1、高二数学（文科）第 1 页，总 28 页 20202021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（文科） 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1直线310 xy 的倾斜角是 A30 B120 C135 D150 2已知ABC是边长为 4 的等边三角形，则ABC的斜二 测直观图的面积为 A6 B2 6 C4 3 D2 3 3如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是 A B C D 4已知直线 310 xy 与直线2 330 xmy平行，则它们之间的距离是 A1 B 5 4 C3 D4 5如图是正方体的平面展开图，则在这个
2、正方体中，下列判断正确的是 A平面BME / /平面CAN BAF CN/ / 高二数学（文科）第 2 页，总 28 页 C/ /BM平面EFD DBE与AN相交 6已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题： 若m，m ，则 .若 /m，/n，则/mn. 若m ，m ，则 .若l ，m ，ml，则m . 其中真命题有 A B C D 7与直线 2x+y1=0 关于点（1，0）对称的直线方程是 A2x+y3=0 B2x+y+3=0 Cx+2y+3=0 Dx+2y3=0 8若方程 22 4250 xymxym表示的曲线为圆，则m的取值范围是 A 1 1 4 m B 1 4 m 或
3、1m C 1 4 m D1m 9已知直线 20axya 在两坐标轴上的截距相等，则实数a A1 B1 C2或 1 D2 或 1 10如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，ED 平面ABCD，FC 平面 ABCD，22EDFC，则异面直线AE与BF所成角的余弦值 为 A 1 3 B 5 5 C 3 10 10 D 2 3 11在直三棱柱 111 ABCABC 中，13ABBCABBC， 高二数学（文科）第 3 页，总 28 页 1 2 2AA ，则其外接球的体积为 A12 B3 C2 3 D4 3 12已知两点A3,4， B 3,2，过点P 1,0的直线 l 与线段 AB 有公共点，则 直线
4、l 的斜率 k 的取值范围是 A 1,1 B, 11, C 1,1 D , 11, 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知直线 1:( 2)(1)10laxa y 与直线 2:( 1)(23)20laxay 垂直， a=_ 14已知正方体 1111 ABCDABC D 中，E为 11 C D的中点，则异面直线 AE与 BC 所 成角的余弦值为 . 15设三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且 2PAPBPC，则三棱锥 PABC的体积是_ 16经过点 P（2，1）作直线 l 分别交 x轴、y轴的正半轴于 A、B两点，当
5、AOB 面积最小时，直线 l 的方程为_. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17已知平面内两点 (8, 6), (2,2)AB . （1）求AB的中垂线方程； 高二数学（文科）第 4 页，总 28 页 （2）求过点 (2, 3)P 且与直线AB平行的直线l的方程 18如图，在直三棱柱 111 ABCABC 中，ACBC， ,D E分别是 11 AB，BC的中 点. 求证： （1）平面ACD平面 11 BCC B； （2） 1 / /B E 平面ACD. 19如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，/BC AD，ABBC， 1ABBC，2ADAP，E为PD的中点，F为BP
6、 的中点. （1）求证：/CE平面PAB； （2）求点 D到平面PBC的距离. 20已知直线l方程为 2380mxmym ，mR. （1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标； 高二数学（文科）第 5 页，总 28 页 （2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程. 21求下列圆的方程 （1）已知点 A(4，5)，B(6，1)，以线段 AB为直径的圆的方程 （2）过两点 C(1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程 22在正方体 1111 ABCDABC D 中. （1）求证： 11 C DBD ； （2）M是AB中点时，求直线 1 C M与面 高二数学（文科）
7、第 6 页，总 28 页 11 BCD A所成角. 高二数学（文科）第 7 页，总 28 页 20202021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（文科）参考答案 1D 【解析】 【分析】 首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】 直线310 xy 的斜率k 13 33 ， 设其倾斜角为0180， 则 tan 3 3 ， 150. 故选：D. 【点睛】 本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于较易题. 2A 【解析】 【分析】 本题首先可以设ABC的原图面积为 1 S以及斜二测直观图的面积为 2 S，然后根据题意求 出ABC的原图面积 1 S，最后根据原图面积与斜二测直观图
