1、3.13.1 三角函数小题专项练三角函数小题专项练 第三部分第三部分 2021 考 情 分 析 从2020年新高考山东卷和2020年山东新高考模拟卷对三角函数 与解三角形的考查来看,考查的力度在增强,这是由于新高考删除了 选做题,使三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必 选内容,在命题数量上“一大二小”的趋势比较明显,主要考查三角函 数的图象和性质、三角变换、解三角形.另外三角函数及解三角形 题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上,考查难 度处在中等,这两个题目会有一道题设计成“结构不良”试题,这种新 题型的条件具有开放性,给考生以更多的选择性.在核心素养的考查 上主要是
2、考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.三角函数的定义 已知角 终边上的一点 P(x,y),令|OP|=r,则 sin = ,cos = ,tan = (x0). 2.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系 cos2+sin2=1;(2)商数关系sin cos=tan k+ 2,kZ . 3.三角函数的图象与性质 (1)y=sin x 图象的对称轴方程为 x= 2+k,kZ,对称中心为(k,0),kZ;y=cos x 图象的对称轴方程为 x=k
3、,kZ,对称中心为 2 + ,0 ,kZ. (2)周期性:f(x)=Asin(x+)和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期为2 |; y=Atan(x+)的最小正周期为 |. 4.三角函数的图象向左或向右平移(0)个单位长度,得到的三角函数式 为将原式中的x分别变为x+和x-. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系 1.(2020全国,理2)若为第四象限角,则( ) A.cos 20 B.cos 20 D.sin 20 答案 D 解析 为第四象限角,sin 0, sin 2=2sin co
4、s 0.故选D. 2.(2020北京,10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上, 求圆周率的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿 尔 卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长 和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均 数作为2的近似值.按照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ) A.3n sin 30 + tan 30 B.6n sin 30 + tan 30 C.3n sin 60 + tan 60 D.6n sin 60 + tan 60 答案 A 解析 单位圆的内接正 6n边形的每条
5、边所对应的圆周角为360 6 = 60 , 每条边长为 2sin30 ,所以单位圆的内接正 6n边形的周长为 12nsin30 . 单位圆的外切正 6n边形的每条边长为 2tan30 ,其周长为 12ntan30 . 所以 2= 12sin 30 +12tan 30 2 =6n(sin30 +tan30 ),则 =3n(sin30 +tan30 ).故 选 A. 3.(2020江西名校大联考,理 3)已知 - 2 ,0 ,sin(-2)=-1 2, 则 sin -cos =( ) A. 5 2 B.- 5 2 C. 6 2 D.- 6 2 答案 D 解析 因为 sin(-2)=-1 2,所以
6、sin 2=- 1 2,即 2sin cos =- 1 2. 所以(sin -cos )2=1-2sin cos =1+1 2 = 3 2.又因为 - 2 , 0 , 所以 sin cos .所以 sin -cos =- 6 2 .故选 D. 4.(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P( 3,1),将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 2后得到向量 ,则点 Q 的坐标是( ) A.(- 2,1) B.(-1, 2) C.(- 3,1) D.(-1, 3) 答案 D 解析 (方法一)设向量 与 x 轴的夹角为 ,向量 与 x 轴的夹角为 ,点 Q 的坐标为(x,y). 由三角函
7、数的定义得 tan = 3 3 ,所以 = 6.由题意 = 2 + 6,|OP|=2, 所以 sin =sin 2 + 6 = 2,得 y= 3; cos =cos 2 + 6 = 2,得 x=-1.故选 D. (方法二)设点 Q 的坐标为(x,y)(x0). 依题意, =0,且 x2+y2=( 3)2+1=4. 所以( 3,1) (x,y)=0,即 3x+y=0. 由解得 x=-1,y= 3, 即 Q(-1, 3).故选 D. 考向二考向二 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5. (2020全国,理7,文7)设函数f(x)=cos + 6 在-,的图象大致如右图, 则 f(x)的最小
8、正周期为( ) A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.3 2 答案 C 解析 由题图知 f - 4 9 =cos(-4 9 + 6)=0,所以- 4 9 + 6 = 2+k(kZ),化简得 =-3+9 4 (kZ). 因为 T22T,即2 |2 4 |, 所以 1|2,解得-11 9 k-7 9 或 1 9k 5 9. 当且仅当 k=-1 时,1|0,则-1sin 1 2,令 t0,则 1 2sin 1,函数 t 在 -1, 1 2 内单调递增,在 1 2 ,1 内单调递减,当 sin =1 2,cos = 3 2 时,函数 t 取得最大值, 为 2 3 2 +2 1 2 3 2 = 3
