1、. 2013 年高考数学（文）复习年高考数学（文）复习 专题三函数专题三函数 核心背记 一，函数的概念及定义域、值域 （一）函数的概念 1用变量的观点来描述函数：在一个变化过程中，有两个变量 z 和 y，如果给定了一个 z 值，相应地就_，那么我们就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量 2.用对应的观点来描述函数：设集合 A 是一个_，对 A 内任意数 z，按照确定的法则， ， 都有_，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数-记作 y=f (z)，xA 其中 z 叫做自变 量，自变量取值的范围（数集 A）叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合叫做这个 函数的值域 3.根
2、据函数的定义，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)_； (2)_ （二）映射与函数 1设 A、 B 是两个非空的集合， 如果按照某种对应法则 f 对 A 内任意个元 Bz， 在 B 中有_ 与 z 对应，则称，是集合 A 到集合 B 的映射，记作 fA-B: 这时称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象，记作 f(x)x 称作 y 的原象， 其中 A 叫做映射，的定义域(函数定义域的推广)，由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值 域，通常记作 f(A) 2一一映射：如果映射，是集合 A 到集合 B 的映射，并且_.这时我们说这两个集合的 元素之间存在一一对应关系
3、，并把这个映射叫做从集合 A 到 B 的一一映射 3映射是_的推广，函数是-一种特殊的_ 二 函数的表示方法及图象 （一）函数的表示方法 1一个函数 y=f (x)除直接用自然语言来表达外，常用的方法还有_、_和_ _ 2列表法通过列出_与_的表来表达函数关系的方法 3.图象法：用_表示函数的方法 4解析法：如果在函数 y=f（x）(xA)中，f(x)是用 _(或_）来表达的，这种表达 函数的方法叫做解析法（也称公式法） （二）分段函数 l在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同_区间，有着不同的_,这样的函数叫做分 段函数 2复合函数：若 y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)u（m，n）
4、 ，那么 y=fg（x)称为复合 函数，u 称为中间变量，它的取值范围是 g（x)的值域 （三） 函数图象对于一个函数 y=f(x)， 如果把其中的自变量 x 视为直角坐标系上的某一点的 _ ，把对应的唯一的函数值 y 视为此点的 _，那么，这个函数 y=f(x)，无论 x 取 何值，都同时确定了一个点，这些点在平面上组成的_就是此函数的图象，简称图象 三、函数的单调性 1.增函数与减函数的概念 . 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 McA，如果取区间 M 中的任意两个值 X1，X2， 当改变量 Ax -XZ -Xl 0 时，有_ ，那么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增
5、函数；当改 变量 A - X2 一 Xl O，有_，那么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数 2函数单调性的概念 如果一个函数在某个区间 M 上是_ ，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间 M 称为单调区间） 四，函数的奇偶性 (一)奇函数与偶函数的概念 1 奇函数： 设函数 y=f(x)的定义域为 D， 如果对 D 内的任意一个 x， 都有_， 且_ ， 则这个函数叫做奇函数 2 偶函数； 设函数 y=g(x)的定义域为 D， 如果对 D 内的任意一个 x， 都有_， 且_， 则这个函数叫做偶函数 （二）奇函数与偶函数的图象特征 1.如果一个函数是奇函数，则它的图象是_对称图形；
6、反之，如果一个函数的图象是 _对称图形，则这个函数县奇函数 2如果一个函数是偶函数，则它的图象是_对称图形；反之，如果一个函数的图象 关于_对称，则这个函数是偶函数， 五、一次函数和二次函数，函数与方程 （一）一次函数 1 函数_叫做一次函数 （又叫线性函数） ， 它的定义域为_， 值域也为_ 2-次函数 y=kx+b(kO)的图象是_，可以简写成直线 y=kx+b.其中 k 叫做该直线 的_，b 叫做在 y 轴上的截距 3一次函数的性质 (2)kO 时，一次函数是_；kO，且 a1）中，对于实数集 R 内的每一个值 z，在正实数集内都 有唯一确定的值 y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一
7、个确定的值 y，在 R 内都有唯一 确定的值 x 和它对应，幂指数 x 又叫做_ 2根据对数的定义，可得到对数恒等式：_ 3.根据对数的定义，对数 logaN(a0，且 a1)具有下列性质： (1)_； (2)_； (3)_ 4常用对数：以_为底的对数叫做常用对数，记作 log10 N，简记为_ 5对数的运算法则 (1)loga(MN)=_（MO，NO，a0 且 a1） . 区间O，+oo)上是_函数； （3)如果 ao）的形式，利用基本不等式公式求值域， 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性及定义域求值域 数形结合；根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域 4求函数解析式的题型