8、面积比值为2 2即可得出结 高二数学（文科）第 8 页，总 28 页 果. 【详解】 设ABC的原图面积为 1 S，斜二测直观图的面积为 2 S， 因为ABC是边长为 4的等边三角形， 所以ABC的原图面积 1 1 4 2 34 3 2 S =创=， 因为原图面积与斜二测直观图面积比值为2 2，即 1 2 2 2 S S = ， 所以斜二测直观图的面积 1 2 6 2 2 S S = ， 故选：A. 【点睛】 本题考查三角形的斜二测直观图的面积的求法， 可通过原图面积与斜二测直观图面积比值为 2 2得出结果，考查计算能力，是简单题. 3D 【解析】 【分析】 由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱
9、的组合体， 上部分是一个圆锥， 下部分是一个圆柱， 而且圆锥和圆柱的底面积相等， 故此几何体的直观图是： 高二数学（文科）第 9 页，总 28 页 故选 D 【详解】 4B 【解析】 【分析】 由题意两直线平行，得 31 2 2 3 m m ，由直线310 xy 可化为 2 3220 xy，再由两直线之间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意直线310 xy 与直线2 330 xmy平行，则 31 2 2 3 m m ， 即2 3230 xy，则直线310 xy 可化为2 3220 xy， 所以两直线之间的距离为 22 325 4 (2 3)2 d ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了两条
10、平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m的 值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题. 5A 高二数学（文科）第 10 页，总 28 页 【解析】 【分析】 将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】 解：将正方体的平面展开图复原为几何图形， 选项 A，如图可知/ANBM，且BM 平面BME，/AN平面BME， NCBE/ /，且BE 平面BME，/NC平面BME，所以平面BME / /平面CAN，故 正确. 选项 B，如图，可知AF与CN为异面直线，不平行，故错误. 选项 C，如图可知平面EFD与BM
11、会相交，并不平行，故错误. 高二数学（文科）第 11 页，总 28 页 选项 D，如图可知BE与AN为异面直线，不相交，故错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基 础题. 6B 【解析】 【分析】 由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确 m与n有可能相交，命题错误 由面面垂直的判定定理判断，命题正确 成立的前提是面面垂直，命题错误 高二数学（文科）第 12 页，总 28 页 【详解】 对命题，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若m，m，则平面与 无公共点，可证，命题正确 对命题，若m与n为另一平行平面的两条交线，也满
12、足条件，但推不出结论，命题错 误 对命题，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面 相互垂直. 中m，m，所以命题正确 对命题，若二面角的平面角为锐角时，m与斜交，命题错误 【点睛】 本题考查空间线面位置关系的判断证明， 旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力 7A 【解析】 在所求直线上取点（x，y） ，关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b） ，则 1 2 0 2 xa yb a=2-x，b=-y，（a，b）在直线 2x+y-1=0 上 2a+b-1=02（2-x）-y-1=02x+y-3=0 故选 A 8B 【解析】 【分析】 根据二元二次方程表示圆
13、的条件，可以求得若方程 22 4250 xymxym表示圆，必 高二数学（文科）第 13 页，总 28 页 有 2 164200mm，即可求出m的取值范围. 【详解】 方程 22 4250 xymxym表示圆，必有 2 164200mm， 即 2 4510mm ，解可得， 1 4 m 或1m ， 故选：B. 【点睛】 本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程 22 0 xyDxEyF表示圆，则有 22 40DEF，考查计算能力，属于基础题. 9D 【解析】 【分析】 根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为 0 和在两坐标轴上的截距不为 0时， 求出对应a 的值，即可得到答案 【详解】 由题意，
14、当2 a0 ，即a2时，直线axy2a0化为2xy0， 此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意； 当2 a0 ，即a2时，直线axy2a0化为 1 2 2 xy a a a ， 高二数学（文科）第 14 页，总 28 页 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2a 2a a ，解得a1； 综上所述，实数a2或a1 故选 D 【点睛】 本题主要考查了直线方程的应用， 以及直线在坐标轴上的截距的应用， 其中解答中熟记直线 在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属 于基础题. 10C 【解析】 【分析】 根据题意画出图形,取ED中点P,连接,AP PF,可
15、得/APBF,故EAP为异面直线 AE与BF所成角,结合已知,即可求得答案. 【详解】 根据题意画出图形,取ED中点P,连接,AP PF /PDFC且PDFC 四边形PDFC是平行四边形 /PFDC且PFDC 高二数学（文科）第 15 页，总 28 页 又四边形ABCD是的正方形 可得/ABDC且ABDC 故/ABPF且ABPF 四边形ABPF是的平行四边形 /BFAP且BFAP 故EAP为异面直线AE与BF所成角 在Rt APD根据勾股定理可得: 2222 215APADDP 在Rt EAD根据勾股定理可得: 2222 222 2AEADED 在EAP中根据余弦定理: 222 2cosEPE
