1、专练专练 数学文化数学文化 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 辽宁五校模拟)欧拉公式ei10因为非常简洁地融合了数学中最基本的 五个常数(自然对数的底数 e，圆周率 ，虚数单位 i，自然数单位 1，以及 0)而被 人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合 Ae，i，1，0，则 集合 A 中不含无理数的子集共有( ) A.8 个 B.7 个 C.4 个 D.3 个 解析 欧拉公式中数值组成的集合 A 中不是无理数的元素一共有 3 个，故共有 23 8(个)子集.故选 A. 答案 A 2.
2、(2020 全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一 个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形 的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，侧面三角形底边上的高(斜 高)为 h. 由已知得 h21 2ah. 又h2h2 a 2 2 ，h21 2ah 1 4a 2， h a 2 1 2 h a 1 40，解得 h a 51 4 (负值舍去). 故选 C. 答案 C 3.(2020 成都模拟)孙子算经是我国古代
3、的数学名著，书中有如下问题：“今 有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为： 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多 少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( ) A.15 B.16 C.18 D.21 解析 设得到橘子最少的人的橘子个数为 a1.由题意，得 5a154 2 360，解 得 a16.所以得到橘子最多的人所得橘子的个数为 a1(51)361218.故 选 C. 答案 C 4.(2020 广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算 筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示
4、数的一种方法.例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”.现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹 不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 解析 根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1，5；1，9；2，4； 2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合 1，5；1，9；2，4；2，8；6， 4；6，8；3，7 中，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 2714 个两位数. 数字组合 3，3；7，7 中，每组可以表示 1 个两位数.则可以表示 212 个两位 数，则一共可以表示 14216 个两位数，故选
5、D. 答案 D 5.(2020 青岛调研)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲 学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表 阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如 图所示).从图中的八卦中随机选取一卦，则卦中恰有两个“”的概率为( ) A.1 2 B.1 4 C.3 8 D.1 8 解析 由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的 计算公式，可得所求概率为3 8. 答案 C 6.(2020 新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面 垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一
6、个球(球心记为 O)，地球 上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40 ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为( ) A.20 B.40 C.50 D.90 解析 示意图如图所示，O所在平面为地球赤道所在平面，O1所在平面为点 A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40 可知OAO140 ，又 点 A 处的水平面与 OA 垂直，晷针 AC 与O1所在的平面垂直，则CAB OAO140 ，故晷针 AC 与点 A 处的水平面所成角为 40 .
7、故选 B. 答案 B 7.(2019 全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至 足底的长度之比是 51 2 51 2 0.618， )称为黄金分割比例 ，著名的“断臂维 纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比 也是 51 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子 下端的长度为 26 cm，则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 解析 依题意可知AC CD 51 2 ，AB BC 51 2 ， (1)腿长为 105 cm，即 CD105， AC 51 2 C
8、D64.890， ADACCD64.890105169.890， 所以 AD169.890. (2)头顶至脖子下端的长度为 26 cm，即 AB26， BC 2AB 5142.071， ACABBC68.071， CD 2AC 51110.147， ADACCD68.071110.147178.218， 综上，169.890AD0，b0).由题意 可得双曲线 的渐近线方程为 y 3 3 x，即b a 3 3 ，所以离心率 e c a 1 b a 2 2 3 3 . 答案 A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的
9、得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不 动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就 是对于满足一定条件的连续函数 f(x)，存在一个点 x0，使得 f(x0)x0，那么我们 称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( ) A.f(x)ln x B.f(x)x22x3 C.f(x) 2x 21，x1， |2x|，x1 D.f(x)x1 x 解析 对于 A，由于 xx1ln x，所以 ln xx 无解，因而该函数不是“不动 点”函数；对于B，令x22x3x，得x2
10、x30，因为14(3)0， 所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于 C，当x1 时，令 2x21x，得 x1 2或 x1，从而该函数为“不动点”函数；对于 D， 令 x1 xx，得 1 x0，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选 BC. 答案 BC 10.(2020 济南模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域有着显著成就，是解析 数论的创始人之一，以其名命名的函数 f(x) 1，x为有理数， 0，x为无理数. 关于 f(x)，下列说 法正确的是( ) A.xR，f(f(x)1 B.函数 f(x)是偶函数 C.对于任意一个非零有理数 T，f(xT)f(x)对任意 xR
