1、第 1 页，共 9 页 滨海新区大港油田第三中学滨海新区大港油田第三中学 20202020- -20212021 学年学年 高二期中数学试卷高二期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，小题，每小题每小题 6 6 分，分，共共 60 分）分） 1. 若向量a = (2,0，1)，向量b = (0,1，2)，则2a b = ( ) A. (4,1，4) B. (4,1，0) C. (4,1,0) D. (4,1,4) 2. 抛物线y2= 8x的准线方程为( ) A. x = 2 B. x = 1 C. y = 1 D. x = 2 3. 双曲线4x2 9y2= 36的渐近线
2、方程是( ) A. y = 3 2 x B. y = 2 3 x C. y = 9 4 x D. y = 4 9 x 4. 已知向量a = (1,2，4)，b = (x,1,2)，并且a b ，则实数 x 的值为( ) A. 10 B. 10 C. 1 2 D. 1 2 5. 焦距是 10，虚轴长是 8，经过点(32,4)的双曲线的标准方程是( ) A x2 9 y2 16 = 1 B. y2 9 x2 16 = 1 C. x2 36 y2 64 = 1 D. y2 36 x2 64 = 1 6. 若动点 ), yxM（ 满足方程10)2()2 2222 yxyx（，则动点 M 的轨迹方程 （
3、 ） A 1 1625 22 yx B 1 2125 22 yx C 1 425 22 yx D 1 16 x 25 y 22 7. 如图， 在三棱柱ABC A1B1C1中， M 为A1C1的中点， 若AB = a ， AA1 = c ， BC = b ，则BM 可表示为( ) A. 1 2 a + 1 2 b + c B. 1 2 a + 1 2 b + c C. 1 2 a 1 2 b + c D. 1 2 a 1 2 b + c 8. 已知双曲线C1：x 2 a2 y2 b2 = 1(a 0, 0)的离心率为2.若抛物 线C2:x2= 2py(p 0) 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为
4、 2，则抛物线C2的方程 为( ) A. x2= 83 3 y B. x2= 163 3 y C. x2= 8y D. x2= 16y 第 2 页，共 9 页 9. 已知直线l1： 4x 3y + 6 = 0和直线l2： x = 1， 抛物线y2= 4x上一动点 P 到直线l1和 直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 11 5 D. 37 16 10. 设图F1、F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b2 = 1(a 0, 0)的左、右焦点，双曲线上存在一 点 P 使得|PF1| + |PF2| = 3b，|PF1| |PF2| = 9 4 ab，则该双曲线的离心率为(
5、 ) A. 4 3 B. 5 3 C. 9 4 D. 3 二、填空题（本题共 6 个小题，每题 7 分，共 42 分） 11. 若向量a = (x,1,3)，向量b = (2,y，6)，且a /b ，则x =_，y =_ 12. 若双曲线x 2 9 y2 16 = 1上一点P到右焦点的距离为4， 则点P到左焦点的距离是_ 13. 若方程 x2 5;m + y2 m;1 = 1表示焦点在 y 轴的椭圆，则实数 m 的取值范围是_ 14. 在空间直角坐标系O xyz中，A(1,2，1)，B(0,1，2)，C(1,1，1)，则异面直线 OA 与 BC 所成角的余弦值为_ 15. 圆 04 22 yx
6、 与圆 01244 22 yxyx 的公共弦长为 16. 如图， 直三棱柱ABC一A1B1C1中， 侧棱长为2， AC = BC = 1， ACB = 90，D 是A1B1的中点，F 是BB1上的动点，AB1， DF交于点E， 要使AB1平面C1DF， 则线段B1F的长为_ 三、解答题（本题共 3 题，每题 16 分，共 48 分） 17.已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点A(1,0)，B(1,2) ()求线段 AB 的垂直平分线方程； ()求圆 C 的标准方程； ()过点P(0,2)的直线 l 与圆 C 相交于 M、 N 两点， 且|MN| = 23， 求直线 l 的方程 第 3 页，
7、共 9 页 18. 如图， 在三棱柱ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC， AC BC， AC = BC = 2， CC1= 3， 点 D，E 分别在棱AA1和棱CC1上，且AD = 1，CE = 2，M 为棱A1B1的中点 ()求证：C1M B1D； ()求二面角B B1E D的正弦值； ()求直线 AB 与平面DB1E所成角的正弦值 第 4 页，共 9 页 19.已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于1 2，它的一个短轴端点恰好是抛物线 x2= 83y的焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，已知P(2,3)，Q(2,3)是椭圆上的两 点，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧
8、的动点 若直线 AB 的斜率为1 2，求四边形 APBQ 面积 的最大值； 当 A，B 运动时，满足APQ = BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理 由 第 5 页，共 9 页 1. 已知椭圆 C的中心在原点，离心率等于1 2，它的一个短轴端点恰好是抛物线 2 = 83的焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，已知(2,3)，(2,3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点 第 6 页，共 9 页 若直线 AB的斜率为1 2，求四边形 APBQ 面积的最大值； 当 A，B 运动时，满足APQ = BPQ，试问直线 AB的斜率是否为定值？请说明理由 【答案】
