1、 1 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 20202020- -20212021 学年高二上学期期中考试学年高二上学期期中考试 数学试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。 2所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 3答第卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、
2、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，分，在每小题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的求的 1已知点(-3,2)A， (0, 1)B，则直线AB的倾斜角为（ ） A 0 30 B 0 45 C 0 135 D 0 120 2.某工厂为了对 40 个零件进行抽样调查，将其编号为 00，01，38，39.现要从中选出 5个，利用下面 的随机数表，从第一行第 3 列开始，由左至右依次读取，则选出来的第 5个零件编号是（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62
3、33 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A36 B16 C11 D14 3ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c,且 3 A ,4c ， 2 6a ，则角C=( ) A 3 4 B 4 C 4 或 3 4 D 3 或 2 3 4已知 、 是平面,lm、是直线,且=l，m，则“m”是“ml”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若圆 O1：x2y25 与圆 O2：(xm)2y220()mR相交于 A，B两点
4、，且两圆在点 A 处的切线互相 垂直，则线段 AB 的长度是( ) A2 B4 C5 D10 6已知直线 l：2(0,0) xy ab ab 经过定点(1,1)M，则32ab的最小值是（ ） A 32 2 2 B5 2 6 C 5 6 2 D3 7某学校随机抽查了本校 20 个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min） ，根据所得数 第 7 题图 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 2 据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是0，5） ，5，10） ，35，40，作出频率分布直方 图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
5、 A B C D 8棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 AD 上(点 P 异于 A、D两点)，线段 DD1的中点为点 Q，若平面 BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP长度的取值范围为（ ） A 1 0 3 ， B 1 1 2 ， C 1 ,1) 3 D 1 0 2 ， 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选 对的得对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分
6、9下列说法正确的是（ ） A命题“xR ， 2 1x ”的否定是“ 0 xR， 2 0 1x ” B命题“ 0 ( 3,)x ， 2 0 9x ”的否定是“( 3,)x ， 2 9x ” C“0m”是“关于x的方程 2 20 xxm有一正一负根”的充分不必要条件 D “5a”是命题“ 2 ,0 xR xaxa ”为假命题的充分不必要条件 10抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A， B， C， D判断正确的是（ ） AA与 B 是
7、互斥事件但不是对立事件 BA与 C 是互斥事件也是对立事件 CA与 D 是互斥事件 DC与 D不是对立事件也不是互斥事件 11以下四个命题为真命题的是（ ） A过点10,10且在x轴上的截距是在 y轴上截距的 4倍的直线的方程为 115 42 yx B直线 xcos3y20 的倾斜角的范围是 5 0, ) 66 C曲线 22 1 20C : xyx与曲线 22 2 480C : xyxym恰有一条公切线，则4m D设P是直线 20 xy 上的动点，过P点作圆 O: 22 1xy的切线PA，PB，切点为A，B，则 经过A，P，O三点的圆必过两个定点。 12正四棱锥PABCD的底面边长为 2，侧面
