1、. 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1.在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于( ) A45 B75 C180 D300 2.设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于( ) A6 B7 C8 D9 3.在等差数列? ? n a中， 19 10aa?，则 5 a的值为 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 4.设等差数列? ? n a的前 n 项和为 n S,若 1 11a ?, 46 6aa?,则当 n S取最小值时,n 等于（ ） A6 B7 C8 D9 5.设 n S为等差数列? ? n a的前n项和，若
2、1 1a ?，公差2d ?， 2 24 kk SS ? ?，则k ? (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 6.设等差数列? ? n a的前 n 项和为 n S,若 1 11a ?, 46 6aa?,则当 n S取最小值时,n 等于 A6 B7 C8 D9 . 7.一套 7 册的书计划每两年出一册， 若各册书的出版年份数之和为 13993， 则出齐这套书的年份数是 （ ） A.1999 B.2004 C.2005 D.2006 8设数列an、bn都是等差数列，且 a1=25,b1=75,a2+b2=100，那么 an+bn所组成的数列的第 37 项的值是() A.0B.37C.100
3、D.-37 9已知? ? n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa?=99，以 n S表示? ? n a的前n项和，则使得 n S达到最 大值的n是（ ） 。 A.21 B.20 C.19 D.18 10设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若S3 S6 1 3，则 S6 S12（) A. 3 10B. 1 3C. 1 8D. 1 9 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 11设等差数列? ? n a的前n项和为 n S，若 53 5aa?则 9 5 S S ?. 12.已知nm?,且naaam, 321 和nbbbbm, 4321 都是等差数列，则? ?
4、? 23 13 bb aa 13 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容 积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升. 14设等差数列? ? n a的前n项和为 n S，若 9 72S ?,则 249 aaa?=。 二、解答题（共 6 题，共 60 分） 15. （本题 10 分）已知数列an满足 a1=4,an=4 1 4 ?n a (n2)，令 bn= 2 1 ? n a , . (1)求证数列bn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 16.（本题 10 分）已知数列? ?na满足： 1 1 1 1, 3
5、1 n n n a aa a ? ? ? ? ，求? ?na的通项公式。 . 17.（本题 10 分）已知数列 n a中， 5 3 1? a，), 2( 1 2 1 ? ? ?Nnn a a n n ，数列 n b满足)( 1 1 ? ? ? ?Nn a b n n （1） 求证：数列 n b是等差数列； （2） 求数列 n a中的最大值和最小值，并说明理由 18.（本题 10 分）已知数列an的前 n 项和是 Sn=32nn2,求数列an的前 n 项和 Sn . 19. （本题 10 分） （改编）在数列? ? n a中， n nn aaa22, 1 11 ? ? （1）设, 2 1? ?
6、n n n a b证明? ? n b是等差数列;（2）求数列? ? n a的前n项和 n S。 20 （本题 10 分）数列an是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. （1）求数列的公差； （2）求前 n 项和 Sn的最大值； （3）当 Sn0 时，求 n 的最大值 . 等差数列与前 n 项和参考答案 一、选择题： 1.【答案】 C【解析】 ： a2a8a3a7a4a62a5，由已知得 5a5450，a590 a2a82a5180. 2.【答案】 A【解析】 ： a4a62a56a53da 5a1 51 2Sn11nn n 2 2n 212n 故n6 时Sn取最小值
7、3.【答案】A【解析】由角标性质得 195 2aaa?，所以 5 a=54、 4.【答案】A【解析】设该数列的公差为d，则 461 282 ( 11)86aaadd? ? ?，解得2d ?， 所以 22 (1) 11212(6)36 2 n n n Snnnn ? ? ?，所以当6n ?时， n S取最小值。 5. 【 答 案 】 D 【 解 析 】 本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前n项 和 公 式 等 有 关 知 识 ， 22111 22()2(1 2 )224 kkkkk SSaaadakddk ? ?，解得5k ?。 6.【答案】A【解析】设该数列的
8、公差为d，则 461 282 ( 11)86aaadd? ? ?，解得2d ?， 所以 22 (1) 11212(6)36 2 n n n Snnnn ? ? ?，所以当6n ?时， n S取最小值。 7.【答案】C【解析】设出版第四年的年份数为 x，由题意可得（x-6） +(x-4)+(x-2)+x+(x+2)+(x+4)+(x+4)+(x+6)=13993,即 7x=13993,所以 x=1999,所以 x+6=2005. 8.【答案】C 【解析】设an的公差为 d1,bn的公差为 d2，则 an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2. an+bn=(a1+b1)+(n-1)(