8、 (1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法 (2)已知 f(x)求 f(x)或已知 fg(x)求 f (x)：换元法、配凑法 (3)已知函数图象，求函数解析式 (4)f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)外还有其他未知量，需构造其他等式：解方程组法 (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 5分段函数是一个函数，而不是多个函数，它是一类表达形式特殊的重要函数，跟普通函 数一样存在下列一些常见问题： 作图象 求解析式； 求自变量的取值或取值范围； 求函数值的取值或取值范围； 函数性质；最值性、奇偶性、单调性、反函数的存在性等讨论、求解与应用分段函数的 定义域是各段函数自变量取值范
9、围的并集， 分段函数的值域是各段函数值域的并集 分段函 数的求值要特别注意自变量的取值范围，要根据范围选择相应的对应法则求值 6对于函数的单谓性要注意以下两点： (1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质 (2)必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，X2， . 减函数 f(x)-增函数 g(x)是减函数 10.已知函数的单调性，求字母的取值范围时，常常采求导数的方法与不等式有关系的问 题，常常采用单调的定义方法解决 11.奇函数、偶函数的代数特征我们可以灵活变通，即 f(x)+f（-x）=0 是 f(x)为奇函数的充 要条件 f(-x) -f(x) =0 是 f
10、(x)为偶函数的充要条件，若奇函的定义域含有数 0，则必有 f(0) 一 0 12 也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇性， 如果 f(x)是偶函数， 那么 f(x)= f(|x|). 13.判断函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数还是偶函数，或者既不是奇函数也不是 偶函数，或者既是函数又是偶函数在解题过程中要注意挖掘函数的周期和奇偶性特征， 为解决问题提供方便 14.二次函数是最重要的初等函数之一，有着丰富的 内涵二次函数的研究对近现代数学的 发展影响深远 二次函数是历年来数学竞赛和高考中的重点考查内容，同时，它是联系数 学和其他学科的重要的数学基础之一 15.用待定系数法求二次函数的
11、解析式时，若经过三则用一般式；若给出了顶点，则用顶点 . 式；若已知与 x 的两个交点，则选用两点式 16对于二次函数 y=ax2 +bx+c(a0)，其图象开口向，若对应方程 ax2+bx+c=0 的两个 根为 xl， X2 (X10 的解集为x|xx2 或 xx1） ， 不等 ax2+bx+c0 的解集为x|x1xx2| 解决与二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点（-b/2a,(4ac-b2)/4a） ，由此可知函 数的图象、对称轴、单调区、最值和判别式等 17.二次函数在区间上的最值问题，要充分利用二次函数的图象，同时考虑对称轴与区间的 相对位置及图开口方向 18. -元-次方程根
12、的分布问题是函数、方程、不中的重要内容，解题的思想方法是：设二次 方程对应次函数，然后利用其图象的特征，对判别式、给定区间的函数值、对称轴与该区间 的关系作全面分析、列出式，从而解决问题 19.因为很多问题都是要化归为二次函数来处理多重要内容和方法，如配方法、换元法、分 类讨论法、程、解不等式、证明不等式、求函数的最值、抛物线问是迹问题等都与二次函数 密切相关 20利用数形结合思想解决二次函数、一元 N 次）一元二次不等式等相关的问题，其核心 是利用二次函象解决方程、不等式问题，这是函数思想应用的一个方面 实际应用 参考答案 1 【答案】A【命题立意】本题考查导数的运算及其几何意义的应用 【解
13、题思路】先判断知点(1，0)在曲线上，即为切点，又由于 f(x)=3x2 -2，故，f(1)=1， 即切线的斜率为 1，从而切线方程为 y-r-l 【举一反三】过一点的切线方程在利用导数求解 时，有两类题型：一类是该点即为切点，第二类是该点不是切点，解题过程中一定要注意 2 【答案B 【命题立意】本题考查函数单调性的判断，要求考生灵活应用判断单调性的方法 i 定义或导 . 数或图象解决问题 【解题思路】函数 y-x2 为幂函数，由幂函数的图象与性质可知函数在区间(0，1)上为增 函数；函数 ylog1/3(x+l)图象是由函数 y= log 1/2 平移得到，故其在(0，1)上为减函数； 结合图象可知函数 y= |x-l|在区间(0，1)上为减函数；函数 y= 2x+1 为增函数，不符合 条件，综上只有符合条件 3 【命题立意】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能 力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想 . .