16、AAPEA APEAP 可得： 222 cos 2 EAAPEP EAP EA AP 85 13 2 2 252 3 10 105 故选:C 【点睛】 本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共 面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题. 11D 【解析】 【分析】 将该直三棱柱补成长宽高分别为312 2， ，的长方体， 三棱柱的外接球就是长方体的外接球， 高二数学（文科）第 16 页，总 28 页 从而可得结果. 【详解】 因为直三棱柱 111 ABCABC中， 13ABBCABBC， ， 1 2 2AA ， 所以可将该直三棱柱补成长宽高分别为3
17、12 2， ，的长方体， 三棱柱的外接球就是长方体的外接球， 外接球的直径就是长方体的体对角线长， 所以2 1 3 82 33RR ， 外接球的体积为 3 3 44 3 33 R4 3，故选 D. 【点睛】 本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表 面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解. 12D 【解析】 分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围 详解：点 A（3，4），B（3，2） ，过点 P（1，0）的直线 L与线段 AB 有公共点， 直线 l的斜率 kkPB或 kkPA， PA的斜率为 4
18、0 3 1 =1，PB的斜率为 20 3 1 =1， 直线 l的斜率 k1或 k1， 故选 D 高二数学（文科）第 17 页，总 28 页 点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础直线 的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时， 是要画出正切的函数图像，再分析. 131 或-1 【解析】 【分析】 由直线垂直可得（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，解之即可 【详解】 依题意，l1l2， 故（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0， 化简得 a2=1，解得 a=1 或 a=1 故 a的值为：1或1 【点
19、睛】 高二数学（文科）第 18 页，总 28 页 本题考查直线垂直的充要条件l1l2A1A2B1B20.，属于基础题 14 2 3 【解析】 【分析】 【详解】 连接 DE，设 AD=2，易知 ADBC，DAE就是异面直线 AE与 BC所成角， 在 RtADE 中，由于 DE=，AD=2，可得 AE=3，cosDAE= 15 4 3 【解析】 【分析】 根据锥体的体积公式，找到并求出三棱锥的高及底面面积即可求解. 【详解】 由题意可知该三棱锥为棱长为 2 的正方体的一个角，如图所示： 高二数学（文科）第 19 页，总 28 页 所以 11 14 =(2 2) 2 33 23 PBC VSPA
20、锥 故答案为： 4 3 【点睛】 本题考查锥体体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 16x+2y40； 【解析】 【分析】 先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解 【详解】 由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程 y1k（x2） ，k0， 令 x0 可得，y12k，令 y0 可得 x2 1 k ， 高二数学（文科）第 20 页，总 28 页 则 111 21 2 22 AOB SOA OBk k 111 44444 22 k k ， 当且仅当4k 1 k 即 k 1 2 时取等号， 此时直线方程 y1 1 2 （x2）,即 x+2y40 故答案为：x+2
21、y40 【点睛】 本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题 17 （1）3 4230 xy ; （2）4 310 xy . 【解析】 试题分析： (1)首先求得中点坐标， 然后求得斜率， 最后利用点斜式公式即可求得直线方程； (2)利用点斜式可得直线方程为4 310 xy . 试题解析： （1） 82 5 2 ， 62 2 2 AB的中点坐标为5, 2 624 823 AB k ，AB的中垂线斜率为 3 4 由点斜式可得 3 25 4 yx AB的中垂线方程为34230 xy 高二数学（文科）第 21 页，总 28 页 （2）由点斜式 4 32 3 yx 直线l的方程
22、4310 xy 18 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）证明AC 平面 11 BCC B得到答案. （2）F为AC中点，连接EF，DF，确定四边形 1 FEB D为 平行四边形，得到证明. 【详解】 （1） 在直三棱柱 111 ABCABC， 则 1 CC 平面ABC，AC 平面ABC， 故 1 C CA C， ACBC， 1 BCCCC，故AC 平面 11 BCC B，AC 平面ACD， 故平面ACD平面 11 BCC B. （2）如图所示：F为AC中点，连接EF，DF，故 1 / 2 EFAB， 1 1 / 2 DBAB， 故 1 /EF DB，故四边形 1
23、FEB D为平行四边形，故 1 /B E DF，DF 平面ADC， 故 1 / /B E平面ACD. 【点睛】 本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力. 19 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 . 高二数学（文科）第 22 页，总 28 页 【解析】 【分析】 （1）取AP的中点 G，连接,EG BG，证明四边形BCEG为平行四边形，则有/CE BG， 即可证/CE平面PAB； （2）过点 A作AHBP，垂足为 H，证明AH 平面PBC，又/AD BC，所以点 D到 平面PBC的距离即为AH长，求解AH即可.此问也可采用等体积法求解. 【详解】 （1）如图，取
