1、 1 湖北省鄂州市部分高中联考协作体湖北省鄂州市部分高中联考协作体20202020- -20212021学年高二上学期期中学年高二上学期期中 考试考试数学试卷 考试时间：2020 年 11 月 20 日上午 8：00-10：00 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1. 下列四面体中，直线 EF与 MN 可能平行的是( ) A. B. C. D. 2. 若异面直线 分别在平面内，且，则直线 ( ) A. 与直线都相交 B. 至少与中的一条相交 C. 至多与中的一条相交 D. 与中的一条相交，另
2、一条平行 3. 在一组样本数据中， 1， 4， m， n 出现的频率分别为0.1， 0.1， 0.4， 0.4， 且样本平均值为2.5， 则 + = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知数列*+满足：1= 2,+1= 1 1 ，设数列*+的前项和为，则2017 = ( ) A. 1007 B. 1008 C. 1009.5 D. 1010 5. 正方体 1111的棱长为4， E， F为 1， 11的中点， 点P是面ABCD上一动点， = 3， 则 FP的最小值为( ) 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第! !异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 11 页 2 A. 21 B.
3、 22 C. 26 D. 5 6. 若无穷等差数列*+的首项1 0，公差 0，*+的前 n项和为，则( ) A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有最大值 D. 有最小值 7. 设 m，n 为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题： 若 ，/，则 ; 若 ， ，/，/，则/; 若/，/，则/; 若 ，/，/，则 其中所有正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 8. 已知直线 + 2 4 = 0与直线2 + + + 3 = 0平行，则它们之间的距离为( ) A. 5 B. 10 C. 35 2 D. 310 2 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
4、分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 其中正确的命题有( ) A. 如果 ， ，/，那么 B. 如果 ，/，那么 C. 如果/， ，那么/ D. 如果/，/，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 10. 在数列*+中，如果对任意 都有 +2+1 +1 = (为常数)，则称*+为等差比数列，k 称为公 差比.下列说法正确的是( ) A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为 0 C. 若= 3+ 2，则数列*+是等差比数列 D. 若等
5、比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 3 11. 下列命题中是真命题的有( ) A. 有 A，B，C 三种个体按312的比例分层抽样调查，如果抽取的 A 个体数为 9，则样本容量 为 30 B. 一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 某一组样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区 间,114.5,124.5-内的频率为0.4 12. 如图，正方体 1111的棱长为 a，线段11上有两个动点 E，F，且 =
6、2 2 ，以下结 论正确的有( ) A. B. 点 C. 三A 到平面 BEF 的距离为定值 棱锥 的体积是正方体 1111体积的 1 12 D. 异 面直线 AE，BF 所成的角为定值 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 我国古代数学家杨辉、 宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题， 如数列* (+1) 2 +就是二阶等差数列， 数列*(+1) 2 +，( )的前 3项和_ 14. 某公司共有 3个部门，第 1 个部门男员工 60 人、女员工 40人，第 2个部门男员工 150人、女员 工 200 人，第 3个部门男员工 240人、女员工 160人若按性别用分层抽样的方法从这
7、 3个部门 选取 51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为_ 15. 过点(3,2)，(5,2)，且圆心在直线3 2 + 4 = 0上的圆的半径为_ 16. 若直线 l： 2 = 0与曲线 C：1 ( 1)2= 1有两个不同的交点，则实数 k的取值范 围是_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 如图，在三棱柱111中，1= ，1 1，设 O 为1与1的交点，点 P为 BC 的 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第! !异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 11 页 4 中点求证： (1) /平面11； (2)平面1平面 OCP 18. 如图，在矩形 ABC
8、D中， = 2， = 4，E，F 分别为边 AB，AD的中点现将 沿 DE 折起，得四棱锥 (1)求证： /平面 ABC； (2)若平面 平面 BCDE，求四面体 FDCE的体积 19. 如图， 在直三棱柱 111中， 是以 BC为斜边的等腰直角三角形， O， M 分别为 BC， 1的中点 (1)证明： /平面11 (2)若四边形11是面积为 4 的正方形，求点 M到平面11的距离 20. 某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩， 按成绩分组并得各组频数如下(单位： 分)：,40,50)，4；,50,60)，6；,60,70)，20；,70,80)，30；,80,90)，24；
9、,90,100-，16 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方 图； (3)估计本次考试成绩 的中位数(精确到 0.1) 21. 已知数列*+的前 n 项和为，= 2+ + + 1( , ) (1)若 = 2，求数列*+的通项公式； 5 (2)若数列*+是等差数列，= +1 +1，数列*+的前 n项和为，是否存在 ，使得 +1= 3(+ 1)？若存在，求出所有满足条件的 n的值；若不存在，请说明理由 22. 如图， 在四棱锥 中， 底面 ABCD 是梯形， /， = = = 1 2 = 2， (1)证明：平面 平面 ABCD； (2)若 = 4， = 23，求二面角 的余弦值 2020
