1、立体几何立体几何(11) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1下列三视图所对应的直观图是( ) 22020 福州市第一学期抽测如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧 视图可以是( ) 32018 全国卷 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A B C D 42020 合肥市高三第一次教学质量检测已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，
2、过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则： 平面 分正方体所得两部分的体积相等 四边形 BFD1E 一定是平行四边形 平面 与平面 DBB1不可能垂直 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为( ) A B C D 52020 太原市高三年级模拟古人采用“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供 食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿 去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( ) A63 B72 C79 D99 62020 惠州市高三第二次调研考试试卷设 l，m，n 为三条不同的直线， 为一个平面， 则
3、下列命题中正确的个数是( ) 若 l，则 l 与 相交 若 m，n，lm，ln，则 l 若 lm，mn， l，则 n 若 lm，m，n，则 ln. A1 B2 C3 D4 7. 如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90 ，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A - BCD.则在三棱锥 A - BCD 中，下列命题正 确的是( ) A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDC C平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC 82020 开封市高三第一次模拟考试已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶 点， 且与
4、正方体每条棱所在直线所成的角都相等， 则该正方体在平面上的正投影面积是( ) A.3 3 2 B. 3 C. 2 D.3 3 4 92020 湖北荆州中学模拟如图，L，M，N 分别为正方体棱的中点，则平面 LMN 与平 面 PQR 的位置关系是( ) A垂直 B相交但不垂直 C平行 D重合 102018 全国卷在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 112020 湖北省部分重点中学高三起点考试如图，在四棱锥 P - ABCD 中，顶点 P 在底 面的投影 O 恰
5、为正方形 ABCD 的中心，且 AB 2，设点 M，N 分别为线段 PD，PO 上的动 点，已知当 ANMN 取最小值时，动点 M 恰为 PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.9 2 B.16 3 C.25 4 D.64 9 122020 福建质量检测如图，AB 是圆锥 SO 的底面圆 O 的直径，D 是圆 O 上异于 A， B 的任意一点，以 AO 为直径的圆与 AD 的另一个交点为 C，P 为 SD 的中点现给出以下结 论： SAC 为直角三角形 平面 SAD平面 SBD 平面 PAB 必与圆锥 SO 的某条母线 平行 其中正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3
6、二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 132020 安徽省示范高中名校高三联考某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最 长棱的长度为_ 142020 海南中学模拟设 ， 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： a，b，a，b ， ， a，b，ab. 其中能推出 的条件是_(填上所有正确的序号) 152020 广东广州质检如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M， N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点在这个正四面体中： GH 与 EF 平行 BD 与 MN 为异面直线 GH 与 MN 成 60 角 DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正
7、确命题的序号是_ 162020惠州市高三第一次调研考试试题已知球的直径DC4，A，B是该球面上的两 点，ADCBDC 6，则三棱锥 A - BCD体积的最大值是_ 立体几何立体几何(11) 1答案：C 解析：由三视图知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等，所以 C 选项符合题意 2答案：B 解析：由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故 选 B. 3. 答案：A 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 4答案：C 解析：平面 分正方体所得两部分，经过翻转能够完全重合，所以体积相等，正确； 由题意知 FBD1E
