1、专题六专题六 函数与导数函数与导数 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 类型一类型一 函数的图象和性质函数的图象和性质 1 (2020 全国卷全国卷)设函数设函数 f(x)x3 1 x3， 则 ， 则 f(x)( ) A是奇函数，且在是奇函数，且在(0，)单调递增单调递增 B是奇函数，且在是奇函数，且在(0，)单调递减单调递减 C是偶函数，且在是偶函数，且在(0，)单调递增单调递增 D是偶函数，且在是偶函数，且在(0，)单调递减单调递减 解析：解析：因为函数因为函数 f(x)x3 1 x3定义域为 定义域为x|x0，其关，其关 于原点对称，于原点对称， 而而 f(x)f(x)，所
2、以函数，所以函数 f(x)为奇函数为奇函数 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 又因为函数又因为函数 yx3在在(0，)上单调递增，在上单调递增，在(， 0)上单调递增，上单调递增， 而而 y 1 x3 x 3 在在(0，)上单调递减，在上单调递减，在(，0) 上单调递减，上单调递减， 所以函数所以函数 f(x)x3 1 x3在 在(0，)上单调递增，在上单调递增，在( ，0)上单调递增上单调递增 答案：答案：A 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 22020 新高考卷新高考卷(山东卷山东卷)若定义在若定义在 R 的奇函数的奇函数 f(x)在在(，0)单调递减，且单
3、调递减，且 f(2)0，则满足，则满足 xf(x1) 0 的的 x 的取值范围是的取值范围是( ) A1，13，) B3，10，1 C1，01，) D1，01，3 解析：解析：因为定义在因为定义在 R 上的奇函数上的奇函数 f(x)在在(，0)上上 单调递减，且单调递减，且 f(2)0， 所以所以 f(x)在在(0，)上也是单调递减，且上也是单调递减，且 f(2)0， f(0)0， 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 所以当所以当 x(，2)(0，2)时，时，f(x)0，当，当 x( 2，0)(2，)时，时，f(x)0， 所以由所以由 xf(x1)0 可得：可得： x0， ， 0
4、 x12或或x12， 或或 x0. 解得解得1x0 或或 1x3，所以满足，所以满足 xf(x1)0 的的 x 的取值范围是的取值范围是1，01，3 答案：答案：D 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 3(2019 全国卷全国卷)函数函数 f(x) sin xx cos xx2在 在， 的图象大致为的图象大致为( ) 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 解析：解析：因为因为 f(x) sin（x）x cos（x）（）（x）2 sin xx cos xx2 f(x)，所以，所以 f(x)为奇函数，排除选项为奇函数，排除选项 A. 令令 x，则，则 f() sin co
5、s 2 120，排除选项 ，排除选项 B、C.故选故选 D. 答案：答案：D 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 4 (2018 全国卷全国卷)设函数设函数 f(x) 2 x， ，x0， 1，x0， 则满足则满足 f(x1)0 的图象如图所示：的图象如图所示： 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 满足满足 f(x1)f(2x)， 可得可得 2x0x1 或或 2xx10， 解得解得 x(，0) 答案：答案：D 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 类型二类型二 基本初等函数、函数与方程基本初等函数、函数与方程 1(2020 全国卷全国卷)设设 alog34
6、2，则，则 4 a ( ) A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 解析：解析：由由 alog342 可得可得 log34a2，所以，所以 4a9，所，所 以有以有 4 a 1 9，故选 ，故选 B. 答案：答案：B 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 2(2020 全国卷全国卷)Logistic 模型是常用数学模型之模型是常用数学模型之 一， 可应用于流行病学领域 有学者根据公布数据建立了一， 可应用于流行病学领域 有学者根据公布数据建立了 某地区新冠肺炎累计确诊病例数某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天的单位：天)的的 Logistic 模
