1、6.2.1 排列 6.2.2 排列数 课标阐释 思维脉络 1.理解并掌握排列、 排列数的概念, 能用列举法、 树状图法列出简单的 排列.(数学抽象) 2.掌握排列数公式及其变式,并能 运用排列数公式熟练地进行相关 计算.(数学运算) 3.掌握有限制条件的排列应用题 的一些常用方法,并能运用排列的 相关知识解一些简单的排列应用 题.(数学运算) 激趣诱思 知识点拨 经历了7月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了.大学 录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分.大学录 取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校.假如你 已经选中了第一批本科中较为满意的8个学校和5个专业,
2、那么在填 写录取志愿表时,将有多少种不同的填写方法呢? 激趣诱思 知识点拨 一、排列的相关概念 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 名师点析理解排列应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定 顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何判断一个具体问题是否为排列问题? 提示:(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不 同的元素,否
3、则不是排列问题. (2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排 列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置, 看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序. 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列问题中: 10本不同的书分给10名同学,每人一本; 10位同学互通一次电话; 10位同学互通一封信; 10个没有任何三点共线的点构成的线段. 属于排列的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:由排列的定义可知是排列,不是排列. 答案:B 激趣诱思 知识点拨 二、排列数与排列数公式 1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同 排列的
4、个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. n m 2.排列数公式:n m=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n! (n-m)!,这里 m,nN *,并且 mn. 激趣诱思 知识点拨 3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的 一个全排列.这时,排列数公式中 m=n,即有 A =n(n-1)(n-2)321.也就是说,将 n 个不同的元素全部取出 的排列数,等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.于是,n 个元素的全排列数公式可以写成A =n!. 另外,我们规定,0!=1. 激趣诱思 知识点
5、拨 微思考 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别? 提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不 同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是 一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数. 激趣诱思 知识点拨 微练习 从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表 示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示 种不同 的信号. 解析:一共可表示 =543=60(种)不同的信号. 答案:60 A5 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 简单的
6、排列问题简单的排列问题 例1(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习 兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法? (2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖 各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况? 思路分析:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组, 要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况; (2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行 研究,对应于从5个不同元素中
7、取出3个元素的一个排列. 因此不同的安排方法有 =543=60(种). (2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 =121110= 1 320(种)不同的获奖情况. A5 3 A12 3 反思感悟 对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置 的情况下,直接用排列数公式进行计算. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 ( ) A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B.甲乙丙、乙丙甲 C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D.甲乙、甲丙、乙丙 解析:从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下几 种站法:甲乙、甲丙、乙甲、
8、乙丙、丙甲、丙乙. 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 排列数公式排列数公式 例2求解下列问题: (1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*,且n55). (2)计算2A8 5+7A84 A8 8-A95 . (3)解方程:A2+1 4 =140A 3 . 思路分析:(1)用排列数公式的定义解答即可;(2)直接用排列数公式 计算;(3)用排列数的公式展开得方程求解,要注意x的取值范围,并检 验根是否合理. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)因为55-n,56-n,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55- n)+1=15(个
9、), 所以(55-n)(56-n)(69-n)=A69- 15 . (2)2A8 5+7A84 A8 8-A95 = 287654+78765 87654321-98765 =8765(8+7) 8765(24-9)=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)根据原方程,x 应满足 2 + 1 4, 3, 解得x3,xN*. 根据排列数公式,原方程化为(2x+1) 2x (2x-1) (2x-2) =140 x (x-1) (x-2). 因为x3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2), 即4x2-35x+69=0,解得x=3或x= (因为x为整数,
10、所以应舍去). 所以原方程的解为x=3. 23 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 应用排列数公式时应注意三个方面问题 (1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算. (3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律, 进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2(1)解不等式:A8 6A 8 -2. (2)求证:A+1 A =mA -1. (1)解:原不等式即为 8! (8-)!6 8! (10-)!, 化简得 x2-19x+84
11、0,解得 7x12. 8 , -2 1,即 3x8,且 xN *,x=8. (2)证明左边= ( +1) ! ( +1-) ! ! ( -) ! = ! ( -) ! +1 +1- -1 = ! ( -) ! +1-=m ! (+1-)!=mA -1, 故原等式成立. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 “邻邻”与与“不邻不邻”问题问题 例37人站成一排. (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种? (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种? 思路分析:若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙
12、或甲、乙、丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列. 至于不相邻问题,可以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插 空法解决. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排列, 共有A6 6种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22种排法,故共有A66 A2 2=1 440(种)排法. (2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A7 7种排法,甲、 乙两人相邻的排 法有A2 2 A6 6种,故甲、乙不相邻的排法有A77 A2 2 A6 6=3 600(种). (方法二 插空法)将其余5人全排列,有A5 5 种排法,
13、5人之间及两端共 有 6 个位置,任选 2 个排甲、乙两人,有A6 2种排法.故共有A55 A6 2=3 600(种)排法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)(捆绑法)将甲、 乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列,有A5 5种 排法,甲、乙、丙三人有A3 3种排法,共有A55 A3 3=720(种)排法. (4)(插空法)将其余 4 人排好,有A4 4种排法.将甲、乙、丙插入 5 个空 中,有A5 3种排法. 故共有A4 4 A5 3 =1 440(种)排法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多 少种?
