1、专题四专题四 概率与统计概率与统计 微专题微专题3 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 大题考法大题考法 1 随机变量的期望和方差随机变量的期望和方差 (2020 北京市顺义区模拟北京市顺义区模拟)在全民抗击新冠肺在全民抗击新冠肺 炎疫情期间，北京市开展了炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学停课不停学”活动，此活动活动，此活动 为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用 活动开展为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用 活动开展 一个月后， 某学校随机抽取了高三年级的甲、 乙两个班级一个月后， 某学校随机抽取了高三年级的甲、 乙两个班级 进行网络问
2、卷调查， 统计学生每天的学习时间， 将样本数进行网络问卷调查， 统计学生每天的学习时间， 将样本数 据分成据分成3，4)，4，5)，5，6)，6，7)，7，8五组，并五组，并 整理得到如下频率分布直方图：整理得到如下频率分布直方图： 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 (1)已知该校高三年级共有已知该校高三年级共有 600 名学生，根据甲班的名学生，根据甲班的 统计数据， 估计该校高三年级每天学习时间达到统计数据， 估计该校高三年级每天学习时间达到 5 小时及小时及 以上的学生人数；以上的学生人数； (2)已知这两个班级各有已知这两个班级各有 40 名学生，从甲、乙两个班名学生，从甲、乙
3、两个班 级每天学习时间不足级每天学习时间不足 4 小时的学生中随机抽取小时的学生中随机抽取 3 人， 记从人， 记从 甲班抽到的学生人数为甲班抽到的学生人数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别 为为 D1，D2，试比较，试比较 D1与与 D2的大小的大小(只需写出结论只需写出结论) 解：解：(1)根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时 间达到间达到 5 小时及以上的学生人数约为小时及以上的学生
4、人数约为 600(0.5000.250 0.050)480(人人) (2)甲班每天学习时间不足甲班每天学习时间不足 4 小时的学生人数为小时的学生人数为 40 0.0502，乙班每天学习时间不足，乙班每天学习时间不足 4 小时的学生人数为小时的学生人数为 40 0.1004，从甲班抽到的学生人数，从甲班抽到的学生人数 X 可取的值为可取的值为 0，1，2， 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 则则 P(X0)C 0 2C 3 4 C3 6 1 5， ，P(X1)C 1 2C 2 4 C3 6 3 5， ，P(X2) C2 2C 1 4 C3 6 1 5， ， 所以所以 X 的分布列为：的
5、分布列为： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 则则 X 的数学期望为的数学期望为 E(X)01 5 13 5 21 5 1. (3)结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时 间更集中，所以间更集中，所以 D1D2. 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 1求离散型随机变求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随量的分布列的关键是正确理解随 机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各 类求概率的公式，求出概率类求概率的公式，求出概率 2对于实际问题中的随机变量对于实际问题中的随机变量
6、X，如果能够断定它，如果能够断定它 服从超几何分布服从超几何分布 H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式，则其概率可直接利用公式 P(Xk)C k MC nk N M Cn N (k0，1，m，其中，其中 mminM， n，且，且 nN，MN，n，M，NN*) 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 某小组共某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加人，利用假期参加义工活动，已知参加 义工活动次数为义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为的人数分别为 3，3，4，现从这，现从这 10 人中随机选出人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会人作为该组代表参加座谈会 (1)设设 A 为
