1、第 2 课时 两角和与差的正切 课后篇巩固提升 基础达标练 1.化简 - 等于( ) A. B. C.3 D.1 解析 - - =tan(45 +15 )=tan 60 = . 答案 A 2.已知 tan = ,tan(-)=- ,那么 tan(2-)的值为( ) A.- B. C.- D. 解析因为 tan = ,tan(-)=- ,所以 tan(2-)=tan+(-)= - - - . 答案 D 3.已知 为锐角,且 tan(+)=3,tan(-)=2,则角 等于( ) A. B. C. D. 解析因为 tan 2=tan(+)+(-) = - - - - =-1, 所以 2=- +k(k
2、Z), 所以 =- (kZ). 又因为 为锐角,所以 = . 答案 C 4.已知 A,B,C 是ABC的三个内角,且 tan A,tan B是方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根,则ABC 是 三角形. 解析由根与系数的关系,得 则 tan(A+B)= - - . 在ABC 中,tan C=tan-(A+B) =-tan(A+B)=- 0, C 是钝角,ABC是钝角三角形. 答案钝角 5.已知 A,B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则 A+B= . 解析(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2, tan Atan B=
3、1-(tan A+tan B). tan(A+B)= - - =1. A,B都是锐角,0A+B,A+B= . 答案 6.已知 tan( ) ,求 tan 的值. 解tan( ) , 则 - - , tan =- . 7.在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 证明A+B+C=,A+B=-C.tan(A+B)=tan(-C)=-tan C, 即 - =-tan C. tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C, tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 能力提升练 1.(多选)在平面直角坐
4、标系 xOy 中,角 , 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,若点 A,B的坐标分别为( )和(- ),则 tan(+),sin(+)的 值分别为( ) A. - B. - C. D. - 解析由题意可得 sin = ,cos = ,sin = ,cos =- , 则 sin(+)=sin cos +cos sin = - . tan = ,tan =- , 所以 tan(+)= - - ,故选 AD. 答案 AD 2.(1+tan 17 )(1+tan 18 )(1+tan 27 )(1+tan 28 )的值是( ) A.2 B.
5、4 C.8 D.16 解析因为 tan 45 =tan(17 +28 )= - , 所以(1+tan 17 )(1+tan 28 )=1+tan 17 +tan 28 +tan 17 tan 28 =1+(1-tan 17 tan 28 )+tan 17 tan 28 =2. 同理(1+tan 18 )(1+tan 27 )=2.所以原式=4. 答案 B 3.已知 sin = , 是第二象限角,tan(+)=- ,则 tan 的值为( ) A.- B. C.- D. 解析sin = , 是第二象限角, tan =- , tan =tan(+)-= - - =- . 答案 C 4.在ABC 中,
6、C=120 ,tan A+tan B= ,则 tan Atan B 的值为( ) A. B. C. D.1 解析C=120 ,A+B=60 . tan(A+B)= - . tan A+tan B= ,1-tan Atan B= . tan Atan B= . 答案 B 5.已知 tan(+)= ,tan( - )=-2,则 tan( )= ,tan(+2)= . 解析 tan( )=tan* -( - )+ = - ( - ) ( - ) - =-8. tan( - ) - =-2,tan =- , tan(+2)= - . 答案-8 6.已知 , 为锐角,cos = ,cos(+)=- .
7、(1)求 sin 的值; (2)求 tan(-)的值. 解(1)0 ,0 ,0+. 又 cos = ,cos(+)=- , sin = ,sin(+)= , sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin = (- ) . (2)0 ,0 ,cos = ,sin = , 则 sin = ,cos = ,tan = ,tan =2, tan(-)= - - =- . 7.已知 ,(- ),且 tan ,tan 是方程 x 2+3 x+4=0 的两个根,求 +. 解因为 tan ,tan 是方程 x2+3 x+4=0的两个根,所以 tan +tan =-3 ,tan tan =
8、4, 所以 tan(+)= - - - . 因为两根之和小于 0,两根之积大于 0,故两根同时为负数,即 tan 0,tan 0. 又 ,(- ),所以 ,(- ), 所以 +(-,0),故 +=- . 素养培优练 是否存在锐角 和 ,使得 +2= 和 tan tan =2- 同时成立?若存在,求出 和 的值;若不存在,请 说明理由. 解由 +2= 得 += , 则 tan( )=tan ,即 - . 把 tan tan =2- 代入上式,得 tan +tan = (1-2+ )=3- . 由上可知,tan ,tan 是一元二次方程 x 2-(3- )x+2- =0 的两个实数根. 解得 - 或 - 是锐角,0 .tan 1. 故 tan =2- ,tan =1. 0 ,由 tan =1,得 = ,由 +2= 得 = .存在锐角 , 使得两个等式同时成立.
