1、高二年级上学期第一次月考数学试卷 第第 I 卷卷(选择题选择题,共共 60 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共共 60 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一一 项是符合题目要求项是符合题目要求) 1.下列关于棱台的说法，不正确的是( ) A. 所有的侧棱交于一点B. 只有两个面互相平行 C. 上下两个底面全等D. 所有的侧面不存在两个面互相平行 2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由( ) A. 一个圆台、两个圆锥构成 B. 两个圆台、一个圆锥构成 C. 两个圆柱、一个圆锥
2、构成 D. 一个圆柱、两个圆锥构成 3.已知两条直线 l，m和一个平面，下列说法正确的是( ) A. 若l m，m/，则l B. 若l m，l ，则m/ C. 若l ，m/，则l m D. 若l/，m/，则l/m 4.下列命题正确的是( ) A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 5.若直线2x + (a + 2)y + 4 = 0与直线(a 1)x + 2y + 2 = 0平行，则实数 a 的值为( ) A.2 B. 3
3、 C. 2 或3 D. 2 3 6.已知直线 l过点A(1,3)，B(2,m)两点，若直线 l的倾斜角是2 3 ，则m = ( ) A.0 B. 23 C. 23 D. 43 7.已知两点P(4,0)，Q(3,2)，若直线y = kx 2与线段 PQ 相交，则实数 k的取值范围是( ) A. 1 2, 4 3 B. 4 3, 1 2 C. (, 4 3 1 2,+) D. (, 1 2 4 3,+) 8.已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，
4、则 在正方体盒子中，ABC的度数是( ) A. 0 B. 30 C. 60 D. 90 10.正方形 ABCD的中心为点O(1,0)，AB 边所在的直线方程是x + 3y 5 = 0，则 CD 边所在的直线的方程为( ) A. x + 3y + 7 = 0 B. 3x y 3 = 0 C. 3x y + 9 = 0 D. x + 3y 27 = 0 11.如图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在正方体表面上移动，且满 足B1P BD1，则点B1和动点 P 的轨迹形成的图形的周长是( ) A. 42 B. 32 C. 33 D. 43 12.某四棱锥的三视图如图所示，
5、则该四棱锥的表面积为( ) A. 8 + 42 B. 6 + 2 + 23 C. 6 + 42 D. 6 + 22 + 23 第第 II 卷卷(非选择题非选择题,共共 90 分分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示， 已知其主视图是边长为 4的正三角形， 则该几何体的侧面积为_. 14已知水平放置的ABC的直观图ABC （斜二测画法）是边长为 2a的正三角形，则原 ABC的面 积为_. 15点P(2,3)到直线l:ax + y 2a = 0的距离为d，则d的最大值为_. 16.过点A(3,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_.
6、三、解答题(共 70 分.解答时应写出必要的文字说明) 17.（本题 10 分） 已知直线l1：2x + y 2 = 0；l2：mx + 4y + n = 0(m,n为常数) (1)若l1 12，求 m的值； (2)若l1/12，且它们的距离为5，求 m，n 的值 18.（本题 12 分） 已知 ABC的三个顶点分别为A(2,4)，B(1,1)，C(7,3) (1)求 BC边上的中线所在直线的方程； (2)求 BC边上的高所在直线的方程 19.（本题 12 分） 已知 ABC的顶点A(3,1)，B，C平分线所在的直线方程分别是x = 0，y = x，求边 BC 所在的直线方程 以及 B，C的坐
7、标 20.（本题 12 分） 如图，三棱锥A BCD中，AB 平面 BCD，CD BD ()求证：CD 平面 ABD； ()若AB = BD = CD = 1，M为 AD 中点，求三棱锥A MBC的体积 21. （本题 12 分） 如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1= AB，F、F1分别是 AC、A1C1的中点 (1)求证：平面AB1F1/平面C1BF； (2)求证：平面AB1F1平面ACC1A1 22.（本题 12 分） 如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1，CAB = CBA = 45.点 M，N 分别是A1B1，BC 的中点 (1)求证：BM /平面A1C1N； (2)若C