9、3 2 ,故 D 正确.故选 ACD. 8.(多选)(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sincos x+cossin x,其中 x表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是( ) A.f 2 =cos 1 B.f(x)的一个周期是2 C.f(x)在(0,)内单调递减 D.f(x)的最大值大于 2 答案 ABD 解析 f 2 =sin cos 2 +cos sin 2 =sin 0+cos 1=cos 1,故 A正确; f(x+2)=sincos(x+2)+cossin(x+2)=sincos x+cossin x=f(x), f(x)的一个周期是 2,故 B正
10、确; 当 x 0, 2 时,0sin x1,0cos x 2 2 +1 2,故 D正确. 9.(2020全国,理16)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题: f(x)的图象关于y轴对称. f(x)的图象关于原点对称. f(x)的图象关于直线x= 对称. f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 1 sin 2 答案 解析 对于,由 sin x0 可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关 于原点对称,且由 f(-x)=sin(-x)+ 1 sin(-)=-sin x- 1 sin=-f(x),所以该函数为奇函数, 其图象关于原点对称,故错误,正确; 对于,因为f(-x)=
11、sin(-x)+ 1 sin(-)=sin x+ 1 sin=f(x),所以函数f(x)的图象关于 直线 x= 2对称,正确; 对于,令t=sin x,则t-1,0)(0,1,由函数g(t)=t+1 (t-1,0)(0,1)的性质, 可知 g(t)(-,-22,+),所以 f(x)无最小值,错误. 考向三考向三 三角函数图象的变换三角函数图象的变换 10.(2020 安徽马鞍山二模,6)函数 f(x)=sin + 6 的图象平移后对应函数 g(x)=sin x+ 6+ 的图象,若 g(x)为偶函数,则|的最小值为( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 答案 B 解析 因为函数为 g
12、(x)=sin(x+ 6+)为偶函数,所以 6+=k+ 2(kZ),解得 =k+ 3(kZ). 当 k=0 时,= 3, 即|的最小值为 3. 11.(多选)已知函数 f(x)=Asin(x+) A0,0,|1,显然不成立,所以假设错误,故 C 错误; 方程 g(x)=2,即 2 2sin x+7 12 =2,sin x+7 12 = 2 2 ,x+7 12 = 4+2k或 x+7 12 = 3 4 +2k,kZ,当方程的两个不同的解分别为 x1,x2时,|x1-x2|的最小 值为 2,故 D 正确.故选 ABD. 12.(2020 江苏,10)将函数 y=3sin 2 + 4 的图象向右平移
13、 6个单位长度,则平 移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 . 答案 x=-5 24 解析 将函数 y=3sin 2x+ 4 的图象向右平移 6个单位长度后得到函数 y=3sin 2 - 6 + 4 =3sin 2- 12 的图象. 由 2x- 12 = 2+k,kZ,得 平移后的对称轴的方程为 x=7 24 + 2 ,kZ. 当 k=0 时,x=7 24 ,当 k=-1 时,x=-5 24 .所以与 y 轴最近的对称轴的方程是 x=-5 24 . 13.(2020 江苏南京六校5月联考,8)将函数f(x)=2sin + 6 sin 3 - 的图象向 左平移 (0)个单位长度,所得图象对
14、应的函数恰为偶函数,则 的最小值 为 . 答案 12 解析 f(x)=2sin + 6 sin( 3-x)=2sin + 6 cos + 6 =sin(2x+ 3). 将 f(x)的图象向左平移 (0)个单位长度,得到 y=sin2(x+)+ 3=sin(2x+2+ 3)的图象. 函数为偶函数, 2+ 3=k+ 2, 得 =1 2k+ 12,kZ. 0,当 k=0 时, 最小,最小值为 = 12. 14.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0)是 偶函数,将y=f(x)的图象沿x轴向左平移 个单位长度,再将图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
15、变),所得图象对应的函数为y=g(x).已 知y=g(x)的图象的相邻对称中心之间的距离为2.若y=g(x)的图象在其某 对称轴处对应的函数值为-2,则g(x)在0,上的最大值为 . 6 答案 3 解析 f(x)是偶函数且 0, = 2. f(x)=Asin + 2 =Acos x. 由已知将y=f(x)的图象沿x轴向左平移 6个单位长度,可得y=Acos x+ 6 的 图象. 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 可得 y=Acos 2 x+ 6 的图象. g(x)=Acos 2 x+ 6 . y=g(x)的图象的相邻对称中心之间的距离为 2, 2=2,T=4, 2 2 =4,=1. y=g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为-2,A=2. g(x)=2cos 1 2 + 6 . 0 x, 6 1 2x+ 6 2 3 , 当1 2x+ 6 = 6,即 x=0 时,g(x)在0,上的最大值为 g(x)max=2 3 2 = 3.
