1、第 1 页 共 4 页 一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合1|,13yRyBRxA x ，则BA（ ） A. ), 1( B. )0 , 1( C. R D. 2. 若iiz 2（其中i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 我国古代数学家著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税 一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤。问本持金几何。”，其意思是
2、“今有人持金出五关，第 一关收税金为持金的 2 1 ， 第2 关收税金为剩余的 3 1 ， 第3 关收税金为剩余税金的 4 1 ， 第4 关收税金为剩余税金的, 5 1 第5 关收税金为剩余税金的 6 1 ”5 关所税金之和，恰好重 1 斤。则在此问题中，第3 关收税金为（ ）斤 A. 10 1 B. 10 3 C. 3 1 D. 10 9 4已知抛物线 2 :4C yx的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若4FPFQ 则FQ （ ） A. 4 B. 5 2 C. 3 2 或 5 2 D. 3 2 重庆强基联合体高三（上）质量检测 2020.12 数数 学学 试试 题题
3、考生注意： 1、本试卷满分：150 分，考试时长：120 分钟，试卷页数：4 页。 2、考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸 上答题无效 。 第 2 页 共 4 页 5. 设正实数, ,a b c分别满足 c c b b a a 2 log, 2 log, 2 3 54 ,则, ,a b c的大小关系为（ ） A. acb B. cba C. bac D. abc 6. 在ABC中，内角 CBA,所对的边分别为cba,，若 BAabAbBaacoscos2sincos 22222 ，则 ABC的形状是（ ） A. 锐角三角
4、形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7. 已知定义在R上的奇函数( )f x，且其图像是连续不断的，满足03)( xf ，则不等式 22ln3) 1(xxxf的解集为（ ） A. ), 0(e B. ),( e C. ) 1 , 0( D. ), 1 ( 8. 已知正方形ABCD的边长为 2，则正方形ABCD的内接正MNR（即RNM,三点落在正方形三条边上） 的面积最大值为（ ） A. 8 3 12 B. 3 C. 2 3 D. 12 38 二、多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，
5、部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 下列叙述正确的是（ ） A. “1a”是“ 1: 10laxy 与 2 :30laxy垂直”的充分不必要条件 B. 函数 )0( 3 3 )( x x xxf的最小值 332 C. 若命题1,:xeRxp x ，则1,: 00 0 xeRxp x D. 若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD 10. 已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间 第 3 页 共 4 页 的距离为 4 且 f x的图象关于点)0 , 12 ( 对称，则下列判断错误的是（ ） A. 函数 f x的周期为 2 B. 要得到函数
6、f x的图象，只需将xy4cos3的图象向右平移 6 个单位 C. ) 24 5 , 24 ( 是)(xf的一个单调减区间 D. f x在, 0上有且只有 3 个极值点 11设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点为 12 ,F F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近 线，O为坐标原点。 若在C的左支上存在点P， 使点P与点 2 F关于直线l对称， 则下列结论正确的是 （ ） A. 1 2PFa B. 2 POF的面积为ab C. 双曲线C的离心率为5 D. 直线l的方程是30 xy 12已知 2 2 ( ) ( )ln , ( ),( ) fx f xxx g xfx
7、 x 是 )(xf 的导函数,则下列结论正确的是（ ） A. )(xf在 1 2, e 上单调递增. B. )(xg在), 0(上两个零点 C. 当exx 21 0 时，)()()( 21 2 2 2 1 xfxfxxm恒成立，则 2 3 m D. 若函数 ( )( )h xf xax 只有一个极值点，则实数0a 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知函数 3 1log (3),0 ( ) 3 ,0 x x x f x x ,则)12(log)6( 3 ff= 第 4 页 共 4 页 14. 已知非零向量, a b满足：(2 )(2 )abab且(3 )a
8、bb，则向量a与b的夹角为 15. 已知数列 n a的通项公式 *2 , 4 sinNn n an ，其前n项和为 n S，则 2020 S 16. 在平面直角坐标xoy中， 已知)22 , 0(Q，BA，是圆9) 1( : 22 yxC上的两个动点， 满足|QBQA ， 则ABQ面积的最大值是 四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17.（本小题 10 分）已知直线 1: 3 10lxy 的倾斜角为; )3, 1 (),sin,(cosnm 且m与n共线，其中0; 角的终边经过点2,2 3,其中0 请你从这三个条件中任选一个给以下小题中的提