24、AP的中点 G，连接,EG BG. ,DEPE AGPG，/GE AD且2ADGE. 2AD ，1GE . /,1BC AD BC ，/GE BC且GEBC， 四边形BCEG为平行四边形， /CE BG. 又BG 平面PAB，CE平面PAB， /CE平面PAB. （2）如图，过点 A 作AHBP，垂足为 H. 高二数学（文科）第 23 页，总 28 页 AP 平面,ABCD BC 平面ABCD，APBC. ,BCAB ABAPA，又,AP AB 平面PAB，BC平面PAB. AH 平面PAB，AHBC. ,AHBP BPBCB BP BC平面PBC，AH 平面PBC. 在RtAPB中， 22
25、22 5 5, 55 ABAP BPABAPAH BP . /,AD BC BC 平面,PBC AD 平面PBC，/AD平面PBC， 点 D到平面PBC的距离与点 A 到平面PBC的距离相等， 故点 D到平面PBC的距离为 2 5 5 . （注：也可利用 P BCDD PBC VV 求解） 【点睛】 本题主要考查了直线与平面平行的证明，直线与平面垂直的判断，点到平面距离的计算，考 查了学生的直观想象，逻辑推理与运算求解能力，考查了转化与化归的思想. 20 （1）4,1P （2）50 xy或40 xy 高二数学（文科）第 24 页，总 28 页 【解析】 【分析】 (1)将含有m的项提取出来,再
26、令m所乘的式为 0,不含m的项也为 0,列方程求解即可. (2)算出直线l在 , x y轴上的截距令其相等求解即可. 【详解】 (1) 由2 380mxmym 化简得(3)280m xyx, 令 304 2801 xyx xy ,故直线l恒过定点 4,1P (2)由题得2 380mxmym 中20,0mm. 令0 x有 38 380 m mymy m ,故l在y轴上的截距为 38m m . 令0y 有 38 2380 2 m mxmx m .故l在y轴上的截距为 38 2 m m . 故 3838 38220 2 mm mm mm ,故1m或 8 3 m . 当1m时, 化简得50 xy,当
27、8 3 m 时,化简得40 xy 故直线的方程为50 xy或40 xy 【点睛】 本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型. 21 （1） 22 (1)(3)29xy； （2） 22 (2)10 xy 【解析】 高二数学（文科）第 25 页，总 28 页 【分析】 （1）求出圆心坐标和圆的半径即可得； （2）设圆心坐标为( ,0) a ，利用圆上两点到圆心距离相等求得a，然后再求得圆半径，得圆 方程 【详解】 （1）由题意线段AB中点坐标为(1, 3)，半径为 22 (1 6)( 3 1)29r ， 所求圆方程为 22 (1)(3)29xy； （2）设圆心坐标为( ,0)
28、 a ，圆过,C D两点， 2222 (1)1(1)3aa，解得2a， 22 (1)310a， 圆方程为 22 (2)10 xy 【点睛】 本题考查求圆的标准方程，确定圆心与圆的半径是解题关键 22 （1）见解析； （2） 4 . 【解析】 【分析】 （1）连接 1 CD，证明 1 C D 平面 1 BCD，进而可得出 11 C DBD； （2） 连接 1 BC、 1 AB、 1 AB， 设 11 C DCDO， 过点M在平面 11 AAB B内作 1 MQAB， 垂足为点Q，连接OQ，设 1 OQC MN，则角 1 C NO和MNQ均为直线 1 C M与平 面 11 BCD A所成的角，从而
29、可得出 1 1 1 sin C OMQ C NO C M ，即可求出所求角. 高二数学（文科）第 26 页，总 28 页 【详解】 （1）如下图所示，连接 1 CD， 在正方体 1111 ABCDABC D中，BC平面 11 CDDC， 1 C D 平面 11 CDDC， 1 C DBC， 四边形 11 CDDC为正方形， 11 C DCD， 1 BCCDC， 1 C D平面 1 BCD， 1 BD 平面 1 BCD， 11 C DBD； （2） 连接 1 BC、 1 AB、 1 AB， 设 11 C DCDO， 过点M在平面 11 AAB B内作 1 MQAB， 垂足为点Q，设 11 ABA
30、BE，设正方体的棱长为2， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 /AD BC且 11 ADBC， 所以，四边形 11 ABC D为平行四边形， 11 /ABC D， 高二数学（文科）第 27 页，总 28 页 1 C D 平面 11 BCD A， 1 AB平面 11 BCD A， 在平面 11 ABB A内， 11 ABAB， 1 MQAB， 1 /MQ AB， 1 /MQ CO， 则M、Q、 1 C、O四点共面， M为AB的中点， 1 112 242 MQAEAB，且 11 1 2 2 COC D， BM Q平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， 1 BM
31、BC， 由勾股定理得 2 222 11 12 23C MBMBC ， 连接OQ，设 1 OQC MN，则直线 1 C M与面 11 BCD A所成角为 1 C NOMNQ， 则 1 1 1 sin C O C NO C N ，sin MQ MNQ MN ， 由连比定理得 11 1 11 2 2 2 2 sin 32 COMQCOMQ C NO C NMNC M ，则 1 4 CNO ， 因此，直线 1 C M与面 11 BCD A所成角为 4 . 高二数学（文科）第 28 页，总 28 页 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