8、与底面所成二面角的大小为 60 ，下列结论正确的是（ ） A直线PA与BC、PA与CD所成的角相等 B侧棱与底面所成角的正切值为 6 3 3 C该四棱锥的体积为4 3 D该四棱锥的外接球的表面积为 25 3 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空三、填空题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量 x，y之间的线性回归方程为0.710.3yx ，且变 量 x，y 之间的相关数据如表所示，则 m 的值 为 14甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，甲获胜的概率是 1 5 ，则乙获胜的概率
9、是 15直线: 1l yx与圆 C： 22 430 xyy交于 A、B 两点，则ABC的面积是_. 16已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且2 sinbaB ， 则cossinBC 的取值范围为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题 10 分) （1）一条光线从点6,4P射出，与x轴相交于点2,0Q，经x轴反射后与y轴交于 点H，求反射光线QH所在直线的方程 （2）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，
10、标号为 1，2，3，5， 6， 现从甲罐、 乙罐中分别随机抽取1个小球， 记事件A “抽取的两个小球标号之和大于5”， 事件B “抽 取的两个小球标号之积大于 8”，求事件“AB”发生的概率 18某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市 1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周 跑量”） ，得到如下的频数分布表： 周跑量 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 45,50) 55,50 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； （2
11、）根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一 位小数） ； （3） 根据跑步爱好者的周跑量， 将跑步爱好者分成以下三类， 不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 周跑量 小于 20 公里 20 公里到 40不小于 40 公 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格 （单2500 4000 4500 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 4 表),根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？ 19某公司决定利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3米，底面积为 24平方米，且背
12、面靠墙的长方体形 状的储藏室.由于储藏室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：储藏室前面新建墙体的报价 为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 300元，屋顶和地面以及其他报价共计 14400元， 设屋子的左右两面墙的长度均为x米15x. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与此储藏室的建造竞标，其给出的整体报价为 18001ax x 元0a ，若无论 左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 20(本题 12 分)在ABC中,内角A BC， ，的对边分别为abc， ，, 已知 cos
13、cos1 sinsinsin AC ACB . （1）求角B的取值范围； （2）若 7 sin 4 B ，且 3 2 BA BC，求|BABC的值 21(本题 12 分)已知ABC中，ABBC，12BC ，24AB ，分别取边AB，AC的中点D，E， 将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，设点M为棱 1 AD的中点， 点P为 1 AB的中点， 棱BC上的点N 满足3BNNC. （1）求证：/MN平面 1 AEC； （2）试探究在ADE的折起过程中，是否存在一个位 置，使得三棱锥NPCE的体积为 18，若存在，求出 二面角 1 ADEC的大小，若不存在，请说明理由. 22(本题 12 分)已知
14、点( 2 3,0),A 圆 22 :1O xy，点Q是圆O上的动点，点A关于点Q的对称点为 点P，设点P的轨迹为，以P为圆心作圆与x轴相切于点N且与相交于BC、两点 （1）求点P的轨迹的方程； （2）证明：直线BC平分线段PN； （3）设直线BC与PN的交点为M，直线 10 3 : 3 l x ，M到l的距离记为d，试探究x轴上是否存在 定点E，使得 |ME d 为定值，若存在，求出定点坐标和该定值，若不存在，请说明理由 5 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学联合考试联合考试 数学试题参考答案数学试题参考答案 一、选择题：一、选择题： 1.【答案】【答案】C 【解析】【解析】直线过点-3,2
