1、 第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（文科）学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1 （5 分） 已知集合 2U ，1， 0， 1， 2，3， 1A ， 0，1，1B ，2， 则() ( U AB ) A 2，3 B 2，2，3 C 2，1，0，3 D 2，1，0，2， 3 2（5 分） 角的顶点为坐标原点， 始边为x轴非负半轴， 终边经过点(4, )Py， 且 3 sin 5 ， 则tan( ) A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 3 （5 分）若 3 sin() 25 ，且( 2 ，)，则sin
2、(2 )( ) A 24 25 B 12 25 C 12 25 D 24 25 4 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y，若()abc，则b在c上的投影为( ) A 10 2 B 10 5 C 10 2 D 10 5 5 （5 分）若函数( )f xkxlnx在区间(2,)单调递增，则k的取值范围是( ) A(，2 B 1 ,) 2 C2，) D 1 (, 2 6 （5 分）下列命题中错误的是( ) A “若 2 xy ，则sincosxy”的逆命题是假命题 B “在ABC中，sinsinBC是BC的充要条件”是真命题 C设平面向量, ,a b c均为非零向量
3、，则“()0a bc”是“bc”的充分不必要条件 D命题“(0,)x ，0 xlnx”的否定是“(0,)x ，0 xlnx” 7 （5 分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 8 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1(4 1) 3 n n a S ，若 4 32a ，则 1 a的值为( ) 第 2 页（共 15 页） A 1 16 B 1 8 C 1 4 D 1 2 9 （5 分）若函数 2 1 ( )2 2 f xxxalnx有两个不同的极值点，
4、则实数a的取值范围是( ) A1a B10a C1a D01a 10 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是( ) A B C D 11 （5 分） 若数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，2，则 10101011 1010 1011 ()( 1 aa f bb ) Ae B 2 e C 1 e D 9 e 12 （5 分）设函数( )fx是奇函数( )()f xxR的导函数，( 1)0f
5、，当0 x 时， ( )( )0 xfxf x已知 2 1 (log) 4 af， 1.5 (3 )bf， 1.5 (2 )cf，则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 二、填空题二、填空题 13 （5 分）已知扇形的圆心角为 6 ，面积为 3 ，则扇形的弧长为 14 （5 分）设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列已知数列 nn ab 第 3 页（共 15 页） 的前n项和 2 21(*) n n SnnnN，则dq的值是 15 （5 分） 将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度， 则平移后的图象中与y轴 最近的对称轴的方程是 16（5
6、 分） 在ABC中， 角A，B，C成等差数列 且对边分别为a，b，c， 若20BA BC ， 7b ，则ABC的内切圆的半径为 三、解答题三、解答题 17（10 分） 在ABC中， 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 向量( 3, 2sin)mB， 向量(cos ,cos2 )nBB，且/ /mn，角B为锐角 （1）求角B的大小； （2）若2b ，求ABC面积的最大值 18 （12 分）已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程( )2f xm在, 4 2 x 上有解，求实数m的取值范围 19（
7、12 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，C， 且 3 s i ns i ns i ns i nBCAB b ac （1）求角A的大小； （2） 若等差数列 n a的公差不为零， 1sin 1aA ， 且 2 a， 4 a， 8 a成等比数列； 若 1 1 n nn b a a ， 求数列 n b的前n项和 n S 20 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 21 （12 分）已知( )f xxlnx， 32 ( )2g xxaxx （1）求函数(
8、 )f x的单调区间； （2）对任意(0,)x，2 ( )( )2f xg x恒成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S( ) t， 求( )S t 第 4 页（共 15 页） 的最小值 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（文科）学年黑龙江省八校高三（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分） 已知集合 2U ，1