11、恒成立 D.存在三个点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC 为等边三角形 解析 xR，f(x)0，1，f(f(x)1，A 正确； f(x) 1，x为有理数， 0，x为无理数 1，x为有理数， 0，x为无理数 f(x)，则函数f(x)是偶函数，B正 确； f(xT) 1，xT为有理数， 0，xT为无理数 1，x为有理数， 0，x为无理数 f(x)，C 正确； 易知 A 3 3 ，0 ，B(0，1)，C 3 3 ，0 三点所连线构成等边三角形，D 正确.故选 ABCD. 答案 ABCD 11.(2020 重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的
12、祖暅原理： “幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平 截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：yx2，直线l为曲线 C在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平 面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为 .给出以下四个几何 体： 图 1 是底面直径和高均为 1 的圆锥； 图 2 是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的 几何体； 图 3 是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图 4 是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高为 1 的
13、倒置圆锥得到的几何体. 根据祖暅原理，以上四个几何体中与 的体积不相等的是( ) A.图 1 B.图 2 C.图 3 D.图 4 解析 由题意可知，几何体 是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设 阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为 x1，切线对应的点的横坐标为 x2. 由f(x)x2，可得f(x)2x，所以f(1)2，所以曲线C在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即y2x1，所以x21y，x2y1 2 ，所以几何体在等高处的横 截面面积 Sx22x21 y1 2 2 .图 1 中的圆锥高为 1，底面半径为1 2，易知该圆 锥可由直线y2x1绕y轴旋转得到，其横截面面积Sx
14、2 y1 2 2 ，所以几 何体 和图 1 中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相 等，同理可知几何体 和图 2，3，4 中的几何体的体积均不相等，故选 BCD. 答案 BCD 12.(2020 枣庄模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他 发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值 (1)的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面 直角坐标系 xOy 中，A(2，0)，B(4，0)，点 P 满足|PA| |PB| 1 2.设点 P 的轨迹为 C， 则下列结论正确的是( ) A.C 的方程为(x4)
15、2y29 B.在 x 轴上存在异于 A，B 的两定点 D，E，使得|PD| |PE| 1 2 C.当 A，B，P 三点不共线时，射线 PO 是APB 的平分线 D.在 C 上存在点 M，使得|MO|2|MA| 解析 设点 P(x，y)，则|PA| |PB| （x2）2y2 （x4）2y2 1 2.化简、整理，得 x 2y28x 0，即(x4)2y216，A 错误.当 D(6，0)，E(12，0)时，|PD| |PE| 1 2，B 正 确.cos APO|AP| 2|PO|2|AO|2 2|AP| |PO| ，cos BPO|BP| 2|PO|2|BO|2 2|BP| |PO| ，要证射线 PO
16、 为APB 的平分线，只需证明 cos APOcos BPO， 即证|AP| 2|PO|2|AO|2 2|AP| |PO| |BP| 2|PO|2|BO|2 2|BP| |PO| . 又|PB|2|PA|，化简、整理，即证|PO|22|AP|28.因为|PO|2x2y2，2|AP|28 2x28x2y2(x28xy2)(x2y2)x2y2，所以 cos APOcos BPO， C 正确.设 M(x0，y0)，由|MO|2|MA|可得 x20y202 （x02）2y20，整理，得 3x203y2016x0160，而点 M 在 C 上，所以满足 x20y208x00.联立方程解得 x02，y0无实
17、数解，D 错误.故选 BC. 答案 BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾 八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角 边的长度分别是 8 步和 15 步，则其内切圆的直径是_步. 解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是 8 和 15，则得其斜边长为 17， 设其内切圆半径为 r， 则有1 2(81517)r 1 2815(等积法). 解得 r3，故其直径为 6 步. 答案 6 14.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为 1、2、3、4 的四个座位上，他 们分别
18、有以下要求：甲：我不坐座号为 1 和 2 的座位； 乙：我不坐座号为 1 和 4 的座位； 丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不坐座号为 2 的座位，我就不坐座号为 1 的座位. 那么坐的座号为 3 的座位上的是_. 解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为 1 的座位，那么只有丁坐座号为 1 的座位，这样乙就坐座号为 2 的座位，易知丙只能坐座号为 3 的座位，则甲坐 座号为 4 的座位. 答案 丙 15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有 着广泛的应用，其定义为 R(x) 1 p，当x q p（p，q为整数， q p为既约真分数）， 0，当x0，1或0，1
19、上的无理数. 若 f(x)是定义在 R 上且最小正周期为 1 的函数，当 x0，1时，f(x)R(x)，则 f 17 3 f(lg 20)_. 解析 由函数的最小正周期为 1 可得 f 17 3 f(lg 20)f 52 3 f(lg 21)f 2 3 f(lg 2)1 30 1 3. 答案 1 3 16.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存 最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 l 与高 h，计算 其体积V的近似公式V 1 36l 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式 V 7 264l 2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为_. 解析 设圆锥的底面半径为 r，则 V1 3r 2h 7 264l 2h 7 264(2r) 2h，得 22 7 . 答案 22 7