9、解：(1)设椭圆 C 的方程为 2 2 + 2 2 = 1( 0)， 抛物线的焦点为(0,23). = 23 由 = 1 2， 2 = 2+ 2，得 = 4， 椭圆 C的方程为 2 16 + 2 12 = 1 (2)设(1,1)，(2,2). 设直线 AB的方程为 = 1 2 + ， 代入 2 16 + 2 12 = 1，得2+ tx + 2 12 = 0， 由 0，解得， 1+ 2= ，12= 2 12， |1 2| = (1+ 2)2 412= 2 4(2 12) = 48 32 四边形 APBQ的面积 = 1 2 6 |1 2| = 348 32 当 = 0时，S取得最大值，且max=
10、123 若APQ = BPQ，则直线 PA，PB 的斜率之和为 0， 设直线 PA的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为，直线 PA 的方程为 3 = ( 2)， 由 3 = ( 2), 2 16 + 2 12 = 1 消去 y，得(3 + 42)2+ 8(3 2) + 4(3 2)2 48 = 0， 1+ 2 = 8(2;3) 3:42 ， 将 k换成可得2+ 2 = ;8(;2;3) 3:42 = 8(2:3) 3:42 ， 第 7 页，共 9 页 1+ 2= 162;12 3:42 ，1 2= ;48 3:42， AB= 1;2 1;2 = (1;2):3:(2;2);3 1;2 = (1
11、:2);4 1;2 = 1 2， 直线 AB 的斜率为定值1 2 【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计 算出椭圆的标准方程是解答本题的关键 (1)根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线2= 83的焦点， 离心率等于 1 2.由此列式解出出a， b的值， 即可得到椭圆 C的方程 (2)设(1,1)，(2,2)，直线 AB 的方程为 = 1 2 + ，将直线的方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系求得四边形 APBQ的面积，从而解决问题 设直线 PA的斜率为 k，则 PB 的斜率为，PA的直线方程为 3 = ( 2
12、)将直线的方程代入 椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系求得1+ 2，同理 PB的直线 方程为 3 = ( 2)，可得2+ 2，从而求出，即可得出 AB 的斜率为定值1 2 2. 如图，在三棱柱 111中，1 平面 ABC， ， = = 2， 1= 3， 点 D， E 分别在棱1和棱1上， 且 = 1， = 2，M为棱11的中点 ()求证：1 1； ()求二面角 1 的正弦值； ()求直线 AB 与平面1所成角的正弦值 【答案】解：根据题意，以 C 为原点， ， ， 1 的方向为 x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直 角坐标系，如图所示， 第 8 页，共 9
13、页 则(0,0，0)，(2,0，0)，(0,2，0)，1(0,0，3)， 1(2,0，3)，1(0,2，3)，(2,0，1)，(0,0，2)，(1,1，3)， ()证明：依题意，1 = (1,1，0)，1 = (2,2,2)， 1 1 = 2 2 + 0 = 0， 1 1 ，即1 1； ()依题意， = (2,0，0)是平面1的一个法向量， 1 = (0,2，1)， = (2,0，1)， 设 = (,y，)为平面1的法向量， 则 1 = 0 = 0 ，即2 + = 0 2 = 0， 不妨设 = 1，则 = (1,1,2)， cos = | | | = 6 6 ， sin = 1 1 6 = 3
14、0 6 ， 二面角 1 的正弦值为 30 6 ； ()依题意， = (2,2，0)， 由()知， = (1,1,2)为平面1的一个法向量， cos = | | | = 3 3 ， 直线 AB 与平面1所成角的正弦值为 3 3 【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了 运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题 ()建立空间坐标系，根据向量的数量积等于 0，即可证明； ()先求得平面1的法向量 ，而 是平面1的一个法向量，再根据向量的夹角公式求解； ()求出cos 值，即可求出直线 AB与平面1所成角的正弦值 第 9 页，共 9 页 3.
15、 已知圆 C 的圆心在 x轴上，且经过点(1,0)，(1,2) ()求线段 AB 的垂直平分线方程； ()求圆 C 的标准方程； ()过点(0,2)的直线 l与圆 C相交于 M、N 两点，且| = 23，求直线 l的方程 【答案】解：()设 AB 的中点为 D，则(0,1) 由圆的性质，得， 所以 = 1，= 2;0 1:1 = 1，得= 1 所以线段 AB 的垂直平分线 CD的方程是 = + 1. ()设圆 C 的标准方程为( )2+ 2= 2，其中(,0)，半径为( 0). 由圆的性质，圆心(,0)在直线 CD 上，化简得 = 1 所以圆心(1,0)， = | = (1 + 1)2= 2，
16、 所以圆 C 的标准方程为( 1)2+ 2= 4; ()由(1)设 F 为 MN中点，则 ，得| = | = 3 圆心 C到直线的距离 = | =4 (3)2= 1 当 l的斜率不存在时，: = 0，此时| = 1，符合题意. 当 l的斜率存在时，设: = + 2，即 + 2 = 0， 由题意得 = |1:2| 2:1 = 1，解得： = 3 4 故直线 l的方程为 = 3 4 + 2，即3 + 4 8 = 0 综上直线 l的方程 = 0或3 + 4 8 = 0 【解析】本题考查直线与圆的有关问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题 圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意 弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系 ()利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果； ()设圆 C 的标准方程为( )2+ 2= 2，结合第一问可得结果； ()由题意可知：圆心 C 到直线的距离为 1，分类讨论可得结果
