1、 立体几何单元质量检测题(二)(答案在后面) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A有一个角是直角的四边形 B有两个角是直角的四边形 C有三个角是直角的四边形 D有四个角是直角的四边形 2不共面的四点可以确定平面的个数为( ) A2 B3 C4 D无法确定 3下列说法不正确的是( ) A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些 直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 4梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直 线CD
2、与平面内的直线的位置关系只能是( ) A平行 B平行或异面 C平行或相交 D异面或相交 5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下 列命题正确的是( ) Am，n且，则mn Bm，n且，则mn Cm，n，mn，则 Dm，n，m，n，则 6.如图，l，A，B，C，Cl，直线ABlM，过A， B，C三点的平面记作，则与的交线必通过( ) A点A B点B C点C但不通过点M D点C和点M 7.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点， 将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角 的余弦值为( ) A. 2 2 B. 3 C.1 2 D. 3 2 8已知直线a和平
3、面，l，a，a，a在，内 的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是( ) A平行 B相交 C异面 D以上均有可能 二二.多项选择题多项选择题(答对答全答对答全 5 分分,答错答错 0 分分,少答得少答得 3 分分) 9.设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，错误的命题是( ) A若a，b与所成的角相等，则/ /b B若/ /a，/ /b，/ /，则/ /ab C若a，b，/ /b，则/ / D若a，b，是ab 10如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，下面结论正确的是( ) A/ /BD平面 11 CB D B 1 ACBD C平面 1111 ACC ACB D D异面直线
4、AD与 1 CB所成的角为60 11已知直线l、m，平面a、b，且la，/ /mb，下列四个命题中正确命题是( ) A若/ /ab，则lm B若lm，则/ /a C若ab，则/ /lm D若/ /lm，则ab 12. 如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中正确的 是( ) AACSB B/ /AB平面SCD CSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为_ 14有一正方体木块如图所示
5、，点P在平面AC内，要经过P和棱BC将 木料锯开，锯开的面必须平整，则有_种锯法 15在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC2，SASC2，二面角SAC B的平面角的余弦值是 3 3 ，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积 是_ 16如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已 知ADE(A平面ABC)是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题： 平面AFG平面ABC； BC平面ADE； 三棱锥ADEF的体积的最大值为 1 64a 3； 动点A在平面ABC上的射影在线段AF上； 直线DF与直线AE可能共面 其中正确的命题是_(写出所有正确命题的编号) 三、解答
6、题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共 70 分) 17(10 分)已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的 点，且EHFG，求证：EHBD. 18 (12 分)如图， 四边形ABEF和ABCD都是直角梯形， BADFAB90， BEAF，BCAD，BC1 2AD，BE 1 2AF，G，H 分别为FA，FD的中点 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形 (2)C，D，F，E四点是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由 19.(12 分)如图，已知PA，圆O在平面内，且AB是O的直径，点 C是O上任一点(非A，B)，过A作AEPC于点E.求证
7、：直线AE平面PBC. 20(12 分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边 三角形，ACBC且ACBC 2，O，M分别为AB，VA的中点 (1)求证：VB平面MOC； (2)求证：平面MOC平面VAB； (3)求三棱锥VABC的体积 21.(12 分)如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBP AB，PCAC. (1)求证：PCAB； (2)求二面角BAPC的正弦值 22(12 分)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5， AA1 7，BB12 7，点E和F分别为BC和A1C的中点 (1)求证：EF平面A1B1BA； (2)求
8、证：平面AEA1平面BCB1； (3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小 答案答案 1D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在 的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折 的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形 2C 不共面的四个点中，任三点都是不共线的，故任意三点都可以确定一 个平面，共可以确定 4 个平面 3D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共 面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明 确了 4B 由直线与平面平行的判定定理，可知CD，所以CD与平面内 的直线没有公
9、共点 5B A 中，m，n，则m与n平行、异面、相交皆有可能， 故 A 错误B 中，m，则m或m，又n，所以mn，故 B 正确C 中，m，n，mn，则m与可能垂直，当m时有 ，所以 C 错误D 中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到 ，则 D 错误 6D 通过A，B，C三点的平面，即通过直线AB与点C的平面，因为M AB，M，而C，又M，C，和的交线必通过点C和 点M. 7C 过点F作FHDC，过点A作AGEF，连接GH，AH，则AFH为异面 直线AF与BE所成的角 设正方形ABCD的边长为 2， 在AGH中，AH 5 2 2 4 3，在AFH中，AF1，FH2，AH 3，cos