15、A，0, 1B， 2 1 -1 -30 AB k ，设 AB的倾斜角为 180（0）,tan-1,135故选 C 2.【答案】【答案】C 【解析】【解析】从题中给的随机数表第一行第 3 列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次， 读到的小于 40 的编号分别为 36，33，26，16，11，故选：C. 3.【答案】【答案】B 【解析】【解析】由正弦定理， sinsin ac AC ，所以 2 sin 2 C ，又a c ，则AC， 所以 4 C =，故选 B 4.【答案】【答案】C 【解析】【解析】充分性：因为l，m，所以ml，所以充分性满足； 必要性：因为且l，m，ml，所以m，所以必要性
16、满足. 所以“m”是“ml”的充要条件 故选 C 5.【答案】【答案】B 【解析】【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1则 在 RtO2AO1中，|O1A|= 5|O2A|=20，斜边上的高为半弦，用等积法易得： 5520 2 AB |AB|=4故答案为：B 6.【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意知 11 2 ab ， 1 11 ()1 2 ab ，且ab，是两个不同的正数，所以 1 11 32()(32 ) 2 abab ab = 13215 (5)(52 6)6 222 ab ba ，当且仅当 32 ab ba 时，等号成 立，故32ab的最小
17、值是 5 6 2 .故选：C 7.【答案】【答案】B 【解析】【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间0,5),5,10)内各有0.01 20 5 1 个，答案 A被 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 6 排除； 在区间10,15)内有0.04 20 54 个； 在区间15,20)内有0.02 20 52 个； 在区间20,25)内 有0.04 20 54 个； 在区间25,30),30,35)内各有0.03 20 53 个， 答案 C 被排除； 在区间35,40) 内有0.02 20 52 个，答案 D被排除；依据这些数据信息可推知
18、，应选答案 B 8.【答案】【答案】D 【解析】【解析】如图所示：设平面当BPQ与直线 1 CC交于点E， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1(棱长为 1)中， 因为平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B， 平面BPQI平面 11 ADD APQ，平面BPQI平面 11 BCC BBE，所以 / /BEPQ，所以PDQBCE，所以 PDBC DQCE ，所以 1 2 BC PDDQ CECE ，若平面 BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需点 E在线段 1 CC之间，当 P 在A点时， E为 1 CC的中点， 因为点P在线段AD上(点P异于A、 D两点)， 则 1 1 2 CE
19、， 所以122CE， 所以 11 1 22CE ，即 1 1 2 PD，所以 1 0 2 AP，故选：D 二、选择题：二、选择题： 9.【答案】【答案】BD 【解析】【解析】A.命题“x R， 2 1x ”的否定是“ 0 xR， 2 0 1x ”，故错误； B.命题“ 0 ( 3,)x ， 2 0 9x ”的否定是“( 3,)x ， 2 9x ”，故正确； C. 关于x的方程 2 20 xxm有一正一负根 440 0 0 m m m ，所以“0m”是“关于x的 方程 2 20 xxm有一正一负根”的充要条件，故错误 D.命题“ 2 ,0 xR xaxa ”的否定“ 0 xR， 2 00 0 x
20、axa”为真命题，所以 2 4004aaaa或，故5a是是命题命题“ 2 ,0 xR xaxa ”为假命题为假命题的充分不的充分不必要条件必要条件. 故正确；故选：B D. 10.【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】抛掷一枚骰子 1次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B, “向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D, 在 A 中,A与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确； 在 B 中, A与 C 是互斥事件也是对立事件,故 B正确； 7 在 C 中,A与 D能同时发生,不
21、是互斥事件,故 C错误； 在 D 中,C 与 D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D正确.故选：ABD. 11.【答案】【答案】B D 【解析】【解析】对于A，设1010yk x，所以横截距为 10 10 k ，纵截距为1010k ，所以 10 104 1010k k ，解得 1 4 k 或1k ，所以直线方程为y x 或 115 42 yx .A错误； 对于B，由题知 k 3 3 cos，故 k 33 , 33 ，当 k 3 0, 3 时，直线倾斜角 0, 6 ，当 k 3 ,0 3 时，直线倾斜角 5 , 6 ，故直线的倾斜角的范围是0, 6 5 , 6 .B正确； 对于C，曲线