9、， 0， 1， 2，3， 1A ， 0，1，1B ，2， 则() ( U AB ) A 2，3 B 2，2，3 C 2，1，0，3 D 2，1，0，2， 3 【解答】解：集合 2U ，1，0，1，2，3， 1A ，0，1，1B ，2， 则 1AB ，0，1，2， 则() 2 U AB ，3， 故选：A 2（5 分） 角的顶点为坐标原点， 始边为x轴非负半轴， 终边经过点(4, )Py， 且 3 sin 5 ， 则tan( ) A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点(4, )Py，且 3 sin 5 ， 22 3 sin 5
10、 4 y y ，整理可得：3y ， 3 tan 4 y x 故选：C 3 （5 分）若 3 sin() 25 ，且( 2 ，)，则sin(2 )( ) A 24 25 B 12 25 C 12 25 D 24 25 【解答】解： 3 sin()cos 25 ，( 2 ，)， 22 34 sin11() 55 cos ， 3424 sin(2 )sin22sincos2() 5525 第 6 页（共 15 页） 故选：D 4 （5 分）已知向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y，若()abc，则b在c上的投影为( ) A 10 2 B 10 5 C 10 2 D 10 5 【解
11、答】解：向量(1,2)a ，( 2,1)b ，( , )cx y， 若()abc， ()( 1ab c ，3) (x，)30yxy ， (c 3y，) y 设b与c的夹角为，则2 315| | cos510 | cosb cyyybcy ，求得 2 cos 2| y y ， b在c上的投影为 210 | cos5 () 2 |2 y b y ， 故选：A 5 （5 分）若函数( )f xkxlnx在区间(2,)单调递增，则k的取值范围是( ) A(，2 B 1 ,) 2 C2，) D 1 (, 2 【解答】解： 1 ( )fxk x ， 函数( )f xkxlnx在区间(2,)单调递增， (
12、) 0fx 在区间(2,)上恒成立 1 k x ， 而 1 y x 在区间(2,)上单调递减， 1 2 k k的取值范围是： 1 2 ，) 故选：B 6 （5 分）下列命题中错误的是( ) 第 7 页（共 15 页） A “若 2 xy ，则sincosxy”的逆命题是假命题 B “在ABC中，sinsinBC是BC的充要条件”是真命题 C设平面向量, ,a b c均为非零向量，则“()0a bc”是“bc”的充分不必要条件 D命题“(0,)x ，0 xlnx”的否定是“(0,)x ，0 xlnx” 【解答】 解： 对于A：“若 2 xy ， 则s i nc o s xy” 的逆命题是 “若s
13、incosxy” 则 “ 2 xy ” 错误，故逆命题是假命题，故A正确； 对于B： “在ABC中，sinsin2 sin2 sinBCRBRCbcBC，故B正确； 对于C：设平面向量, ,a b c均为非零向量，当“()0a bc”时，则“bc”不成立， 当“bc”时，即0bc， 所以“()0a bc”成立， 故“()0a bc”是“bc”的必要不充分条件，故C错误； 对于D：命题“(0,)x ，0 xlnx”的否定是“(0,)x ，0 xlnx”故D正确 故选：C 7 （5 分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABA
14、C C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 1 2 EBABAEABAD 11 () 22 ABABAC 31 44 ABAC， 故选：A 8 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1(4 1) 3 n n a S ，若 4 32a ，则 1 a的值为( ) A 1 16 B 1 8 C 1 4 D 1 2 【解答】解： 1(4 1) 3 n n a S ， 4 32a ， 第 8 页（共 15 页） 4343111 43 (41)(41)(44 )32 333 aaa SS， 解得 1 1 2 a ， 故
15、选：D 9 （5 分）若函数 2 1 ( )2 2 f xxxalnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A1a B10a C1a D01a 【解答】解：( )f x的定义域是(0,)， 2 2 ( )2 axxa f xx xx ， 若函数( )f x有两个不同的极值点， 则 2 ( )2g xxxa在(0,)和x轴有 2 个不同的交点， 即方程 2 20 xxa在(0,)有 2 个不同的实数根， 故 1 440 244 0 2 a a x ，解得：01a， 故选：D 10 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是(