8、C1= BC，探究：在线段CC1上是否存在一点 P，使得平面B1MP 平面A1C1N， 高二年级上学期第一次月考数学答案 1.下列关于棱台的说法，不正确的是( ) B. 所有的侧棱交于一点 B. 只有两个面互相平行 C. 上下两个底面全等 D. 所有的侧面不存在两个面互相平行 【解答】由棱台的定义可知： A.所有的侧棱交于一点，正确； B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确； C.棱台的上下两个底面不全等，故 C 不正确； D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确； 故选：C 2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由( ) B. 一个圆台、两个圆锥构成
9、 B. 两个圆台、一个圆锥构成 C. 两个圆柱、一个圆锥构成 D. 一个圆柱、两个圆锥构成 【解答】根据题意，由圆柱，圆锥的定义可得， 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周， 所得的几何体由一个圆柱、两个圆锥构成 故选 D 3.已知两条直线 l，m和一个平面，下列说法正确的是( ) A. 若l m，m/，则l B. 若l m，l ，则m/ C. 若l ，m/，则l m D. 若l/，m/，则l/m 【解答】对于 A选项，若l m，m/，则 l在平面内，l与平行或者相交，故 A 错误； 对于 B选项，若l m，l ，则m/或者 m在平面内，故 B错误； 对于 C选项，若l ，m/，
10、则l m，故 C 正确； 对于 D选项，若l/，m/，则 l与 m相交、平行或异面，故 D 错误； 故选 C 4.下列命题正确的是( ) A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 【解答】对于 A，棱柱的侧面不一定全等，故错误； 对于 B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误； 对于 C，由侧棱两两垂直得到侧棱与面垂直，进而得到侧面也互相垂直，故正确； 对于 D，棱台的侧棱延长后交于一点，侧面不一
11、定是等腰梯形，故错误； 故选：C 5.若直线2x + (a + 2)y + 4 = 0与直线(a 1)x + 2y + 2 = 0平行，则实数 a 的值为( ) A. 2 B.3 C. 2 或3 D. 2 3 【解答】由(a 1)(a + 2) 2 2 = 0，化为：a2+ a 6 = 0， 解得a = 3或 2，经过验证a = 2时，两条直线方程都为x + 2y + 2 = 0，可知重合 a = 3 故选：B 6.已知直线 l过点A(1,3)，B(2,m)两点，若直线 l的倾斜角是2 3 ，则m = ( ) A. 0 B. 23 C. 23 D. 43 【解答】设直线 l的斜率为 k，则k
12、= m;3 2:1 = tan 2 3 = 3， 故m = 23 故选：B 7.已知两点P(4,0)，Q(3,2)，若直线y = kx 2与线段 PQ 相交，则实数 k的取值范围是( ) A. 1 2, 4 3 B. 4 3, 1 2 C. (, 4 3 1 2,+) D. (, 1 2 4 3,+) 【解答】根据题意，直线y = kx 2与线段 PQ相交，则点 P、Q在直线y = kx 2的两侧或直线上， 则(4k 2)(3k 4) 0，即(4k + 2)(3k 4) 0， 解可得：k 1 2或k 4 3，即实数 k的取值范围为(, 1 2 4 3,+)； 故选：D 8.已知圆锥的表面积为3
13、，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 2 【解答】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l； 则圆锥的表面积为S = r2+ rl = 3， 又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 即2r = l， 由解得r = 1，l = 2 所以圆锥的高为为l r = 3， 所以则该圆锥的体积为 故选 A 9.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则 在正方体盒子中，ABC的度数是( ) A. 0 B. 30 C. 60 D. 90 【解答】将正方体还原之后如图所示，由于 ABC的三条边均为正方体的面对角线， 故 AB= AC =