9、供信息并加以解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求 10 sincos2 9 cos3sin 1818 的值； (2)设( )sin 23cos 2,0, 4 f xxxx 求( )f x的最大值. 18.（本小题 12 分）已知数列 n a满足：24 nn San，设4 nn ba， 1 n n c b 。 第 5 页 共 4 页 (1)求数列 n a的通项公式； (2)设数列 n c其前n项和为 n T，如果 n Tm对任意的 * nN恒成立，求实数m的取值范围。 19.（本小题 12 分）不透明的纸箱里装有大小，材质一样的 7 个小球，其中有红色球 4 个，编
10、号分别为 1，2，3， 4；白色球 3 个，编号分别为 2，3，4.现从箱子中任摸取 4 个小球（假设取到任何一个球的可能性相同） （1）求取出的 4 个球中，含有编号为 3 的球的概率； （2）在取出的 4 球中，记红色球编号最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望 20.（本小题 12 分）在ABC中，角, ,A B C对应的三边分别为, ,a b c，(tan1)(tan1)2AB， 2 2,2,caO为ABC的外心，连接,OA OB OC。 （1）求OAB的面积； （2）过B作AC边的垂线交于D点，连接OD,试求cosOBD的值. 21. （本小题 12 分） 已知点(0, 1)A,
11、圆8) 1(: 22 yxB，C为B上一动点， 连接,AC BC， 设E 线段AC 的中点，D为BC上一点，且满足 0DE AC ，动点D形成曲线F。 （1）求OD的取值范围； （2）直线DE与曲线F是否相切？请说明理由. 第 6 页 共 4 页 22.（本小题 12 分）已知函数 2 ( )12, x f xxeaxax ,xR aR，其中2.71828e （1）试讨论函数( )f x的单调性； （2）在 1 2 a e 时，( )f x是否存在极值点？如果存在不妨设为 12 ,x x且 12 xx 试判断 12 ( )()f xf x与 1e e 的大小并说明理由. 高三数学联考参考解答
12、一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B C C A 8.设aNRMRMNAMRNMB,，则, 3 2 ,cosaMB ) 3 2 cos( aMA， ) 6 sin( 2 ) 3 2 cos(cos 2 , 2cos) 3 2 cos( aaaAB 不妨设, 3 , 又) 6 (sin), 6 sin(2sin2 aaaBN 若) 6 (sinsin 2623 , 2 ，），（上式不成立，故 则 12 5 , 6 5 2), 6 (), 2 , 0() 6 ( 故， 1238)26(22 4 26 2 2 12 7 , 2 6 , 12 5 , 3 ma
13、x Saa 二、多项选择题 R N M D C B A 第 7 页 共 4 页 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD ABC ACD 12.正确。故得令Aexxxxfxxxxf, 2 1 ln01ln20)()0)(1ln2()( 2 1 上为增函数上为减函数，在在故得令)(), 0()(, 2 1 ln0)(, ln21 )( 2 1 2 1 2 1 2 eexgexxxg x x xg 0)(g0)(,;)(,0 xxgxxgx且时当时当 的大致图像为)(xg 错只有一个零点，故Bxg)( 恒成立对上为减函数，在则记), 0(02) 1ln2()(), 0()(,)()( 2 e
14、xmxxxxexmxxfx 正确。故恒成立对Cmmexxm 2 3 32), 0(1ln22 3ln21) 1(ln2)(,) 1ln2()( xxxhaxxxh 0)(,),(; 0)(,), 0(, 0)(), 0()( 00 2 3 0 xhxxxhxxexxhxh时当时当得上为增函数，令在 )(,0),(), 0()( 00 xhxxxxh时上为增函数且当上为减函数，在在 不含原点）：的大致图像如下()(xh 正确故D 三、填空题 O x y O x y 第 8 页 共 4 页 15).13( (14). 6 5 (15).1010 (16). 4 327 的垂直平分线上在ABQQBQ
15、A|.16 9 ABQ SAB过圆心，则若 2 930 ,dHBddABCAB的距离为到不过圆心，设圆心若 4 327 ) 3 ()( 2 , 3 () 3 , 0)(, 2 1 cos0)( ) 1cos2)(1(cos9) 1coscos29)(), 2 0(cos1 (sin9)( )cos1 (sin9)cos33(sin3), 2 0(cos32 4 327 ) 2 3 ()( 3 , 2 3 () 2 3 , 0()(),23()3(2)( )3)(3()(,)3)(3()3()9(1 3 , 0(),3(9| 2 1 max 2 max max 2 3322 2 ff ff ff
16、 Sd Sfdf dfdddf dddfddddS dddQHABS QAB QAB QAB QAB ）上为减函数上为增函数，在在故得令 （则记 则：令法 上为减函数上为增函数，在在故则 记：法 四、解答题 17解：若选，则 2 3 （1） 101 sincos2( sin) ( cos)sin 1 99329 7 4 cos3sin2(coscossinsin)2cos 181818318318 （2） 22 ( )sin 23cos 22sin 2 333 f xxxx 0 4 x 2 336 x 1 sin(2)sin 362 x ( )f x的最大值为 2 第 9 页 共 4 页 （若