16、) A B 第 9 页（共 15 页） C D 【解答】解：由函数sin(0)yaxb a的图象可得01b， 2 23 a ， 2 1 3 a， 故函数log () a yxb是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b， 故选：A 11 （5 分） 若数列 n a为等差数列， n b为等比数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，2，则 10101011 1010 1011 ()( 1 aa f bb ) Ae B 2 e C 1 e D 9 e 【解答】解：数列 n a为等差数列， n b为等比
17、数列，且满足： 12020 27aa， 12020 2b b， 所以 1010101112020 1010 10111 2020 27 ()()() 1112 aaaa ffff bbbb （9） ， 函数( )f x满足(2)( )f xf x 且( ) x f xe，0 x，2， f（9）f （7）f（5）f （3）f（1）e 故选：A 12 （5 分）设函数( )fx是奇函数( )()f xxR的导函数，( 1)0f ，当0 x 时， ( )( )0 xfxf x已知 2 1 (log) 4 af， 1.5 (3 )bf， 1.5 (2 )cf，则( ) Aacb Babc Cbca D
18、cab 【解答】解：当0 x 时，( )( )0 xfxf x 2 ( )( )( ) ()0 f xxfxf x xx ， ( )f x x 在(0,)上是增函数， 又( 1)0f ，所以f（1）0， 所以当(0,1)x时，( )0f x ，当(1,)x时，( )0f x ， 2 1 (log)( 2)(2)0 4 afff 1.51.5 321， 第 10 页（共 15 页） 1.51.5 (3 )(2 )0bffc ， 故选：A 二、填空题二、填空题 13 （5 分）已知扇形的圆心角为 6 ，面积为 3 ，则扇形的弧长为 3 【解答】解： 2 1 | 2 Sr， 2 4r，2r ， 扇形
19、的弧长| 3 lr ， 故答案为： 3 14 （5 分）设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列已知数列 nn ab 的前n项和 2 21(*) n n SnnnN，则dq的值是 4 【解答】解：因为 nn ab的前n项和 2 21(*) n n SnnnN， 因为 n a是公差为d的等差数列，设首项为 1 a； n b是公比为q的等比数列，设首项为 1 b， 所以 n a的通项公式 1 (1) n aand，所以其前n项和 211 1 (1) () 222 n a n aanddd Snan ， 当 n b中，当公比1q 时，其前n项和 1 n b Snb， 所以 nn
20、ab的前n项和 22 11 ()21(*) 22 nn n nab dd SSSnannbnnnN，显然 没有出现2n，所以1q ， 则 n b的前n项和为 111 (1) 111 n nn b b qbqb S qqq ， 所以 2211 1 ()21(*) 2211 nn n n nab bqbdd SSSnannnnN qq ， 由两边对应项相等可得： 1 1 1 2 1 2 2 1 1 d d a q b q 解得：2d ， 1 0a ，2q ， 1 1b ， 第 11 页（共 15 页） 所以4dq， 故答案为：4 15 （5 分） 将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6
21、 个单位长度， 则平移后的图象中与y轴 最近的对称轴的方程是 5 24 x 【解答】解：因为函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度可得 ( )()3sin(2)3sin(2) 63412 g xf xxx ， 则( )yg x的对称轴为2 122 xk ，kZ， 即 7 242 k x ，kZ， 当0k 时， 7 24 x ， 当1k 时， 5 24 x ， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 5 24 x ， 故答案为： 5 24 x ， 16（5 分） 在ABC中， 角A，B，C成等差数列 且对边分别为a，b，c， 若20BA BC ， 7b ，则ABC的内
22、切圆的半径为 3 【解答】解：由题意得 222 2cosbacacB，且60B 即 22 492cos60acac， 又cos6020BA BCac ， 联立得 22 89ac，40ac ，可得 2 ()169ac， 故13ac，故三角形ABC的周长为13720abc 又三角形的面积为 113 sin4010 3 222 acB 设三角形ABC的内切圆半径为r，则 1 ()10 3 2 abc r， 即 1 2010 3 2 r，解得3r 三、解答题三、解答题 17（10 分） 在ABC中， 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 向量( 3, 2sin)mB， 第 12 页（共 15
23、页） 向量(cos ,cos2 )nBB，且/ /mn，角B为锐角 （1）求角B的大小； （2）若2b ，求ABC面积的最大值 【解答】解： （1）由/ /mn可得3cos22sincossin2BBBB ， 所以tan23B ， 因为B为锐角， 所以 2 2 3 B 即 3 B ， （2）由余弦定理可得， 222 1 cos 22 acb B ac ， 所以 22 42acacac，当且仅当2ac时取等号， 所以4ac， 1133 sin3 2224 ABC ac SacBac 即面积的最大值3 18 （12 分）已知函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx （1）求( )f