10、AFH1 2. 8D 当a，a时，有ab，ac，则bc；当aA，a B，且AB与l不垂直时，b与c异面；当alO时，b与c相交于O.b和 c的位置关系是相交、平行或异面 9.【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确； B、 用长方体验证 如图， 设 11 A B为a， 平面AC为，BC为b， 平面 11 AC为， 显然有/ /a， / /b，/ /，但得不到/ /ab，不正确； C、 可设 11 A B为a， 平面 1 AB为，CD为b， 平面AC为， 满足选项C的条件却得不到/ /， 不正确； D、a，a 或/ /a 又b，ab，D正确 故选：ABC 10【解答】解：对于A， 1
11、111 ABCDABC D为正方体， 11 / /BDB D，由线面平行的判定可 得/ /BD面 11 CB D，A正确； 对于B，连接AC， 1111 ABCDABC D为正方体，BDAC，且 1 CCBD，由线面垂直 的判定可得BD 面 1 ACC， 1 BDAC，B正确； 对于C， 由上可知BD 面 1 ACC， 又 11 / /BDB D， 11 B D面 1 ACC， 则平面 1111 ACC ACB D， C正确； 对于D，异面直线AD与 1 CB所成的角即为直线BC与 1 CB所成的角，为45，D错误 故选：ABC 11.【解答】解：若/ /ab，la则lb，又/ /mblm 故
12、A正确 若lm，la，则直线m与平面a，可能平行，相交或在平面内，故B不正确 若ab，/ /mb，ma或/ /ma，又la，lm ，故C不正确 若/ /lm，/ /mb，lb ，abD正确 故选：AD 12【解答】解：SD 底面ABCD，底面ABCD为正方形， 连接BD，则BDAC，根据三垂线定理，可得ACSB，故A正确； / /ABCD，AB平面SCD，CD 平面SCD， / /AB平面SCD，故B正确； SD 底面ABCD， ASO是SA与平面SBD所成的角，CSO是SC与平面SBD所成的， 而SAOCSO ， ASOCSO ，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正
13、确； / /ABCD，AB与SC所成的角是SCD，DC与SA所成的角是SAB， 而这两个角显然不相等，故D不正确； 故选：ABC 13平行 解析：易知BDB1D1，BD平面AB1D1.同理BC1平面AB1D1.又BDBC1 B，BD平面BDC1，BC1平面BDC1，平面AB1D1平面BC1D. 141 解析： 由过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面， 可知只有 1 种锯法 156 解析：取AC的中点D，连接SD，BD，ABBC 2，BDAC，SASC 2，SDAC，SDB为二面角SACB的平面角在ABC中，ABBC， ABBC 2，AC2，取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作D
14、O 平面ABC，则O为外接球的球心，易知ED 3 3 ，又二面角SACB的平面角的 余弦值是 3 3 ，cosEDO 6 3 ，OD 2 2 ，BOBD 2OD2 6 2 ，所求表 面积为 6. 16 解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DEGA，DEGF，所以DE平 面AFG， 所以平面AFG平面ABC， 正确； 因为BCDE， 所以BC平面ADE， 正确；当平面ADE平面ABC时，三棱锥ADEF的体积达到最大值，最 大值为 1 64a 3，故正确；由知动点 A在平面ABC上的射影在线段AF上，故 正确；ADE在旋转过程中，直线DF与直线AE始终异面，故错误 17证明： EH平面BCD，
15、 FG平面BCD， EHFG， EH平面BCD， EH平面ABD， 平面ABD平面BDCBD， EHBD. 18解：(1)由已知G，H分别为FA，FD的中点， 可得GH1 2AD，GHAD，BC 1 2AD，BCAD， GHBC，GHBC， 四边形BCHG为平行四边形 (2)C，D，F，E共面 方法 1：由BE1 2AF，BEAF，G 为FA中点知，BEFG，BEFG. 四边形BEFG为平行四边形 EFBG. 由(1)知BGCH， EFCH， EF与CH共面又DFH， C，D，F，E四点共面 方法 2：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M. BE1 2AF， B为MA中点 BC1 2AD
16、. B为MA中点 M与M重合，即FE与DC交于点M(M) C，D，F，E四点共面 19.证明：因为PA，且BC， 所以PABC. 又因为点C在以AB为直径的圆上 所以BCAC. 又因为直线PA和AC是平面PAC内的两条相交直线， 所以BC平面PAC. 又因为直线AE平面PAC， 所以BCAE. 又因为AEPC， 而PC和BC为平面PBC内的两条相交直线， 所以AE平面PBC. 20解：(1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OMVB. 因为VB平面MOC， 所以VB平面MOC. (2)证明：因为ACBC，O为AB的中点， 所以OCAB. 因为平面VAB平面ABC， 且OC平面
17、ABC， 所以OC平面VAB. 所以平面MOC平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中， ACBC 2， 所以AB2，OC1， 所以SVAB 3， 又因为OC平面VAB， 所以VCVAB1 3OCS VAB 3 3 . 因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等， 所以三棱锥VABC的体积为 3 3 . 21.解：(1)证明：如图，取AB中点D，连接PD，CD. 因为APBP，所以PDAB. 因为ACBC，所以CDAB. 因为PDCDD， 所以AB面PCD. 因为PC面PCD， 所以PCAB. (2)因为ACBC，APBP， 所以APCBPC. 又PCAC， 所以PCBC. 又AC
18、B90，即ACBC，且ACPCC， 所以BC面PAC，可知BCPA. 如图，取AP的中点E，连接BE，CE. 因为ABBP， 所以BEAP. 又BCPA，BEBCB， 所以AP平面BEC. 所以CEAP. 所以BEC是二面角BAPC的平面角 在BCE中，BCE90，BC2，BE 3 2 AB 6， 所以 sinBECBC BE 6 3 . 所以二面角BAPC的正弦值为 6 3 . 22解：(1)证明：如图，连接A1B.在A1BC中， 因为E和F分别是BC和A1C的中点， 所以EFBA1. 又EF平面A1B1BA， 所以EF平面A1B1BA. (2)证明：因为ABAC， E为BC的中点， 所以A
19、EBC. 因为AA1平面ABC，BB1AA1， 所以BB1平面ABC， 从而BB1AE. 又BCBB1B， 所以AE平面BCB1， 又AE平面AEA1， 所以平面AEA1平面BCB1. (3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE. 因为N和E分别为B1C和BC的中点， 所以NEB1B，NE1 2B 1B， 故NEA1A且NEA1A， 所以A1NAE，且A1NAE. 因为AE平面BCB1， 所以A1N平面BCB1， 从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角 在ABC中，可得AE2， 所以A1NAE2. 因为BMAA1，BMAA1， 所以A1MAB，A1MAB， 由ABBB1，有A1MBB1. 在 RtA1MB1中， 可得A1B1B1M 2A 1M 24. 在 RtA1NB1中，sinA1B1N A1N A1B1 1 2， 因此A1B1N30. 所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为 30.