7、事件为事件“选出的选出的 2 人参加义工活动次数之和人参加义工活动次数之和 为为 4” ，求事件，求事件 A 发生的概率；发生的概率； (2)设设 X 为选出的为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对人参加义工活动次数之差的绝对 值，求随机变量值，求随机变量 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解：解：(1)由已知有由已知有 P(A)C 1 3 C 1 4 C2 3 C2 10 1 3，所以事件 ，所以事件 A 的发生的概率为的发生的概率为1 3. 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 (2)随机变量随机变量 X 的所有可能的取值为的所有可能的取值为 0，1，2； P(X0)C 2
8、 3 C2 3 C2 4 C2 10 4 15； ；P(X1)C 1 3 C 1 3 C1 3 C 1 4 C2 10 7 15； ；P(X2)C 1 3 C 1 4 C2 10 4 15. 所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 数学期望为数学期望为 E(X)0 4 15 1 7 15 2 4 15 1. 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 大题考法大题考法 2 概率与统计的综合性问题概率与统计的综合性问题 “难度系数难度系数”反映试题的难易程度，难度系数反映试题的难易程度，难度系数 越大，题目得分率越高，难度也就越小越
9、大，题目得分率越高，难度也就越小 “难度系数难度系数”的的 计算公式为计算公式为 L1 Y W，其中， ，其中，L 为难度系数，为难度系数，Y 为样本平为样本平 均失分，均失分，W 为试卷总分为试卷总分(一般为一般为 100 分或分或 150 分分)某校高某校高 三年级的李老师命制了某专题共三年级的李老师命制了某专题共 5 套测试卷套测试卷(每套总分每套总分 150 分分)，用于对该校高三年级，用于对该校高三年级 480 名学生进行每周测名学生进行每周测 试 测试前根据自己对学生的了解， 预估了每套试卷的难试 测试前根据自己对学生的了解， 预估了每套试卷的难 度系数，如下表所示：度系数，如下表
10、所示： 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 试卷序号试卷序号 1 2 3 4 5 考前预估难度系数考前预估难度系数Pi 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了测试后，随机抽取了 50 名学生的数据进行统计，结名学生的数据进行统计，结 果如下：果如下： 试卷序号试卷序号 1 2 3 4 5 实测平均分实测平均分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷根据试卷 2 的难度系数估计这的难度系数估计这 480 名学生第名学生第 2 套套 试卷的平均分；试卷的平均分； (2)从抽样的从抽样的 50 名学生的名学生的 5 套试卷中随机抽取套试卷中随机抽取 2 套试套试
11、 卷，记这卷，记这 2 套试卷中平均分超过套试卷中平均分超过 96 分的套数为分的套数为 X，求，求 X 的分布列和数学期望；的分布列和数学期望； 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 (3)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏 差设差设 Pi为第为第 i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量套试卷的实测难度系数，并定义统计量 S1 n(p1 p1)2(p2p2)2(PnPn)2， 若， 若 S0.001， 则认为本专题的则认为本专题的 5 套试卷测试的难度系数预估合理， 否则套试卷测试的难度系数预估合理， 否则 认为不合理 试检验本专题的认为
12、不合理 试检验本专题的 5 套试卷套试卷对难度系数的预估对难度系数的预估 是否合理是否合理 解：解：(1)由难度系数的计算公式可得由难度系数的计算公式可得 0.641 Y 150， ， 可得可得 Y54，故第，故第 2 套试卷的平均分为套试卷的平均分为 1505496. 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 (2)x 的可能取值是的可能取值是 0，1，2.P(X2)C 2 2 C2 5 1 10； ；P(X1) C1 2C 1 3 C2 5 3 5； ；P(X0)C 2 3 C2 5 3 10. X 的分布列为的分布列为 X 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 E(X)0 3 10
13、 13 5 2 1 10 4 5. (3)由这由这 50 名学生的平均分可依次得出这名学生的平均分可依次得出这 5 套试卷的套试卷的 实测难度系数分别为实测难度系数分别为 0.68、0.66、0.62、0.62、0.58.则则 微专题3 随机变量及其概率分布 对点训练 S1 5(0.7 0.68)2(0.640.66)2(0.60.62)2(0.6 0.62)2(0.550.58)20.000 5，因为，因为 S0.000 50， g(x)递增， 当递增， 当 x20， ， )， g(x)0，g(x)递减递减 所以月惠值最大值时的所以月惠值最大值时的 x 值为值为 20. 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