9、d1+d2).an+bn也是等差数列.又 a1+b1=100,a2+b2=100，an+bn是常数列.故 a37+b37=100. 9. 【答案】 B 【解析】 由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a ?即 3 35a ?， 由 246 aaa?=99 得 4 399a ?即 4 33a ? ， 2d ? ?， 4 (4) ( 2)41 2 n aann? ?，由 1 0 0 n n a a ? ? ? ? ? 得20n ?，选 B 10.【答案】A。 【解析】 ：根据等差数列的性质 232 , mmmmm SSSSS?成等差数列，即可得解。 二、填空题 11.【答案】9
10、【解析】? ? n a为等差数列，利用等差数列的性质 95 53 9 9 5 Sa Sa ? 12.【答案】 2 5 【解析】 ：设等差数列naaam, 321 和nbbbbm, 4321 的公差分别是 21,d d . 则 113 2daa?， 1 4dmn?，? 2 13 mn aa ? ?，同理，得 5 223 mn dbb ? ?，? ? ? 23 13 bb aa 2 5 . 13.【答案】 66 67 【解析】 ：设该数列? ? n a的首项为 1 a，公差为d，依题意 ? ? ? ? ? 4 3 987 4321 aaa aaaa ，即 ? ? ? ? ? 4213 364 1
11、1 da da ，解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 66 7 3 4 7 1 d da ， 则ddadaa374 115 ? 66 67 66 21 3 4 ?，所以应该填 66 67 . 14.【答案】24【解析】? ? n a是等差数列,由 9 72S ?,得 59 9,Sa? 5 8a ?王伶 ? 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa?. 三、解答题： 15. 解：(1)【证明】an+12=2 n n n a a a )2(24? ? 2 1 2 1 )2(22 1 1 ? ? ? ? ? ?nn n n aa a a (n1)故 2 1 2 1 2 1 1
12、? ? ? ? ?nn aa (n1) 即 bn+1bn= 2 1 (n1) 数列bn是等差数列 (2)【解】 2 1 ? n a 是等差数列 22 1 ) 1( 2 1 2 1 1 n n aan ? ? ? ? an=2+ n 2 数列an的通项公式 an=2+ n 2 16. 解：原式两边取倒数得： 1 11 1311 3 n nnn a aaa ? ? ? ? 1 ,1 na n nn-11设b =则b -b=3,且b =? ? 1 3 nb?1是b = 为首项，公差d=2的等差数列 1 (1) 332bnnn? ? ?即 1 32 na n ? ? 17.解：(1) 1 1) 1 2
13、( 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n a a a a b,而 1 1 1 1 ? ? ? ? n n a b, ), 2( 1 1 ? ? ?Nnnbb nn , 2 5 1 1 1 1 ? ? ? a b；故数列 n b是首项为 2 5 ?，公差为 1 的等差数列； （2） 由 （1） 得 2 7 ? nbn， 则 72 2 1 1 1 ? ? nb a n n ； 设函数 72 2 1)( ? ? x xf， 函数 72 2 1)( ? ? x xf在) 2 7 ,(?和), 2 7 (? 上均为减函数，当3?x时，1)3()(? fxf；当4
14、?x时，3)4()(? fxf；且 5 3 ) 1 (?f，当n趋向于?时，)(xf 接近 1，1)( 3min ? aan，3)( 4max ? aan . 18. 解：a1=S1=32112=31, 当 n2 时，an=SnSn1=332n,又由 an0，得 n165,即an前 16 项为正，以后皆负 当 n16 时，Sn=a1+a2+?+an=a1+a2+?+an=33nn2 当 n16 时， Sn=a1+a2+?+a16a17a18?an=S16(SnS16)2S16Sn51232nn2 2 2 32 (16) 51232 (16) n nnn S nnn ? ? ? ? ? 19.解
15、： （1）由已知 n nn aa22 1 ? ? 得11 22 22 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ?n n n n n n n n n b aaa b， 又1 11 ? ab? ? n b是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （2）由（1）知 1 1 2, 2 ? ? ? n n n n nan a 12 223221 ? ? n n nS? n n nS2232222 32 ?两式相减得 nn n nS222221 132 ? ? ?12) 1(? n n nS 20.解： (1)由已知 a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得: 5 23 d 6 23 ，又 dZ，d= 4 (2)d0，an是递减数列，又 a60，a70当 n=6 时，Sn取得最大值，S6=6 23 2 56? (4)=78 (3)Sn=23n 2 ) 1( ?nn (4)0，整理得：n(504n)00n 2 25 ，又 nN*，所求 n 的最大值为 12. .
