1、. 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 浙江省舟山市定海五中 薛晓波 一、知识要点 1、若一元二次方程?00 2 ?acbxax中，两根为 1 x， 2 x。则 a b xx? 21 ， a c xx? 21 ， ；补充公式 a xx ? ? 21 2、以 1 x， 2 x为两根的方程为?0 2121 2 ?xxxxxx 3、用韦达定理分解因式? 21 22 xxxxa a c x a b xacbxax? ? ? ? ? ? ? 二、例题 1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： （1）0103 2 ? xx （2）0153 2 ? xx （3）022342 2 ?xx 2、 已知关于x的
2、方程02) 15( 22 ?kxkx，是否存在负数k，使方程的两个实 数根的倒数和等于 4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。 3、 已知方程025 2 ? xx，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各 根的平方的倒数。 4、 解方程组 ? ? ? ? ? ? ? 2 12 111 xy yx 5、 分解因式： . （1）?253 2 xx （2）?184 2 xx 三、练习 1、 在关于x的方程?0714 2 ?mxmx中，（1） 当两根互为相反数时m的值； （2）当一根为零时m的值； （3）当两根互为倒数时m的值 2、 求出以一元二次方程023 2 ? xx的两根
3、的和与两根的积为根的一元二次方程。 3、 解方程组 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 xy yx 4、 分解因式 （1）654 2 ? xx= （2）? 22 22yxyx 四、聪明题 1、 已知一元二次方程02 2 ?cbxax的两个实数根满足2 21 ? xx，a，b， c分别是ABC?的A?，B?，C?的对边。 （1）证明方程的两个根都是正根； （2） 若ca ?，求B?的度数。 2、在ABC?中，?90C，斜边 AB=10，直角边 AC，BC 的长是关于x的方程 063 2 ?mmxx的两个实数根，求m的值。 韦达定理的应用：韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系
4、数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 . 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根 x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程 x2 (x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式 ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题题 1： （1）若关于）若关于 x 的一元二次方程的一元二次方程 2x2+5x+k=0 的一根是另一根的的一根是另一根的 4 倍，则倍，则 k= _ （2）已知：）已知：a,b 是一元二次方程是一元二次方程 x2+2000x+1=0 的两个根，求： （的两个根
5、，求： （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = _ 解法一： （解法一： （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知解法二：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab ab=1， a+b=-200 （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
6、 = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知解法三：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 题题 2： 已知已知:等腰三角形的两条边等腰三角形的两条边 a,b 是方程是方程 x2-（k+2）x+2 k =0 的
7、两个实数根的两个实数根,另另 一条边一条边 c=1， 求求:k 的值。的值。 浅谈韦达定理在解题中的应用浅谈韦达定理在解题中的应用 韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理纵观近年各省、市的中 考(竞赛)试题可以发现， 关于涉及此定理的题目屡见不鲜， 且条件隐蔽 在证(解) . 题时， 学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解 法呆板，过程繁琐冗长下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考 一、直接应用韦达定理一、直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有 ab 和 ab 形式的式子， 可考虑直接应用韦达定 理 例例 1 在ABC 中，a、b、c 分别是A
8、、B、C 的对边，D 是 AB 边上一点， 且 BCDC，设 ADd 求证： (1)cd2bcosA； (2)cdb 2a2 分析分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进 行证明 证明证明：如图，在ABC 和ADC 中，由余弦定理，有 a 2b2c22bccosA； a 2b2d22bdcosA(CDBCa) c 22bccosAb2a20， d 22bdcosAb2a20 于是，c、d 是方程 x 22bxcosAb2a20 的两个根 由韦达定理，有 cd2bcosA，cdb 2a2 例例 2 已知 aa 210，bb210，ab，求 abab 的值 分析分析：
9、显然已知二式具有共同的形式：x 2x10于是 a 和 b 可视为该一元 二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解 . 解解：由已知可构造一个一元二次方程 x 2x1=0，其二根为 a、b 由韦达定理，得 ab1，ab1 故 abab2 二、先恒等变形，再应用韦达定理二、先恒等变形，再应用韦达定理 若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如 ab、ab 形式的式子，则可考虑应用韦达定理 例例 3 若实数 x、y、z 满足 x6y，z 2xy9求证：xy 证明证明：将已知二式变形为 xy6，xyz 29 由韦达定理知 x、y 是方程 u 26u(z29)0
10、的两个根 x、y 是实数，364z 2360 则 z 20，又z 为实数， z 20，即0 于是，方程 u 26u(z29)0 有等根，故 xy 由已知二式，易知 x、y 是 t 23t80 的两个根，由韦达定理 三、已知一元二次方程两根的关系三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系或系数关系)求系数关系求系数关系(或求两根的关系或求两根的关系)， 可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理 例例 5 已知方程 x 2pxq0 的二根之比为 12，方程的判别式的值为 1求 p 与 q 之值，解此方程 . 解解：设 x 2pxq0 的两根为 a、2a，则由韦达定理，有 a2aP， a2aq， P 24q
11、1 把、代入，得(3a) 242a21，即 9a28a21，于是 a=1 方程为 x 23x20 或 x23x20 解得 x11，x 22，或 x11，x22 例例 6 设方程 x 2pxq0 的两根之差等于方程 x2qxp0 的两根之差， 求证： pq 或 pq4 证明证明： 设方程 x 2pxq0 的两根为 、 ， x2qxP0 的两根为 、 由题意知 ， 故有 222222 从而有() 24()24 把代入，有 p 24qq24p，即 p2q24p4q0，即(pq)(pq)4(p q)0，即(pq)(pq4)0 故 pq0 或 pq40， 即 pq 或 pq4 四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理 . 例例 7 m 为问值时， 方程 x 2mx30 与方程 x24x(m1)0 有一个公共根？ 并求出这个公共根 解解：设公共根为 ，易知，原方程 x 2+mx30 的两根为 、m；x2 4x(m1)0 的两根为 、4 由韦达定理，得 (m)3， (4)(m1) 由得 m14 2， 把代入得 33230， 即(3)( 21)0 210，30 即 3 把 3 代入，得 m2 故当 m2 时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为 3
