1、第第 4 讲讲 导数的综合应用导数的综合应用 专题一专题一 函数与导数函数与导数 年份年份 卷别卷别 考查内容及考题位置考查内容及考题位置 2018 卷卷 讨论函数的单调性、不等式的证明讨论函数的单调性、不等式的证明 T21 卷卷 不等式的证明、函数的零点问题不等式的证明、函数的零点问题 T21 卷卷 不等式的证明、极值点问题不等式的证明、极值点问题 T21 专题一专题一 函数与导数函数与导数 年份年份 卷别卷别 考查内容及考题位置考查内容及考题位置 2017 卷卷 利用导数研究函数的单调性、函数的零点利用导数研究函数的单调性、函数的零点 T21 卷卷 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零
2、利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零 点、不等式的证明点、不等式的证明 T21 卷卷 导数在研究函数单调性中的应用、导数在研究函数单调性中的应用、不等式放不等式放 缩缩 T21 2016 卷卷 函数的零点问题、不等式的证明函数的零点问题、不等式的证明 T21 卷卷 函数单调性函数单调性的判断、不等式证明及值域问题的判断、不等式证明及值域问题 T21 卷卷 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证三角函数的导数运算、最值问题及不等式证 明明 T21 专题一专题一 函数与导数函数与导数 命题分析命题分析 导数日益成为解决问题必不可少的工具导数日益成为解决问题必不可少的工具， 利用导数研究函利用导
3、数研究函 数的单调性与极值数的单调性与极值(最值最值)是高考的常见题型是高考的常见题型，而导数与函数、而导数与函数、 不等式、方程、数列等的交汇命题不等式、方程、数列等的交汇命题，是高是高考的热点和难点考的热点和难点 解答题的热点题型有：解答题的热点题型有： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数的单调性、极值、最值 (2)利用导数证明不等式或探讨方程的根利用导数证明不等式或探讨方程的根 (3)利用导数求解参数的范围或值利用导数求解参数的范围或值. 专题一专题一 函数与导数函数与导数 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数
4、函数与导数 典型例题典型例题 命题角度一命题角度一 根据函数零点求参数范围根据函数零点求参数范围 (2018 高考全国卷高考全国卷)已知函数已知函数 f(x)exax2. (1)若若 a1，证明：当证明：当 x0 时时，f(x)1； (2)若若 f(x)在在(0，)只有一个零点只有一个零点，求求 a. 利用导数研究函数的零点利用导数研究函数的零点(方程的根方程的根)(综合型综合型) 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 【解】【解】 (1)证明：当证明：当 a1 时时，f(x)1 等价于等价于(x21)e x 10. 设函数设函数
5、 g(x)(x21)e x 1，则则 g(x)(x22x1)e x (x 1)2e x. 当当 x1 时时，g(x)0，所以所以 g(x)在在(0，)单调递减而单调递减而 g(0) 0，故当故当 x0 时时，g(x)0，即即 f(x)1. (2)设函设函数数 h(x)1ax2e x. f(x)在在(0，)只有一个零点当且仅当只有一个零点当且仅当 h(x)在在(0，)只有一只有一 个零点个零点 ()当当 a0 时时，h(x)0，h(x)没有零点；没有零点； 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 ()当当 a0 时时，h(x)ax(x
6、2)e x.当 当 x(0，2)时时，h(x)0； 当当 x(2，)时时，h(x)0. 所以所以 h(x)在在(0，2)单调递减单调递减，在在(2，)单调递增单调递增 故故 h(2)14a e2 是是 h(x)在在0，)的最小值的最小值 若若 h(2)0，即即 ae 2 4 ，h(x)在在(0，)没有零点；没有零点； 若若 h(2)0，即即 ae 2 4 ，h(x)在在(0，)只有一个零点；只有一个零点； 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 若若 h(2)0，即即 ae 2 4 ，由于由于 h(0)1，所以所以 h(x)在在(0
7、，2)有一有一 个零点个零点 由由(1)知知，当当 x0 时时，exx2，所以所以 h(4a)116a 3 e4a 1 16a3 （e2a）2 1 16a3 （2a）4 11 a 0. 故故 h(x)在在(2， 4a)有一个零点 因此有一个零点 因此 h(x)在在(0， )有两个零点有两个零点 综上综上，f(x)在在(0，)只有一个零点时只有一个零点时，ae 2 4 . 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形数形 结合结合”，即通过函数图
