1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称 为 优化问题 .通过前面的学习,我们知道, 导数 是求函数最大(小)值的 有力工具,运用 导数 可以解决一些生活中的 优化问题 . 1 |生活中导数的应用 2 |怎样解决实际问题 解决实际问题时,要把问题中所涉及的几个变量构成一个 函数关系式 , 这需要通过 分析、联想、抽象和转化 来完成.函数的最值由 极值和端 点的函数值 来确定,当函数在 开区间 上 只
2、有一个极值 时,这个极值 就是它的最值. 1.4 生活中的优化问题举例 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程. 3 |解决优化问题的基本思路 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.用导数研究实际问题时,要先求定义域.( ) 提示:优化问题要符合实际意义,需要考虑定义域. 2.面积为S的一切矩形中,周长最小的矩形的边长是.( ) 3.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为4 m.( ) S 判断正误，正确的画“
3、” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |利用导数解决生活中的实际问题 用数学知识解决生活中的实际应用问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最 低、利润最大、效率最高等问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,确定主要 问题,抓主元,找主线,把“问题情境”翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合 适的数学方法求解,然后经过检验得到实际问题的解. 解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值,是解决这类问题的有效方法, 有时与判别式、基本不等式、线性规划及二次函数的性质等灵活结合,多举并用, 达到最佳效果. 第第1讲讲
4、描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()根据日常消费统计可知,某产品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克,1x12)满足:当1x4时,y=m(x-3)2+(m,n为常数);当4x12时, y=-100.已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该产品800千克;当销售价格 为3元/千克时,每日可售出150千克. -1 n x 2 800 x (1)求m,n的值,并确定y关于x的函数解析式; (2)若该产品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格,使店铺每日销售该产品所获 利润f(x)最大.(精确到0.1) 第第1讲讲 描述运动的基本
5、概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)x=2时,y=800,m+n=800, 又x=3时,y=150, n=300,可得m=500. y= (2)由题意可得f(x)=y(x-1)= 当10,得x3或x,由 f(x)0,得x3, f(x)在,(3,4)上单调递增,在上单调递减, 又f=+300 f(4)=1 800, 当x=4时, f(x)有最大值1 800. 当4x12时, f(x)=(x-1)=2 900-2 900-4001 842. 当且仅当100 x=,即x=2时取等号, x=25.3时, f(x)有最大值1 842, 1 8001 842,
6、当x=25.3时, f(x)有最大值1 842,即当销售价格为5.3元时,该店铺所获利润最 大. 5 3 5 3 5 1, 3 5 ,3 3 5 3 16 000 27 2 800 -100 x 2 800 100 x x 7 2 800 x 7 7 7 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及 CD的中点P处,AB=20 km,BC=10 km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区 域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管
7、道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为y km. (1)分别按下列要求建立函数关系式: 设BAO= rad,将y表示成的函数; 设OP=x km,将y表示成x的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总 长度最短. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)取线段AB的中点Q,连结PQ,由题中条件知直线PQ垂直平分线段AB. 若BAO= rad,则OA=,故OB=, 又OP=10-10tan , 所以y=OA+OB+OP=+10-10tan , 即所求函数关系式为y=-10tan +
8、10. 若OP=x km,则OQ=(10-x) km,所以OA=OB= , 所以所求函数关系式为y=x+2(0 x10). (2)选择. y=, cos AQ 10 cos 10 cos 10 cos 10 cos 20 cos 0 4 22 OQAQ 22 (10- )10 x 2-20 200 xx 2-20 200 xx 2 20sin -10 cos 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 当时, y0,函数单调递增, 所以当=时,函数取得极小值也是最小值,这时点O在矩形区域内位于线段AB的 中垂线上,且距离AB边 km处. 0, 6
9、, 6 4 6 10 3 3 令y=0,得sin =, 因为0,所以=, 1 2 4 6 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 几何中的最值问题,往往涉及空间图形的表面积与体积.解决此类问题需要熟 悉相关公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合方式,将已知 图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.用导数解决几何中面积、体积的最值问 题,是实际问题中一类较常见的类型.解决面积、体积最值问题的思路: (1)正确引入变量; (2)将面积或体积表示为变量的函数; (3)结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 2 |利用导数解决几
10、何中的实际问题 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()如图,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm. (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动
11、的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm. 由已知得a=x,h=(30-x),0x0;当x(20,30)时,V0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值. 此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为. 2 60-2 2 x 2 2 2 h a 1 2 1 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()图是一个仿古的首饰盒,其左视图是由一个半径为r分米的半 圆和矩形ABCD组成,其中AD长为a分米,如图.为了美观,要求ra2r.已知该首 饰盒的长为4r分米,容积
12、为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其 表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米2百元,上半部分的制作费用为每平 方分米4百元,设该首饰盒的制作费用为y百元. (1)写出y关于r的函数解析式; (2)当r为何值时,该首饰盒的制作费用最低? 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)由题意知4=4r=2r3+8ar2, a=. 又由ra2r,得r, y=2(4ar+8ar+8r2)+4(r4r+r2) =24ar+16r2+20r2 =24r+20r2+16r2 =+(16+14)r2r. (2)令f(r)=+(16+14)r2, 则f(r)=- +(32+28)r, 令f(r)=0,得r=, 2 1 2 2 rar 3 2 4-2 8 r r 3 2 2- 4 r r 3 2 8 3 2 4 3 2 2- 4 r r 12 r 3 2 8 3 2 4 12 r 2 12 r 3 3 87 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 -=0,函数f(r)为增函数. r=时, f(r)最小. 故当r=时,该首饰盒的制作费用最低. 3 87 2 8 8-11 (87)(8) 3 2 8 3 2 4 3 2 8 3 2 8