7、型：模型： I(t) K 1e 0.23（t53）， 其中， 其中 K 为最大确诊病为最大确诊病 例数当例数当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则时，标志着已初步遏制疫情，则 t* 约为约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 解 析 ：解 析 ： 因 为因 为 I(t) K 1e 0.23（t53）， 所 以， 所 以 I(t*) K 1e0.23（t*53） 0.95K，则，则 e0.23(t*53)19， 所以，所以，0.23(t*53)ln 193，解得，解得 t* 3 0.23 5366. 答案：答案
8、：C 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 3(2020 全国卷全国卷)已知已知 5584，13485.设设 alog53， blog85，clog138，则，则( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 解析：解析：由题意可知由题意可知 a、b、c(0，1)， a b log53 log85 lg 3 lg 5 lg 8 lg 5 1 （lg 5）2 lg 3lg 8 2 2 lg 3lg 8 2lg 5 2 lg 24 lg 25 21， ， 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 所以所以 ab； 由； 由 blog85， 得， 得 8b5， 由， 由 5584
9、， 得， 得 85b84， 所以所以 5b4，可得，可得 b4 5； ； 由由 clog138，得，得 13c8，由，由 13485，得，得 1344，可得，可得 c4 5. 综上所述，综上所述，abc. 答案：答案：A 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 4(2020 全国卷全国卷)若若 2x2y0 Bln (yx1)0 Dln|xy|0 解析：解析：由由 2x2y3 x 3 y， ，得得 2x3 x2y 3 y， ， 令令 f(t)2t3 t，因为 ，因为 y2x为为 R 上的增函数，上的增函数，y3 x 为为 R 上的减函数，上的减函数， 所以所以 f(t)为为 R 上的增
10、函数，所以上的增函数，所以 x0，所以，所以 yx11，所以，所以 ln (yx1)0， 则则 A 正确，正确，B 错误；错误； 因为因为|xy|与与 1 的大小不确定，故的大小不确定，故 C、D 无法确定无法确定 答案：答案：A 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 类型三类型三 导数的简单应用导数的简单应用 1(2020 全国卷全国卷)函数函数 f(x)x42x3的图象在点的图象在点(1， f(1)处的切线方程为处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 解析：解析：因为因为 f(x)x42x3，所以，所以 f(x)4x36x2，所，所 以以 f(1)
11、1，f(1)2， 因此，所求切线的方程为因此，所求切线的方程为 y12(x1)，即，即 y 2x1. 答案：答案：B 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 2 (2020 全国卷全国卷)设函数设函数 f(x) ex xa.若 若 f(1)e 4， 则 ， 则 a_ 解析：解析：由函数的解析式可得由函数的解析式可得 f(x)e x（ （xa）ex （xa）2 ex（xa1） （xa）2 ， 则：则：f(1)e 1 （1a1） （1a）2 ae （a1）2，据此可得 ，据此可得 ae （a1）2 e 4， ， 整理可得整理可得 a22a10，解得，解得 a1. 答案：答案：1 专题六
12、函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 类型四类型四 导数的综合应用导数的综合应用 1(2020 全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)2lnx1. (1)若若 f(x)2xc，求，求 c 的取值范围；的取值范围； (2)设设 a0 时，讨论函数时，讨论函数 g(x)f（ （x）f（a） xa 的单调性的单调性 解：解：(1)函数函数 f(x)的定义域为：的定义域为：(0，)， f(x)2xcf(x)2xc02ln x12xc0， (*) 设设 h(x)2ln x12xc(x0)，则有，则有 h(x)2 x 2 2（1x） x ， 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 当当 x