24、 x的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程( )2f xm在, 4 2 x 上有解，求实数m的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )2sin ()3cos2 4 f xxx 1cos(2 )3cos2 2 xx 1sin23cos2xx 2sin(2)1 3 x ， 周期;222 232 Tkxk 剟， 解得( )f x的单调递增区间为 5 ,() 1212 kkkZ （2）, 4 2 x ，所以 2 2, 363 x ， 1 sin(2) ,1 32 x ， 所以( )f x的值域为2，3 而( )2f xm，所以22m ，3，即0m，1 19（12 分） 在ABC中， 角A
25、，B，C的对边分别为a，b，C， 且 3 s i ns i ns i ns i nBCAB b ac （1）求角A的大小； 第 13 页（共 15 页） （2） 若等差数列 n a的公差不为零， 1sin 1aA ， 且 2 a， 4 a， 8 a成等比数列； 若 1 1 n nn b a a ， 求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1）由 3sinsinsinsinBCAB bac ， 根据正弦定理可得 3bcba bac ，即 222 3bcabc， 所以 222 3 cos 22 bca A bc ， 由0A，得 6 A ； （2）设 n a的公差为(0)d d ，由 1s
26、in 1aA ，即 11 1 sin1 62 aa ，得 1 2a ， 2 a， 4 a， 8 a成等比数列，可得 2 48 2aa a即 2 111 (3 )()(7 )adad ad， 又0d ，可得2d ，则2ann， 1 111 11 () 2 (22)41 n nn b a annnn ， 则 11111111 (1)()()(1) 422314144 n n s nnnn 20 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1） ：231 nn
27、 Sa 当1n 时， 11 231Sa 1 1a， 当2n时， 11 231 nn Sa 两式相减得， 1 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ， n a是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 1 3n n a ， （2） 1 1 ( ) 3 n n n n bn a ， 0121 1111 1 ( )2 ( )3 ( )( ) 3333 n n Tn ， 123 11111 1 ( )2 ( )3 ( )( ) 33333 n n Tn， 第 14 页（共 15 页） 0121 1 1 211111323 3 ( )( )3 ( )( )( ) 1 333333322 3 1
28、3 n nn n nn nn Tn ， 969 443 n n n T 21 （12 分）已知( )f xxlnx， 32 ( )2g xxaxx （1）求函数( )f x的单调区间； （2）对任意(0,)x，2 ( )( )2f xg x恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )1fxlnx， 令( )0fx得： 1 0 x e ， ( )f x的单调递减区间是 1 (0, ) e ， 令( )0fx得： 1 x e ， ( )f x的单调递增区间是 1 ( e ，)， （2） 2 ( )321g xxax，由题意 2 2321xlnxxax， 0 x ， 31 22 a lnx
29、x x 恒成立 ， 设 31 ( ) 22 x h xlnx x ， 则 22 131(1)(31) ( ) 222 xx h x xxx 令( )0h x得：1x ， 1 3 x （舍去） 当01x时，( )0h x； 当1x 时，( )0h x 当1x 时，( )h x有最大值2， 若恒成立，则2a ， 即a的取值范围是 2，) 22 （12 分）已知函数 2 ( )12f xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （） 设曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S( ) t， 求( )S t 第 15 页（共 15 页） 的最小值 【解答
30、】解： （） 2 ( )12f xx的导数( )2fxx ， 令切点为( , )m n，可得切线的斜率为22m ， 1m，12111n ， 切线的方程为213yx ； （）曲线( )yf x在点(t，( )f t处的切线的斜率为2kt ， 切线方程为 2 (12)2 ()ytt xt， 令0 x ，可得 2 12yt，令0y ，可得 16 2 xt t ， S 2 116 ( )| (12) 22 ttt t ， 由()( )StS t，可知( )S t为偶函数， 不妨设0t ，则 2 112 ( )()(12) 4 S ttt t ， 22 2 22 11443 (4)(12) ( )(324) 44 tt S tt tt ， 由( )0S t，得2t ， 当2t 时，( )0S t，( )S t递增；当02t 时，( )0S t，( )S t递减， 则( )S t在2t 和2处取得极小值，且为最小值 32， 所以( )S t的最小值为 32