10、 秋季鄂州市部分高中联考协作体期中考试秋季鄂州市部分高中联考协作体期中考试 高二数学答案 【答案】【答案】 1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. BCD 10. BCD 11. BD 12. ABC 13. 10 14. 24 15. 10 16. .4 3,2 17. 解：(1)因为在平行四边形11中，O为1与1的交点， 所以 O为1的中点 又因为点 P为 BC的中点， 所以/1B.-3 分 又 平面11，1 平面11， 所以/平面11-5 分 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第! !异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 11 页 6 (2
11、)由(1)知/1，又1 1， 所以1 ， 在平行四边形11中，1= ， 所以四边形11为菱形，所以1 1， 又 OP，1 平面 OCP，且 1 = ， 所以1平面 OCP，-8 分 又1平面1， 所以平面1 平面 OCP-10 分 18. (1)证明：取线段 AC 的中点记为 M，连接 MF、MB， 为 AD的中点， /，且 = 1 2， 在折叠前，四边形 ABCD为矩形，E为 AB的中点， /，且 = 1 2， /，且 = ， 四边形 BEFM 为平行四边形， /-4 分 又因为 平面 ABC， 平面 ABC， /平面 ABC；-6 分 (2)在折叠前，四边形 ABCD 为矩形， = 2，
12、= 4，E为 AB的中点， 、 都是等腰直角三角形，且 = = = = 2， = = 45，且 = = 22， 又 + + = 180， = 90，即 ， 又因为平面 平面 BCDE， 平面 平面 = ， 平面 BCDE， 平面 ADE，即 CE 为三棱锥 的高，-10 分 为 AD的中点， 7 = 1 2 1 2 = 1 4 2 2 = 1， 四面体 FDCE 的体积为： = 1 3 = 1 3 1 22 = 22 3 -12 分 19. 解：(1)证明：如图， 连接1，交1于点 N，连接1，ON，则 N 为1的中点 因为 O为 BC的中点，所以 / 1，且 = 1 21， 又1 / 1，1
13、= 1 21， 所以1为平行四边形，即 / 1， 因为 平面11，所以 /平面11；-4 分 (2)解：因为四边形11是面积为 4 的正方形， 所以 = 1= 2. 连接 AO，因为 = ，O 为 BC的中点，所以 . 因为三棱柱 111是直三棱柱，所以 1， 又 1= ，所以 平面11C. 由(1)可知 / 1， 所以点 M到平面11的距离等价于点 O 到平面11的距离，-8 分 设点 O到平面11的距离为 h， 在 11中，1 = 22，1 = 6，11= 2， 所以12= 12+ 11 2，从而 11 = 1 2 6 2 = 3， 所以11= 1 311 = 3 3 ， 又因为11= 1
14、1= 1 31 = 1 3 1 2 1 2 1 = 1 3， 所以 = 3 3 ， 所以点 M到平面11的距离为 3 3 -12 分 20. 解：(1)由题意列出频率分布表如下：-4 分 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第! !异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 11 页 8 成绩分组 频数 频率 频率/组距 ,40,50) 4 0.04 0.004 ,50,60) 6 0.06 0.006 ,60,70) 20 0.2 0.02 ,70,80) 30 0.3 0.03 ,80,90) 24 0.24 0.024 ,90,100- 16 0.16 0.016 合计 100 1 0.1 (
15、2)画出频率分布直方图，如下：-8 分 (3)由频率分布直方图得： ,40,70)的频率为：0.04 + 0.06+ 0.2 = 0.3，,70,80)的频率为0.3， 估计本次考试成绩的中位数为： 70 + 0.50.3 0.3 10 76.7 -12 分 21. 解：(1)当 = 2时，= 2+ + 3 当 = 1时，1= 1= 5；-2 分 当 2时，= 1= 2 经检验，1= 5不符合上式， 9 故数列*+的通项公式= 5, = 1 2, 2,-4 分 (2)当 = 1时，1= 1= 3 + ； 当 2时，= 1= 2 因为数列*+是等差数列， 所以3 + = 2，解得 = 1， 因为
16、= 2，= 2+ 则 = 2(+1) ,(+1)2+1- = 2(+1) (+1)(+2) = 2 (+2) = 1 1 +2，-8 分 故= 1+ 2+.+= .1 1 3/ + . 1 2 1 4/ + . 1 3 1 5/+.+. 1 1 +2/ = 1 + 1 2 1 + 1 1 + 2 = 3 2 1 + 1 1 + 2 所以+1= ( + 1)( + 2).3 2 1 +1 1 +2/ = 3(+1)(+2) 2 ( + 2) ( + 1) = 3(+1)(+2) 2 (2 + 3) 令+1= 3(+ 1)，整理得32 7 6 = 0，所以 = 3， 故存在 = 3满足题意-12
17、分 22. 解：(1)证明：过点 A作 BC 的垂线交 BC于点 G， 因为/， = = = 1 2 = 2， 所以 = 1，则 = 30， = 60， 四边形 ABCD为等腰梯形，且 = ， 易知 = = 30， 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第! !异常的公式结尾异常的公式结尾页，共 11 页 10 所以 = 90，即 ，-3 分 因为 ， = ，PB， 平面 PAB， 所以 平面 PAB， 因为 平面 ABCD， 所以平面 平面 ABCD；-6 分 (2)因为 = 4， = 23， = 2， 则2= 2+ 2，所以 ， 由(1)知平面 平面 ABCD，平面 平面 = ， 平面 PAB， 平面 ABCD， 又 平面 PBC， 平面 平面 ABCD， 过点 D作 于 E， 又平面 平面 = ， 平面 ABCD， 则 平面 PBC， 过 E 作 交 PC于 F，连接 DF， 平面 PBC， 平面 PBC， 故 DE ， 又 ， = ，DE， 平面 DEF， 故 平面 DEF， 有 平面 DEF，则 ， 则为所求二面角的平面角，-10 分 在梯形 ABCD中，求得 = 3， 在 中，求得 = 3 7 ， 在 中，求得 = 26 7 ， 在 中，求得cos = = 3 7 26 7 = 2 4 ， 故二面角 的余弦值为 2 4 -=12 分 11
