论，以激发学生 思维； 4、在实际教学中，教师做什么、怎么做要根据学生的反应来灵活变动，教 师的作用关键是根据学生的生成及时地引导和推动。 5、课上一定要让学生亲自经历产生数据，整理数据，分析数据的全过程， 9 以实现课堂教学效率的最大化。