14、 BC，即 ABC是等边三角形， 所以ABC的度数是60 故选 C 10.正方形 ABCD的中心为点O(1,0)， AB边所在的直线方程是x + 3y 5 = 0， 则 CD 边所在的直线的方程 为( ) A. x + 3y + 7 = 0 B. 3x y 3 = 0 C. 3x y + 9 = 0 D. x + 3y 27 = 0 【解答】点O(1,0)到直线x + 3y 5 = 0的距离d = |;1;5| 1:9 = 310 5 设与边 AB平行的边 CD所在直线的方程是x + 3y + m = 0(m 5)， 则点O(1,0)到直线x + 3y + m = 0的距离d = |;1:m|
15、 1:9 = 310 5 ， 解得m = 5(舍去)或m = 7， 所以 CD边所在直线的方程是x + 3y + 7 = 0 故选 A 11.如图， 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中， 点 P 在正方体表面上移动， 且满足B1P BD1，则点B1和动点 P 的轨迹形成的图形的周长是( ) A. 42B.32C. 33D. 43 【解答】在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在正方体表面上移动， 且满足B1P BD1， 可知平面ACB1与直线BD1垂直，所以动点 P 的轨迹形成的图形是正三角形ACB1， 所以动点 P 的轨迹形成的图形的周长是：32 故选：
16、B 12.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( ) A. 8 + 42 B. 6 + 2 + 23 C. 6 + 42 D. 6 + 22 + 23 【解答】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色 线四棱锥A BCDE为三视图还原后的几何体， CBA和 ACD 是两个全等的直角三角形：AC = CD = BC = 2 两个全等的直角三角形面积为：4 底面 DCBE是正方形，边长为 2， 底面的正方形面积为：4 ABE是直角三角形，AB = 22，BE = 2， 面积为：22 AED是直角三角形，DE = 2，AD = 22， 面积为：22 该四棱锥的表面积为4 + 4
17、+ 22 + 22 = 8 + 42 故选：A 13.某几何体的三视图如图所示， 已知其主视图是边长为 4的正三角形， 则该几何体的侧面积为_. 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥， 如图所示： 故S = 4 2 = 8 14. 已知水平放置的ABC的直观图ABC （斜二测画法）是边长为2a的正三角形，则原ABC 的面 积为_. 【解答】正三角形还原回原三角形如下图， 过作垂直于轴于，因为是边长为的正三角形， 所以，过作平行于轴交轴于，则， 所以，对应的原图形中的点在平面直角坐标系下的纵坐标为， 即原三角形底边上的高为， 所以，原三角形面积
18、 15. 点P(2,3)到直线l:ax + y 2a = 0的距离为d，则d的最大值为_. 【解答】直线方程即y = a(x 2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)， 当直线l PM时，d有最大值， 结合两点之间距离公式可得d的最大值为(2 2)2+ (3 0)2= 3. 16. 若直线l经过点3,4，且在x轴，y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 【解答】 当在坐标轴上截距为 0时，所求直线斜率为，直线方程为,即；当在 坐标轴上截距不为 0 时，在坐标轴上截距互为相反数， ，将代入得，此时所求的直线方程为，故答案为 或. 17. 已知直线l1：2x + y 2 = 0；l2：mx + 4
19、y + n = 0(m,n为常数) ABC C CD x DABC 2a 6 2 a C D C CE x y E23AECDa C C xOy 2 3a ABCAB2 3a ABC 2 1 22 36 2 Saaa 4 3 4 3 yx 430 xy xya 3,4A 7a 70 xy430 xy 70 xy (1)若l1 12，求 m的值； (2)若l1/12，且它们的距离为5，求 m，n 的值 【解答】(1) 直线l1：2x + y 2 = 0；l2：mx + 4y + n = 0，若l1 12， 则2 ( m 4) = 1，求得m = 2 (2)若l1/12，则m 2 = 4 1 n