17、选条件或，答案一样） 18解： （1）当1n 时， 11 24Sa， 1 4a 当2n时，24 nn San 11 24(1) nn San 由-得 11 224 nnnn SSaa 1 24 n n aa 1 42(4) n n aa 1 2 n n bb 1 12 22 nn n bb 2 24 n n a （2）由（1）知 2 1 ( ) 2 n n c ， 11 1( ) 11182 1( ) 1 424 1 2 n n n T 1 4 m 19解： （1）设含有编号为 3 的球的概率为 1 P，则 4 5 1 4 7 6 1 7 C P C 。 （2）由已知X的所有可能值为 1,2,
18、3,4 3 3 4 7 1 (1) 35 C P X C ， 3 4 4 7 4 (2) 35 C P X C ， 3 5 4 7 10 (3) 35 C P X C ， 3 6 4 7 20 (4) 35 C P X C 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 第 10 页 共 4 页 P 1 35 4 35 10 35 20 35 故 18308011917 () 35353535355 E X 20.解： （1） (tan1)(tan1)2AB tantantantan1ABAB tantan tan()1 1tantan AB AB AB 4 AB 3 4 C 在 ABC 中，
19、22 2 42 3 sin sin 4 OA A ，则 1 sin 2 A ， , 612 AB 11 | |2 222 (| 22 OAB SABOHOH 是O到AB的距离） （2） 2OAOBBC 3 OBC 又 4 DBC 34 OBDOBCDBC 26 coscos() 344 OBD 21.解：(1)设( , )D x y由题意得 0DE AC DEAC E线段AC的中点 DEAC是线段的中垂线。 DADC 2 2 2 22 BDDCBC BDADAB ,22 2,22DA Bac点的轨迹是以为焦点，的椭圆 第 11 页 共 4 页 2 2 1 2 y Dx点的轨迹方程为 22222
20、 2 (22)22 -11 01 ODxyxxx x x = OD的取值范围是 1, 2 （2）直线DE与曲线F相切。理由如下： 设 00 (,)C xy 当 0 1y 时 0 2x ，此时DE的方程为1x，由（1）知曲线F的方程为 2 2 1 2 y x，DE与曲线F 相切成立。 当 0 1y 时，(0, 1)A 00 1 , 22 xy E 0 0 1 DE x k y 000 0 1 () 122 xxy DEyx y 的方程为 000 0 2 2 1 () +122 1,(1) 2 xxy yx y y x 由 22 00 22 000 (1)8 +72 yx xyy 00000 00
21、0 162 (),(2) 122121 xxyx xy yx yyy 将（2）式代入（1）式整理得 第 12 页 共 4 页 2 222 000000 2123720 xyxxyxyy 2 22 0000 2 00 3230 30 yxxyxx yxx DEF与曲线 有唯一交点 综上：直线DE与曲线F相切. 22.解： （1） 2 ( )12, ( )12112 x xx f xxeaxax aR fxxea xxea 当2 0a时，20 x ea所以 ,( ),( )x fxf x 的变化如下表 x , 1 1 1, ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以( )f x在 , 1 单调减，
22、在 1, 单调增。 当 1 2a e 时，即 ln 21a 所以,( ),( )x fxf x 的变化如下表 x , 1 1 1, ( )fx 0 ( )f x 所以( )f x在 , 单调增。 当ln(2 )1a 时，即 1 0 2 a e 时。 当ln(2 )20;10 x xaeax 时， 第 13 页 共 4 页 ln(2 )210 ln(2 )1210 1210 x x x xaeax axeax xeax 时， 当时, 当时， 所以( )f x在,ln2a单调增，ln2 , 1a 单调减，1, 单调增。 当ln(2 )1a 时，即 1 2 a e 时。 1ln(2 )20;10 2
23、10 x x xaeax eax 当时， 1210 ln(2 )210 x x xeax axeax 当时， 当时, 所以( )f x在 , 1 单调增， 1,ln2a 单调减， ln2 , a 单调增。 综上：当20a时( )f x在, 1 单调减，在1, 单调增 当 1 2a e 时( )f x在 , 单调增 当 1 0 2 a e 时( )f x在,ln2a单调增，ln2 , 1a 单调减，1, 单调增 当 1 2 a e 时( )f x在 , 1 单调增， 1,ln2a 单调减， ln2 , a 单调增。 （2）解： 12 ( 1 ) e ff e xx 理由如下： 由（1）知道 1
24、2 a e 12 ( )1,ln2f xxxa 有两个极值点 12 ( )()( 1)(ln2 )f xf xffa 2 12 1 ()()( 1)(ln2 )2ln 2f xf xffaaaa e 第 14 页 共 4 页 2 2 11 ( )2ln 2 ,() 2 1 ( )1 ln 22ln2 ,(2) h aaaa a ee h aaaa e 令 ln2 ,1tat令则 2 0000 0 0 0 0 ( )21,1 1 (0)0, ( )0 2 ( ) 11 ( )=0ln2()=0 22 ( )0 1 ( )0 2 ( )0 ( )0 g tttt gg g t tg tah a ttg t aah a e ttg t aah a 令则 且在(-1,+单调减。 存在0使得，即存在0使得 当-1， 即时使得 当， 即时使得 2 000000 0 0 111 ( )()2ln 222ln2 2 1 ln2 2 2 ah ah aaaaaa eee a ae 当时， 0 1 ( )ln ,(1) ( )1 ln01 ( )ln1 1 ( )2ln 2 11 ( )1 u xxxxe u xxxe u xxxe h aee e e e h a ee 设 在成立 在 ，单增