22、 22 1 20C : xyx化为标准式得， 22 (1)1xy，曲线 22 2 480C : xyxym 化为标准式得， 22 (2)(4)200 xym所以，圆心距为 5，因为有一条公切线，所以两圆内切，即 2015m ，解得16m，C错误； 对于D，设点( ,2)P m m，根据切线的性质，可得AOPA，经过, ,A P O的三点的圆，即为以PO为 直径的圆，则圆的方程为20 x xmy ym，整理得 22 (2 )()0 xyyxy m，令 22 20 0 xyy xy ，解得 0 0 x y 或 1 1 x y ， 即经过 A，P，O 三点的圆必经过定点(0,0),(1, 1).D
23、正确，故选 BD 12.【答案】【答案】A D 【解析】【解析】连结AC，BD，交于点O，连结PO，取AD中点E，连结OE、PE，如下图所示： 对于 A，因为/BC AD，所以直线PA与BC所成角为PAD， 因为/CD AB，所以PA与CD所成的角为PAB， PAPBPD，ABAD，PADPAB， 直线PA与BC、PA与CD所成的角相等，故 A 正确； 对于 B，PO平面ABCD，PAO是侧棱与底面所成角， A正四棱锥PABCD中，底面边长为 2，侧面与底面所成二面角的大小为 60 ， 22 11 222 22 AOAC，60PEO，1OE ，2PE ， 22 213PO ， 侧棱与底面所成角
24、的正切值为 36 tan 22 PAO，故 B 错误； 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 8 对于 C，该四棱锥的体积为 114 3 2 23= 333 ABCD VSPO 正方形 ，故 C 错误； 对于 D，由题意可知正四凌锥PABCD中外接球的球心在PO上， 设外接球的球心为M，连接MC ，设该四棱锥的外接球半径为R， 在Rt MOCV中，,3,2MCR OMR OC, 由勾股定理，可得 22 2 32RR，解得 5 2 3 R ， 该四棱锥的外接球的表面积为 2 25 4 3 SR ，故 D 正确.故选：A D. 三、填空题：三、填空题
25、： 13.【答案】【答案】5 【解析】【解析】由表中数据可知， 68 10 12 9 4 x ， 63211 44 mm y ， 根据样本中心点必在线性回归方程上，有110.7 9 10.3 4 m ，解得5m，故填 5 14.【答案】【答案】 3 10 【解析】【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是 1 2 ，甲获胜的概率是 1 5 ，所以乙获胜的概率 113 1 5210 15.【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】圆C： 22 (2)1xy, (0,2)C 到直线 l 的距离 |02 1|2 22 d , 2 2 | 2 1 ()2 2 AB, 1121 |2 2222 ABC SA
26、B d 16.【答案】【答案】 3 3 , 22 【解析】【解析】依题意2 sinbaB，由正弦定理得sin2sinsinBAB，所以 1 sin 2 A ， 3 cos 2 A 由于三角形ABC是锐角三角形，所以 6 A .由 2 32 0 2 AB B B ,所以 5 cossincossin 6 BCBB 1333 coscossincossin 2222 BBBBB 3sin 3 B 由于 25 336 B ，所以 13 sin, 322 B ，所以 3 3 3sin, 322 B .故填 3 3 , 22 四、解答题：四、解答题： 9 17.【答案】【答案】 （1）2yx ； （2）
27、 11 20 【解析】【解析】 （1）作点6,4P关于轴的对称点的坐标 1 6, 4P， 则反射光线所在的直线过点 1 P和Q，所以 1 40 1 62 PQ k ， 所以反射光线QH的方程为2yx，即2yx . 5 分 （2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件； “抽取的两个小球标号之和大于 5”包含的基本事件有：1,5，1,6，2,5，2,6，3,3，3,5， 3,6，4,2，4,3，4,5，4,6，共11个基本事件； 7 分 “抽取的两个小球标号之积大于 8”包含的基本事件有：2,5，2,6，3,3，3,5，3,6，4,3， 4,5，4,6，共8个基
28、本事件； 8 分 即事件B是事件A的子事件；所以事件AB包含的基本事件个数为11个， 所以事件AB发生的概率为 11 20 10 分 18.【答案】【答案】 （1）图见解析； （2）中位数约为 29.2，众数为32.5； （3）3720（元）. 【解析】【解析】 （1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： 4 分 （2）由频率分布直方图得样本的众数为 3035 32.5 2 ， 5 分 由频率分布直方图得10,25的频率为(0.020.0240.026) 50.35， 25,30的频率为0.036 50.18 ，设样本的中位数为x，则0.35250.0360.5x，解得