13、1 时，时， h(x)0， h(x)单调递减， 当单调递减， 当 0x0， h(x)单调递增，单调递增， 所以当所以当 x1 时，函数时，函数 h(x)有最大值，即有最大值，即 h(x)maxh(1) 2ln 1121c1c， 要想不等式要想不等式(*)在在(0，)上恒成立，只需上恒成立，只需 h(x)max0 1c0c1. (2)g(x) 2ln x1（2ln a1） xa 2（ln xln a） xa (x0 且且 xa) 专题六 函数与导数 真题研析 命题分析 知识方法 因此因此 g(x)2（ （xaxln xxln a） x（xa）2 ，设，设 m(x)2(xa xln xxln a)
14、， 则有则有 m(x)2(ln aln x)，当，当 xa 时，时，ln xln a，所以，所以 m(x)0，m(x)单调递减，因此有单调递减，因此有 m(x)m(a)0，即，即 g(x)0， 所以所以 g(x)单调递减；单调递减； 当当 0xa 时，时，ln x0，m(x)单调递增，单调递增， 因此有因此有 m(x)m(a)0， 即即 g(x)0，h(x)单调递增；在单调递增；在(1，)上上 h(x)0； 当当 x 2， ， 时，时， g(x)0，g()2，故，故 g(x)在在(0，)存在唯存在唯 一零点即一零点即 f(x)在在(0，)存在唯一零点存在唯一零点 (2)解：解：由题设知由题设知
15、 f()a，f()0，可得，可得 a0.由由(1) 知，知，f(x)在在(0，)只有一个零点，只有一个零点， 设为设为 x0，且当，且当 x(0，x0)时，时，f(x)0； 当当 x(x0，)时，时，f(x)0)恒成立，则恒成立，则 yf(x)是周期为是周期为 2a 的周期函数的周期函数 若若 yf(x)是偶函数，其图象又关于直线是偶函数，其图象又关于直线 xa 对称，对称， 则则 f(x)是周期为是周期为 2|a|的周期函数的周期函数 专题六 函数与导数 知识方法 真题研析 命题分析 若若 yf(x)是奇函数，其图象又关于直线是奇函数，其图象又关于直线 xa 对称，对称， 则则 f(x)是周
16、期为是周期为 4|a|的周期函数的周期函数 若若 f(xa)f(x) 或或f（xa） 1 f（x） ，则，则 yf(x) 是周期为是周期为 2|a|的周期函数的周期函数 【易错提醒】【易错提醒】 错用集合运算符号致误：函数的多错用集合运算符号致误：函数的多 个单调区间若不连续， 不能用符号个单调区间若不连续， 不能用符号“”连接，可用连接，可用“和和” 或或“， ”连接连接 专题六 函数与导数 知识方法 真题研析 命题分析 3指数式与对数式的七个运算公式指数式与对数式的七个运算公式 (1)am anam n. (2)(am)namn. (3)loga(MN)logaMlogaN. (4)log
17、aM N logaMlogaN. (5)logaMnnlogaM. (6)alogaNN. (7)logaNlogbN logba (注：注：a，b0 且且 a，b1，M0，N0) 专题六 函数与导数 知识方法 真题研析 命题分析 4指数函数与对数函数的图象和性质指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数指数函数 yax(a0， a1)与对数函数与对数函数 ylogax(a0， a1)的图象和性质，分的图象和性质，分 0a1 两种情况，当两种情况，当 a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当时，两函数在定义域内都为增函数，当 0a0 是是 f(x)为增函数的充分不必要条件， 如函数为增函数的充分
18、不必要条件， 如函数 f(x)x3在在(，)上单调递增，但上单调递增，但 f(x)0. f(x)0 是是 f(x)为增函数的必要不充分条件，如果为增函数的必要不充分条件，如果 函数在某个区间内恒有函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则时，则 f(x)为常数函数为常数函数 (2)利用导数研究函数单调性的方法利用导数研究函数单调性的方法 若求单调区间若求单调区间(或证明单调性或证明单调性)，只要在函数定义域，只要在函数定义域 内解内解(或证明或证明)不等式不等式 f(x)0 或或 f(x)0，右侧，右侧 f(x)0，则，则 f(x0)为为 函数函数 f(x)的极大值； 若在的极大值； 若在 x0附近左侧附近左侧 f(x)0， 则则 f(x0)为函数为函数 f(x)的极小值的极小值 (2)设函数设函数 yf(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)内可导，内可导， 则则 f(x)在在a，b上必有最大值和上必有最大值和最小值且在极值点或端点最小值且在极值点或端点 处取得处取得 【易错提醒】【易错提醒】 若函数的导数存在，某点的导数等若函数的导数存在，某点的导数等 于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 谢谢观赏谢谢观赏