8、，EBD1F，所以四边形 BFD1E 一定是平行四边形，正确；当 E，F 分 别为棱 AA1，CC1的中点时，平面 DBB1平面 ，错误；当 E，F 分别为棱 AA1，CC1的中 点时，四边形 BFD1E 的面积有最大值，正确故选 C. 5答案：A 解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 3251 2 4 33 363. 6答案：C 解析：对于，若 l，则 l 与 不可能平行，l 也不可能在 内，所以 l 与 相交， 正确；对于，若 m，n，lm，ln，则有可能是 l，故错误；对于，若 lm， mn，则 ln，
9、又 l，所以 n，故正确；对于，因为 m，n，所以 mn，又 lm，所以 ln，故正确，故选 C. 7答案：D 解析： 在四边形 ABCD 中， ADBC， ADAB， BCD45 ， BAD90 ， BDCD. 又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 ABD，则 CDAB.又 ADAB，ADCDD，AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故 选 D. 8答案：B 解析：记正方体为 ABCD - A1B1C1D1，如图 1，由题意及正方体的性质知，正方体 ABCD - A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面 AB1D1所成的角都相等，因此
10、不妨令平面 AB1D1为平面 . 连接 A1C1，与 B1D1交于点 O，连接 AO，A1C，设交点为 O，易证 A1O平面 AB1D1，则 点 A1，C 在平面 AB1D1上的正投影均为 O，再找出点 B，D，C1在平面 AB1D1上的正投影，即 可确定正方体 ABCD - A1B1C1D1在平面 AB1D1上的正投影由于 A1，C1关于 B1D1对称，故点 C1在平面 AB1D1上的正投影与点 O 关于 B1D1对称，如图 2，作 O 关于 B1D1的对称点 C1， 则 C1为点 C1在平面 AB1D1上的正投影同理，作 O 关于 AB1的对称点 B，则 B为点 B 在平面 AB1D1上的
11、正投影，作 O 关于 AD1的对称点 D，则 D为点 D 在平面 AB1D1上的正 投影，连接 AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA，得正六边形 ABB1C1D1D， 即正方体 ABCD - A1B1C1D1在平面 上的正投影，易求得其面积为 3.故选 B. 9答案：C 解析：如图，分别取正方体另三条棱的中点为 A，B，C，将平面 LMN 延展为平面正六边 形 AMBNCL，易知 PQAL，PRAM，且 PQ 与 PR 相交，AL 与 AM 相交，所以平面 PQR 平面 AMBNCL，即平面 LMN平面 PQR.故选 C. 10答案：C 解析： 如图，在长方体 ABCD - A1B1
12、C1D1 的一侧补上一个相同的长方体 ABBA - A1B1B1A1. 连接 B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线 AD1 与 DB1 所成的角(或其补角) 连接 DB， 由题意， 得 DB 12112 5， BB112 32 2，DB11212 32 5.在DBB1 中，由余弦定理，得 DB2BB21DB212BB1 DB1 cosDB1B， 即 54522 5cosDB1B， cosDB1B 5 5 . 故选 C. 11. 答案：B 解析：如图，在 PC 上取点 M，使得 PMPM，连接 NM，则 MNMN，AN MNANMN， 则当 A，N，M三点共线时，ANM
13、N 最小，为 AM，当 AMPC 时，AM取得 最小值，即 ANMN 的最小值 因为此时 M 恰为 PD 的中点，所以 M为 PC 的中点，连接 AC，所以 PAAC2，因此 PO PA2AO2 3. 易知外接球的球心在四棱锥内部， 设外接球的半径为 r，则 r2( 3r)21，解得 r2 3 3 ， 因此外接球的表面积 S4r216 3 .故选 B. 12. 答案：C 解析：如图，连接 OC，AO 为圆的直径，ACOC.SO 垂直于底面圆 O，AC底面 圆 O，ACSO.SOOCO，AC平面 SOC.又 SC平面 SOC，ACSC，SAC 为直角三角形，故正确由于点 D 是圆 O 上的动点，
14、平面 SAD 不能总垂直于平面 SBD， 故错误连接 DO 并延长交圆 O 于 E，连接 SE，PO，P 为 SD 的中点，O 为 DE 的中点， OPSE.又 OP平面 PAB，SE平面 PAB，SE平面 PAB，故正确故选 C. 13答案：2 3 解析： 由三视图可知，该四棱锥的直观图如图中 S - ABCD 所示，其中底面 ABCD 是边长为 3 的 正方形，顶点 S 在底面 ABCD 的射影 O 在线段 BD 上，并且DO OB 1 2，SO2，过点 O 分别作 AD，AB 的平行线，交 AB，BC 于 E，F，由三视图可知 AE1，EB2，BF2，CF1，则 AOCO 5，所以 SA
15、SC3.DO 2，OB2 2，所以 SD 6，SB2 3.综上可知，该 四棱锥的最长棱的长度为 2 3. 14答案： 解析：在条件或条件中， 还可能与 相交； 由 ，条件满足； 在中，a，abb，又 b，从而 ，满足 综上，能推出 的条件是. 15. 答案： 解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，由正四面体的性质易知 GH 与 EF 为异 面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60 角，DEMN.故正确命题的序号是. 16答案：2 解析：因为球的直径 DC4，且ADCBDC 6，所以 ACBC2，ADBD2 3， 所以 SBCD1 2BCBD 1 222 32 3，设 h 为点 A 到平面 BCD 的距离， 则 V 三棱锥A - BCD 1 3SBCDh 2 3 3 h，故当 h 最大时，三棱锥 A - BCD 的体积最大易知当平面 ADC平面 BCD 时， h 最大， 此时1 24h 1 222 3， 得 h 3， V 三棱锥A - BCD2 3 3 h2， 即三棱锥 A - BCD 体积的最大值为 2.
