1、. 初高中数学衔接资料例题解答及练习答案初高中数学衔接资料例题解答及练习答案 一、一、乘法公式乘法公式 例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ? 解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx? ? = 242 (1)(1)xxx? = 6 1x ? 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ?= 33 (1)(1)xx?= 6 1x ? 例 2 已知4abc?，4abbcac?，求 222 abc?的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac? 练习答案 1 （1） 11 32 ab?（2） 1 1 , 2 4 （3）424a
2、bacbc? 2 （1）D（2）A 二、二、二次根式二次根式 例 1 化简： （1）94 5?； （2） 2 2 1 2(01)xx x ? 解： （1）原式54 54? 22 ( 5)2 252? ? ? 2 (25)?25? 52? （2）原式= 2 1 ()x x ? 1 x x ?，01x?， 1 1x x ?， 所以，原式 1 x x ? 例 2 计算：3(33)? 解：3(33)? 3 33? 3 (33) (33)(33) ? ? 3 33 93 ? ? 3( 31) 6 ? 31 2 ? 例 3 试比较1211?和1110?的大小： 解： 1211( 1211)( 1211)1
3、 1211 112111211 ? ? ? ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ? ? ? ， 又12111110?， 1211?1110? 习答案：1 （1）32?（2）35x?（3）8 6? ；2C 3 . 三、三、 十字相乘法因式分解十字相乘法因式分解 例 1 分解因式： （1）x24x12； （2） 22 ()xab xyaby?； 解： （1）由图 113，得 x24x12(x2)(x6) （2）由图 114，得 22 ()xab xyaby?()()xay xby? （3） 、 （4）略 课堂练习答案：一、1.(1)、) 1)(6(?xx；(2
4、)、)3)(2(?xx；(3)、)3)(2(?xx； (4)、) 1)(6(?xx；(5)、)(1(axx?；(6)、)9)(2(?xx；(7)、)23)(12(?xx； (8)、 2 ) 32(?m；(9)、)35)(21 (xx?；(10)、)34)(23(yxyx?； 2.)7(),21(?； 3. 8, 2 ? 二、1C；2.D 四、其它常用十字相乘法因式分解四、其它常用十字相乘法因式分解 例 1 分解因式： （1）?baba?55 2 （2） 32 933xxx? ? 解： （1） ?baba?55 2 =) 1)(5(?aba （2） 32 933xxx? ?= 32 (3)(39
5、)xxx?= 2( 3)3(3)x xx? = 2 (3)(3)xx? 或 32 933xxx? ? 32 (331)8xxx? 3 (1)8x? 33 (1)2x? 22 (1)2(1)(1) 22 xxx? ? 2 (3)(3)xx? 例 2 分解因式： （1）16 4 ?a （2）?2 2 23yxyx? 解：(1)16 4 ?a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa? (2) ?2 2 23yxyx?=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx? 例 3 （1）xyxyx33 2 ? （2） 22 2456xxyyxy? （1） 略 2 6 1
6、1 图 113 ay by x x 图 114 . （2） 22 2456xxyyxy?= 22 2(4)56xyxyy? = 2 2(4)(2)(3)xyxyy?=(22)(3)xyxy? 或 22 2456xxyyxy?= 22 (2)(45 )6xxyyxy? =(2)()(45 )6xy xyxy? =(22)(3)xyxy? 课堂练习答案： 、 （1） 、)(nm?； （2） 、nm?； （3） 、1?m 、 （1） 、； （2） 、； （3） 、； （4） 、 ； （5） 、 、 （1） 、)2)(2(4mnnm?； （2） 、) 13)(13( 3 1 ?xx； （3） 、 2
7、)2)(4(?xxx； （4） 、 22 ) 1() 1(?xx（5） 、)(byaxbyax?； （6） 、 2 ) 32(? ba 例 4 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx?； （2） 22 44xxyy? 解： （1）令 2 21xx?=0，则解得 1 12x ? ?， 2 12x ? ?， 2 21xx?=( 12)( 12)xx ? ? ? ? ? ? ? =(12)(12)xx? ? ? （2）令 22 44xxyy?=0，则解得 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 22 44xxyy?=2(12) 2(12) x
8、y xy? 课堂练习答案： （ 1 ）、)4)(2(?xx；（ 2 ）、)24)(2( 22 bababa?；（ 3 ）、 )21)(21(?xx； （4） 、)22)(2(xyy?； （5） 、) 1)(1( 2 ?aaa； （6） 、 )32)(32)(1)(1(?xxxx； （ 7 ） 、)2)(acbcb?； （ 8 ） 、 )43)(12(?yxyx 五、五、根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 例 1 已知方程 2 560xkx?的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 . 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方 程解出另一个根
9、但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于 已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程 的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根， 5 22k 260， k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 6 5 ，x1 3 5 由 （ 3 5 ）2 5 k ，得 k7 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 例 2 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求| x1x2|的值；
10、（2）求 22 12 11 xx ?的值； （3）x13x23 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根， 12 5 2 xx? ?， 12 3 2 x x ? ? （ 1 ） | x1 x2|2 x12+ x22 2 x1x2 (x1 x2)2 4 x1x2 2 53 ()4 () 22 ? ? ? 25 4 6 49 4 ，| x1x2| 7 2 （2） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 ()2 ()3 ()21137 224 39 ()9 () 24 xxxxx x xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? （3）x13x23(x1x2
11、)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ( 5 2 ) ( 5 2 )23 ( 3 2 ?) 215 8 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到 求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则 . 2 1 4 2 bbac x a ? ? ?， 2 2 4 2 bbac x a ? ? ?， | x1x2| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa ? ? ? ? 2 4 | bac aa ? ? 于是有下面的结论： 若若
12、 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则） ，则| x1x2| |a ? （其中（其中 b24ac） ） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 课堂练习答案： 1、（1） 、 C；（2） 、 D；（3） 、 C； 2、（1） 、3?；（2） 、 有两个不相等的实根；（3） 、032 2 ? xx； （4） 、3； （5） 、3? 六、六、二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过 点（3，1） ，求二次函数的解析式 分析：在解本例时，要充分
13、利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可 以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a 解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上， 所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2） 设该二次函数的解析式为 2 (2)1(0)ya xa?， 二次函数的图像经过点（3，1） ， 2 1(3 2)1a? ?，解得 a2 二次函数的解析式为 2 2(2)1yx?，即 y2x28x7 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标， 然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目
14、所给的 条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题 例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此 二次函数的表达式 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的 图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式 解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， . 可设二次函数为 ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a ? ? ?， 由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2， |4a|2，即 a 1 2 ?所以，二次函数的表达式为 y
15、 2 13 22 xx?，或 y 2 13 22 xx? 分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x1， 又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或2，于是，又可以将二次函数的 表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达 式 解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线 x1又顶点 到 x 轴的距离为 2，顶点的纵坐标为 2，或2于是可设二次函数为 ya(x1)22， 或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或 0a(11)22a 1 2 ，或 a 1 2
16、 所以，所求的二次函数为 y 1 2 (x1)22，或 y 1 2 (x1)22 说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交 点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问 题 例 3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达 式 解：设该二次函数为 yax2bxc(a0) 由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 22, 8, 842, abc c abc ? ? ? ? ? ? ? 解得 a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为 y2x212x8 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、 顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 课堂练习答案： 1、 （1） 、A； （2） 、C； 2、 （1） 、)2)(1(?xx； （2） 、4 3、 （1）32 2 ?xxy； （2）5)3( 2 3 2 ?xy； （3）)21)(21(2?xxy.
