1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 课标阐释 思维脉络 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数 原理.(数学抽象) 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的 实际计数问题.(数学运算) 激趣诱思 知识点拨 今年暑假期间,如果你想去北京旅游,可供选择的比较理想的旅游 路线中,坐动车有三条,坐飞机有两条,坐汽车有两条,那么你可以选 择的旅游的往返路线共有几条呢? 激趣诱思 知识点拨 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在 第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不 同的方法. 激趣诱思 知识点拨 名师点析应用分类加法计
2、数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪 些办法,怎么才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单 独完成这件事,而不需要再用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种 方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法不同,也就是 分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分 A,B两类方案,则AB=,AB=U(U表示全集). 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任 选一人去参加演讲比赛,则共有
3、种不同的选法. (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同 时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有 种. 解析:(1)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则 有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3 种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此 人的走法共有4+3=7(种). 答案:(1)110 (2)7 激趣诱思 知识点拨 二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种
4、不同的方法. 名师点析应用分步乘法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完 成几步. (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算 完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐 步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏. 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步? 提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键看一步能否完成这件 事,若能完成,则是分类,否则,是分步. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8
5、人,现从男、女队员中各选 1人去参加比赛,则共有 种不同的选法. 解析:先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人, 有8种不同的选法.由分步乘法计数原理,得共有98=72(种)不同的 选法. 答案:72 激趣诱思 知识点拨 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互 独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理 针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤 都完成才算做完这件事. 激趣诱思 知识点拨 微练习 判断下列说法是否
6、正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( ) (2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.( ) (3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问 题.( ) (4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类加法计数原理分类加法计数原理 例1某校高三共有三个班,各班人数如下表: 班别 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选1
7、名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任 学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完 成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方 案,因此也应采用分类加法计数原理. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方 案. 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;
8、 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主 席,共有50+60+55=165(种)不同的选法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任 学生会生活部部长,共有三类不同的方案. 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3) 班女生
9、中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种) 不同的选法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. 探究一
10、 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤 (1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类; (2)计数,求出每一类中的方法数; (3)结论,将各类的方法数相加得出结果. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的 白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( ) A.3种 B.5种 C.8种 D.15种 解析:要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒 中取出1个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种 不同的取法.故共有3+5=8(种)不同的方法. 答
11、案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重 复) 解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第2步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第3步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第4步,有10种拨号方式,所以m4=10. 根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10101010=10 000(个) 四位数的号码. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若各位上的数字不允许
12、重复,那么这个拨号盘可以组成 多少个四位数的号码? 解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,即m1=10; 第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9; 第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8; 第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7. 根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10987=5 040(个)四 位数的号码. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步,将完成这件事的过程分成若干步; (2)计数,求出每一步中的方法数; (3)结论,将每一步中的方法数相乘得最
13、终结果. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层 有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到 三层有多少种不同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走 法有42=8(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两个计数原理的应用两个计数原理的应用 例3现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、 8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同
14、的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同 的选法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长. 由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=78910=5 040(种). 探究一 探究二 探究三
15、素养形成 当堂检测 (3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有78种不同 的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四 班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1 人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不 同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法.由分 类加法计数原理知共有不同的选法 N=78+79+710+89+810+910=431(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问
16、题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条 公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地 共有多少种不同的走法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:要从甲地到丙地共有
17、两类不同的方案: 第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成, 第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走; 第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走. 根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有32=6(种)不同的 走法. 第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2条水路可走,即有2种不同的走法. 由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6+2=8(种)不同的走法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用 典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复) 表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与 信息0110至多有两个对应位置上的数字相
18、同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:分0个相同、1个相同、2个相同讨论. (1)若0个相同,则信息为1001,共1个. (2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个. (3)若2个相同,又分为以下情况: 若位置一与二相同,则信息为0101; 若位置一与三相同,则信息为0011; 若位置一与四相同,则信息为0000; 若位置二与三相同,则信息为1111; 若位置二与四相同,则信息为1100; 若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个. 故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个
19、数为 1+4+6=11. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 利用分类加法计数原理解题时的注意点 (1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的 分类标准,分类标准要统一,不能遗漏; (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案, 分类的关键在于做到“不重不漏”; (3)确定题目中是否有特殊条件限制. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学 校星期一早晨升旗任务,安排方法共有( ) A.8种 B.6种 C.14种 D.48种 解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这
20、一任务分两类,安排方法 共有8+6=14(种). 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与 一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为( ) A.11 B.28 C.16 384 D.2 401 解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4 种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的 选法.故共有47=28(种)不同的配法. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.(2020山东济南高三三模)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个 人的出生年份对应了十二种动物(
21、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已 知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的 吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍 藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( ) A.50种 B.60种 C.80种 D.90种 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论: 若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有 210=20(种)不同的选法. 若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有 10种, 此时有2310=60(
22、种)不同的选法. 一共有20+60=80(种)不同的选法. 故选C. 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi, 其中虚数有 个. 解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同 取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数66=36(个). 答案:36 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.某校高中三年级一班有优秀团员8人,二班有优秀团员10人,三班 有优秀团员6人,学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.若推选 1人为总负责人,有 种不同的选法. 解析:分三类:第1类,从一班的8名优秀团员中产生,有8种不同的选 法; 第2类,从二班的10名优秀团员中产生,有10种不同的选法; 第3类,从三班的6名优秀团员中产生,有6种不同的选法.由分类加法 计数原理可得,共有N=8+10+6=24(种)不同的选法. 答案:24
