1、 1 20202021 学年第一学期期中考试 高二数学试题及评分建议 (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1 已知命题 p：xR， 21 0 4 xx，则p为（ ） AxR， 21 0 4 xx BxR， 21 0 4 xx CxR， 21 0 4 xx DxR， 21 0 4 xx 【答案】B 2 椭圆1 416 22 yx 的长轴长为（ ） A2 B4 C8 D16 【答案】C 3 已知关于 x 的不等式 ax2bx10 的解集为(3,4)，则实数 a，b 的值
2、是（ ） Aa12，b84 Ba12，b84 Ca 1 12 ，b 7 12 Da 1 12 ，b 7 12 【答案】D 4 已知 1，a，x，b，16 这五个实数成等比数列，则 x 的值为（ ） A4 B4 C4 D不确定 【答案】A 5 已知正数 a、b 满足 ab2，则ba 有（ ） A最小值 1 B最小值 2 C最大值 1 D最大值 2 【答案】D 6 “a1，b1”是“logablogba2”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【答案】A 7 在等差数列an中，已知前 21 项和 S2163，则 a2a5a8a20的值为（ ） A7 B9 C21 D
3、42 【答案】C 8 x 1 3 ，使得 ax22x10 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） 2 A3,) B(3,) C1,) D(1,) 【答案】B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ） A中国所有的江河都流入太平洋 B有的四边形既是矩形，又是菱形 C存在 xR，有 x2x10 D有的数比它的倒数小 【答案】BD 10已知 11 0 mn ，则（ ） Am |n| Cmnmn Dmnn2 【答案】CD
4、 11意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5， 其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称 为“斐波那契数列”，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ） Aa834 BS854 CS2020a20221 Da1a3a5a2021a2022 【答案】BCD 12椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的 另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 F1，F2是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 F1的小球（小球的半径不计） ，从点 F1沿
5、直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到 点 F1时，小球经过的路程可以是（ ） A4a B4c C2(ac) D2(ac) 【答案】ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 。 13不等式 23 1 1 x x 的解集是 【答案】(4，1) 14若方程 2 2 1 95 y x mm 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 【答案】(2，5) 15已知 a，b 是正实数，且 ab2，则 22 11 11ab 的最大值是 【答案】 21 2 3 16一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）
6、)；再将剩余 的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2） ；如此继 续下去设原正方形的边长为 1，则第 3 个图中共挖掉 个正方形，第 n 个图中所有 挖掉的正方形的面积和为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】73， 8 1 9 n 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F1、F2，短轴的一个端点为 P （1）若F1PF2为直角，焦距长为 2，求椭圆 C 的标准方程； （
7、2）若F1PF2为钝角，求椭圆 C 的离心率的取值范围 【解】（1）因为椭圆短轴的一个端点为 P，且F1PF2为直角， 所以 bc，a 2c，2 分 因为焦距长为 2，所以 c1，3 分 所以 a 2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 2 x y5 分 （2）因为椭圆短轴的一个端点为 P，且F1PF2为钝角， 所以 45 OPF290 ，7 分 所以 sinOPF2c a 2 2 ，又因为椭圆的离心率 e(0,1)， 所以椭圆 C 的离心率的取值范围为 2 ,1 2 10 分 18(本小题满分 12 分) 已知命题 p：关于 x 的方程 x2(3m2)x2m2m30 有两个大于 1
8、 的实数根 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）命题 q：3am1 且 2m31，得 m2 4 分 （2）设集合 A|2m m ，集合 B|33mama， 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以， 6 分 当 B时，33aa，解得 a0； 8 分 当 B时， 33, 32, aa a 解得01a 10 分 综上所述：存在 a1，满足条件 12 分 19(本小题满分 12 分) 已知数列an是递增的等比数列，前 3 项和为 13，且 a13，3a2，a35 成等差数列， （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn的首项 b11，其前 n 项和为 Sn，且 ，若数列cn
9、满足 cnanbn，cn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的最小值 在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题 3Snbn4；bnbn12(n2)；5bnbn1(n2) 注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分 【解】（1）设数列an的公比为 q， 则由前 3 项和为 13，且 a13，3a2，a35 成等差数列， 得 123 213 13 635 aaa aaa ， ， 所以 13 2 10 3 aa a ， ， 2 分 所以3 310q q ，即 3q210q30，解得 1 3 q 或3q 4 分 又因为an是递增的等比数列，且 a10，所以 q1，所以 q3，
10、 所以 an3n-1 6 分 （2）选择 因为 3Snbn4，所以 3Sn-1bn-14(n2)， 两式相减得 3(SnSn-1)(bnbn-1)0，即 4bnbn-10(n2)， 所以 1 1 4 nn bb (n2)， 8 分 所以数列bn是以 b11 为首项， 1 4 为公比的等比数列， 故 1 1 4 n n b ， 10 分 因此 1 3 4 n nnn ca b 5 由 cn0 恒成立，所以 Tn的最小值为 T1c11 12 分 选择 由 bnbn-12(n2)知bn是以 b11 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 bn12(n1)2n1， 8 分 所以 cnanbn(2n1)3
11、n 1 因为 cn(2n1)3n 10，即 c 10，c20，c30， 10 分 所以(Tn)minT1c11 12 分 选择 由 5bnbn-1(n2)知bn是以 b11 为首项， 1 5 为公比的等比数列， 所以 1 1 5 n n b ， 8 分 所以 1 3 5 n nnn ca b ，所以 3 1 553 1 385 1 5 n n n T ，10 分 当 n 为奇数时，由于 3 0 5 n ，故 5 8 n T ； 当 n 为偶数时，由于 3 0 5 n ，故 5 8 n T ， 由 53 1 85 n n T 在 n 为偶数时单调递增， 所以当 n2 时，min 5162 825
12、5 n T 12 分 20(本小题满分 12 分) 已知数列an的前 n 项和 Sn3n+1t ，求证：数列an是等比数列的充要条件为 t3 【解】当 n1 时，S132t9t， 2 分 当 n2 时，由 Sn3n+1t 得 Sn-13nt ， 两式相减得 an3n+13n23n（n2）4 分 （1）充分性 已知 t3，此时 S132t936， 令 n1，得 a12316S1，所以 an23n（nN*） 所以 1 3 n n a a ，所以数列an是等比数列8 分 （2）必要性 因为数列an是等比数列，所以 a12316， 又因为 S19t，所以 9t6，所以 t3，10 分 6 综上所述：数
13、列an是等比数列的充要条件为 t3 12 分 21(本小题满分 12 分) 为了丰富市民的文化生活，市政府决定在 A、B 两个新村之间建一个市民广场 C若 A、B 两个 新村间的直线距离是 3 百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对 新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离 x 成反比，由于两个新村 的绿化等原因的差异，新村 A，B 的反比例系数分别为 k 和 1k(0k0，即 k2 3 2 ，8 分 又 1212 22 86 , 2121 k xxx x kk ， 所以 2222 2 121212 22 211212 ()2 103) 32 22 3(21)3(21) xxxxxxk k xxx xx x kk （ ， 令 2 2 2 103) 3(21) k k （ ，则 2 36 206 k ， 10 分 8 由 k2 3 2 ，得 10 2 3 ，即 110 2 3 ， 解之得 1 3 3 且 1，即 PA PB 的取值范围为 1,1 1,3 3 12 分