20、;2，求得m = 8，n 8， 故直线l1：8x + 4y 8 = 0；l2：8x + 4y + n = 0 再根据它们的距离为 |n:8| 64:16 = 5， n = 12，或n = 28 综上可得，m = 8，n = 12或28 18.已知 ABC的三个顶点分别为A(2,4)，B(1,1)，C(7,3) (1)求 BC边上的中线所在直线的方程； (2)求 BC边上的高所在直线的方程 【解答】(1)因为B(1,1)，C(7,3)，所以 BC的中点为 2, 4M 因为A(2,4)在 BC边上的中线上，所以所求直线方程为x;2 4;2 = y;4 2;4， 即 BC边上的中线所在直线的方程为0
21、6 yx (2)因为B(1,1)，C(7,3)，所以直线 BC 的斜率为 3 1 17 13 因为 BC 边上的高所在直线与直线 BC 垂直，所以 BC 边上的高所在直线的斜率为3 因为A(2,4)在 BC边上的高上，所以所求直线方程为y 4 = 3(x 2)， 即 BC边上的高所在直线的方程为0103 yx 19. 已知 ABC的顶点A(3,1)，B，C平分线所在的直线方程分别是x = 0，y = x，求边 BC 所在的直线 方程以及 B，C的坐标 【解答】由角平分线性质，点A(3,1)关于直线x = 0的对称点(3,1)在直线 BC 上， 点 A 关于直线y = x的对称点(1,3)也在直
22、线 BC上， 故直线 BC的方程为y:1 3:1 = x:3 ;1:3， 即直线 BC的方程为y = 2x + 5， 联立y = 2x + 5 x = 0 可得B(0,5)， 联立y = 2x + 5 y = x 可得C(5,5) 20.如图，三棱锥A BCD中，AB 平面 BCD，CD BD ()求证：CD 平面 ABD； ()若AB = BD = CD = 1，M为 AD 中点，求三棱锥A MBC的体积 【解答】()证明： AB 平面 BCD，CD 平面 BCD， AB CD， CD BD，AB BD = B， CD 平面 ABD ()解： AB 平面 BCD，BD 平面 BCD， AB
23、BD AB = BD = 1， SABD= 1 2， M为 AD的中点， SABM= 1 2SABD = 1 4， CD 平面 ABD， VA;MBC= VC;ABM= 1 3SABM CD = 1 12 21.如图， 在正三棱柱ABC A1B1C1中， AA1= AB， F、 F1分别是 AC、 A1C1的中点 (1)求证：平面AB1F1/平面C1BF； (2)求证：平面AB1F1平面ACC1A1 【解答】(1)证明：在正三棱柱ABC A1B1C1中， F、F1分别是 AC、A1C1的中点， B1F1/BF，AF1/C1F， 又 B1F1 AF1= F1，BF C1F = F 平面AB1F1
24、/平面C1BF； (2) F1是A1C1的中点 A1B1C1是等边三角形， B1F1 A1C1 又AA1平面A1B1C1，又B1F1平面A1B1C1 AA1 B1F1，又AA1 A1C1= A1 B1F1平面ACC1A1.又B1F1平面AB1F1 平面AB1F1平面ACC1A1 22. 如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1，CAB = CBA = 45.点 M，N 分别是A1B1，BC 的中点 (1)求证：BM /平面A1C1N； (2)若CC1= BC，探究：在线段CC1上是否存在一点 P，使得平面B1MP 平面A1C1N，若存在，请指出点 P 的位置；若不存在，请说明理由 【解答】(1)
25、证明：取A1C1的中点 H，连接 MH，NH， 则MH / B1C1，且MH = 1 2B1C1； 又因为BN / B1C1，且BN = 1 2B1C1， 所以MH / BN，且MH = BN， 故四边形 BMHN 为平行四边形， 所以BM / NH； 又BM 平面A1C1N，NH 平面A1C1N， 故 BM /平面A1C1N； (2)解：当 P 为CC1的中点时，平面B1MP 平面A1C1N. 连接 MP，PB1，因为CC1= BC，故在正方形BB1C1C中， B1C1P C1CN， 故CC1N + B1PC1= 90，故 B1P C1N； 因为直三棱柱ABC A1B1C1，所以C1C 面 ABC， AC 面 ABC， C1C AC， 又 CAB = CBA = 45， ACB = 90， AC BC， 又BC C1C = C，BC、C1C 平面BB1C1C，所以AC 平面BB1C1C； 因为AC / A1C1，故 A1C1平面BB1C1C； 因为B1P 平面BB1C1C，所以A1C1 B1P； 因为A1C1 C1N = C1，A1C1、C1N 平面A1C1N， 所以B1P 平面A1C1N； 因为B1P 平面B1MP，故平面B1MP 平面A1C1N.