29、 29.2x，样本的中位数约为 29.2. 8 分 （3）依题意知休闲跑者共有：(5 0.025 0.024) 1000220 人， 核心跑者共有(5 0.0265 0.0365 0.0445 0.030) 1000680 人， 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 10 精英跑者共有1000 220 680 100人，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费 1 (220 2500680 4000 100 4500)3720 1000 （元）. 12 分 19.【答案】【答案】 （1）当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 2
30、8800 元； （2）012a . 【解析】【解析】 （1）甲工程队的总造价为y元， 则 2416 3 300 240014400180014400 15yxxx xx ， 3 分 1616 1800144001800 21440028800 xx xx .当且仅当 16 x x ，即4x时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 28800元. 5 分 （2）由题意可得， 1800116 180014400 ax x xx 对任意的1,5x恒成立. 即 2 41xax xx ，从而 2 4 1 x a x 恒成立， 9 分 令12,6xt ， 22 4399 626
31、12 1 xt ytt xttt ，故 min 12 y . 所以012a. 12 分 20.【答案】【答案】 （1）(0, 3 ； （2）. 【解析】【解析】 （1）因为 2 分 所以,由正弦定理可得， 4 分 因为，所以，即 6 分 （2）因为，且 2 bac，所以 B 不是最大角，所以 所以，得，因而 8 分 由余弦定理得，所以 10 分 所以 即 12 分 21.【答案】【答案】(1)见解析;(2)30150或. 【解析】【解析】 （1）证明：取 1 AE 中点F ，连接MF ，CF M 为棱 1 AD 的中点，/MFDE 且 1 2 MFDE ，而ABC 中， 11 D ，E 为边A
32、B ，AC 的中点，则/DEBC ，且 1 2 DEBC ，/MFBC ，即/MFNC 且 1 4 MFBCNC ，四边形MFCN 为平行四边形，/MNFC MN 平面 1 AEC ，FC 平面 1 AEC /MN平面 1 AEC 5 分 （2）在ABC中，/,DEBC ABBCDEAB；所以在立体图中， 1 ,DEAD DEBD, 1 ADBDD, 1 ADB是二面角 1 ADEC的平面角， 7 分 且 1 DEADB平面,DEBCED平面,DBBCDE 1 平面A平面 在面 1 ADB内作POBD于O,则POBCED平面,PO 为三棱锥PNCE 的高. 9 分 11 3 1218 22 N
33、CE SNC BD ， 11 1818 33 E PNCP NCENCE VVPO SPO ，3PO， 所以 1 A到BD的距离=6，当 1 ADB为锐角时， 1 61 sin 122 ADB, 1 30ADB 11 分 符合要求的ADE的位置存在且二面角 1 ADEC的大小为30或150 12 分 22.【答案】【答案】 （1） 22 (2 3)4xy， （2）见详解， （3）(3 3,0)E，定值 3 2 【 解 析 】【 解 析 】 （ 1 ） 设( ,)P x y， 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 2 3 (,) 22 xy Q ， 由 于 点Q在 圆O上 ， 22 2 3 ()(
34、 )1 22 xy ，即 22 (2 3)4xy为的方程 2 分 （2）设 00 (,)P xy，圆P的方程为 222 000 ()()xxyyy，联立方程组 22 222 000 (2 3)4 ()() xy xxyyy ， 得直线BC的方程为 2 0 00 (2 3)40 2 x x xy y， 5 分 由 于P Nx轴 ， 所 以PN的 中 点 坐 标 为 0 0 (,) 2 y x， 将 其 代 入BC的 方 程 左 边 得 222 22 0000 000000 1 (2 3)42 34(2 3)20 22222 yxxy x xyxxy 即PN的中点 在直线BC上，所以BC平分PN
35、7 分 （3） 由 （2） 可知点 0 0 () 2 y M x， 设存在定点( ,0)E t满足要求， 2 2222 0 00 10 3 |(),| 43 y MExtdx， 设 |ME d 为 常 数 ， 则 2 222 0 000 20 3100 () 433 y xtxx， 22 00 4 (2 3)yx， 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 12 页 12 22222 00 80 3400 (34)4 38480 33 xtxt 对 0 x恒成立， 10 分 2 2 22 340 80 3 84 30 3 400 480 3 t t ，解得 3 3 3, 2 t， 故存在定点(3 3,0),E定值 3 2 满足要求。 12 分