8、象的交点个数确定参数满足的条件即通过函数图象的交点个数确定参数满足的条件，把把 问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上，解决问解决问 题的题的步骤是步骤是“先形后数先形后数” ” 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 命题角度二命题角度二 根据参数确定函数的零根据参数确定函数的零点个数点个数 已知函数已知函数 f(x)aln x b x (a，bR，a0)的图象在点的图象在点(1， f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为a. (1)求求 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)讨
9、论方程讨论方程 f(x)1 根的个数根的个数 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 【解解】 (1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)，f(x)a baln x x2 ， 由由 f(1)aba，得得 b2a，所以所以 f(x)a（ （ln x2） x ，f(x) a（ （ln x1） x2 . 当当 a0 时时，由由 f(x)0，得得 01 e. 当当 a0，得得 x1 e；由 ；由 f(x)0 时时，f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，1 e ，单调递减区间单调
10、递减区间 为为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e， ， ；当；当 a0， 在在? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e， ， 上上 h(x)0，当当 x 无限增无限增 大时大时，h(x)无限接近无限接近 0； 在在? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，1 e 上上， h(x)单调递增且当单调递增且当 x 无限接近无限接近 0 时时， ln x2 负无限负无限 大大，故故 h(x)负无限大负无限大 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 故当故当 01 e时 时，方程方程 f(x)1 有
11、两个不等实根有两个不等实根，当当 a1 e 时时，方程方程 f(x)1 只有一个实根只有一个实根，当当 a1 e时 时，方程方程 f(x)1 有两个实根；当有两个实根；当 a0，则当则当 x(，1)时时，f(x)0.所以所以 f(x)在在(，1)上单调递减上单调递减，在在(1，)上单调递上单调递 增增 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 又又 f(1)e，f(2)a，取取 b 满足满足 ba 2(b 2)a(b1)2a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b23 2b 0， ， 故故 f(x)存在两个零点存在两个零点
12、()设设 a0，因因 此此 f(x)在在(1，)上单调递增又当上单调递增又当 x1 时时，f(x)1.故当故当 x(1，ln(2a)时时，f(x)0.因此因此 f(x)在在(1，ln(2a)上单调上单调 递减递减，在在(ln(2a)，)上单调递增又当上单调递增又当 x1 时时，f(x)f(2x2)， 即即 f(2x2)1 时时，g(x)1 时时，g(x)0，所以所以 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时时，由由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f（ （x）0， x0， 得得 0 a a ，所所 以以 f(x)在在? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，
13、 a a 上单调递增上单调递增，在在? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a ， 上单调递减上单调递减 综上所述：当综上所述：当 a0 时时，f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，)； 当当 a0 时时，f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0， a a ，单调递减区间为单调递减区间为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a ， . 栏目栏目 导引导引 专题专题 强化训练强化训练 考点突破考点突破 专题一专题一 函数与导数函数与导数 (3)由由(2)可知可知， ()当当 a0， ，故故 f(x)在在1，e2上没有零点；上没有零点； ()当当 a0 时时，f(x)在在1，e2上单调递增上单调递增，而而 f(1)1 2a 0， 故故 f(x)在在1，e2上有一个零点；上有一个零点； ()当当 a0 时时，若若 a a 1，即即 a1 时时，f(x)在在1，e2上单调递上单调递 减减，因为因为 f(1)1 2a1 e时 时，f(x)在在1，e2上没有零点；上没有零点； 若若 f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a 1 2ln a 1 2 0，即即 a1 e时 时，f(x)在在1，e2