14、 解:第 1 步,从其余 5 人中选 1 人放于甲、乙之间,有A5 1 种排法. 第2步,将甲、 乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排,有A5 5种 排法. 第 3 步,中间 1 人固定,甲、乙两人排列,有A2 2种排法. 根据分步乘法原理得A5 1 A2 2 A5 5 =1 200(种), 故有 1 200 种排法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参 与其他元素排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排 列,再将不相邻元素插在前面元素排列
15、的空中 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3用0,1,2,3,4,5这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数? (3)能组成多少个比1 325大的四位数? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类: 第 1 类,当 0 在个位时,有A5 3个; 第 2 类,当 2 在个位时,千位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有A4 1 种),十位和百 位从余下的数字中选(有A4 2种),于是有A41 A4 2个; 第 3 类,当 4 在个位时,与第二类同理,也有A4 1 A4 2个
16、. 由分类加法计数原理知,符合题意的四位偶数共有A5 3 + A4 1 A4 2 + A4 1 A4 2=156(个). (2)是 5 的倍数的五位数可分为两类:个位数字是 0 的五位数有A5 4个; 个位数字是 5 的五位数有A4 1 A4 3 个. 故满足条件的五位数共有A5 4 + A4 1 A4 3 =216(个). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)比 1 325 大的四位数可分为三类: 第 1 类,形如 2,3,4,5,共有A4 1 A5 3 个; 第 2 类,形如 14,15,共有A2 1 A4 2 个; 第 3 类,形如 134,135,共有A2 1 A3 1
17、个. 由分类加法计数原理知,比 1 325 大的四位数共有 A4 1 A5 3 + A2 1 A4 2 + A2 1 A3 1 =270(个). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解一题多解用多种方法解决排列问题用多种方法解决排列问题 典例有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种 不同的排法? (1)甲不在中间,也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间. 【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特殊 元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)(方法一 元素分析法) 先排甲有 6
18、 种排法,其余有A8 8种排法,故共有 6 A88=241 920(种)排法. (方法二 位置分析法) 中间和两端有A8 3种排法,包括甲在内的其余 6 人有A66种排法,故共有 A8 3 A6 6=336720=241 920(种)排法. (方法三 等机会法) 9 个人的全排列数有A9 9种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依 题意,甲不在中间及两端的排法总数是A9 9 6 9=241 920(种). (方法四 间接法) 共有A9 9-3 A88=6A88=241 920(种)排法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)先排甲、乙,再排其余 7 人,共有A2 2 A7 7=1
19、0 080(种)排法. (3)(插空法) 先排 4 名男生,有A4 4种方法,再将 5 名女生插空,有A55种方法,故共有 A4 4 A5 5=2 880(种)排法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用 各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更 多的解决这类问题的方法. 2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对 立面比较容易求解的题目特别实用. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中 选4门安排在上午的4节课中,其中化学不
20、排在第四节,共有多少种 不同的安排方法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(方法一 分类法)分两类: 第 1 类,化学被选上,有A3 1 A5 3种不同的安排方法; 第 2 类,化学不被选上,有A5 4种不同的安排方法. 故共有A3 1 A5 3 + A5 4=300(种)不同的安排方法. (方法二 分步法)第 1 步,第四节有A5 1 种排法;第 2 步,其余三节有A5 3 种排法,故共有A5 1 A5 3=300(种)不同的安排方法. (方法三 间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有A6 4种排法,而化 学排第四节,有A5 3种排法,故共有A64 A5 3=300(种)不
21、同的安排方法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方 法的种数为( ) A.5 B.10 C.20 D.60 解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共 有 =20(种)不同的送书方法. 答案:C A5 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.设 mN*,且 m15,则A20- 6 =( ) A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-
22、m)(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 解析: 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19- m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m). 答案:C A20- 6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.(2020浙江高三专题练习)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能 排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不 同的演出顺序共有( ) A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 解析:第1步,先安排甲有A2 1 种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有 A2 2 A4 1 种不同的演出顺序;第
23、3 步,安排剩余的三个演员有A3 3种不同的 演出顺序.根据分步计数原理,共有A2 1 A2 2 A4 1 A3 3=96(种)不同的演出顺 序.故选 D. 答案:D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有 种不同的种法. 解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中 任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任 选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8765= 1 680(种). 答案:1 680 A8 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个? (2)这些四位数中大于6 500的有多少个? 解:(1)偶数的个位数只能是 2、4、6,有A3 1 种排法,其他位上有A6 3种排 法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数A3 1 A6 3=360(个);能被 5 整 除的数个位必须是 5,故有A6 3=120(个). (2)最高位上是 7 时大于 6 500,有A6 3种,最高位上是 6 时,百位上只能 是 7 或 5,故有 2A5 2种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于 6 500 的共有A6 3+2A52=160(个).
