1、第第8 8讲讲 一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )及其应用及其应用 第二单元第二单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 不等式的基本性质 1.(2019 安徽,9,4分)已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c0,b2-ac0 B.b0,b2-ac0 D.b0,b2-ac0 答案 D 解析 a-2b+c=0,a+2b+c0,a+c=2b,b=+ 2 ,a+2b+c=(a+c)+2b=4b0, b0,b2-ac= +
2、 2 2 -ac= 2+2+2 4 -ac= 2-2+2 4 = - 2 2 0, 即 b1. 解 去分母,得 2x-12,移项,得 2x3,系数化为 1,得 x3 2. 3.(2018 安徽,11,5 分)不等式-8 2 1 的解集是_. 答案 x10 解析 去分母,得x-82,移项,得x2+8,合并同类项,得x10. 4.(2017 安徽,5,4分)不等式4-2x0的解集在数轴上表示为( ) 答案 D 解析 解不等式4-2x0得x 0, + 1 0,其解集在数轴上表示正确 的是( ) 答案 D 解不等式x+10,得x-1. 不等式组的解集为x3. 在数轴上表示不等式组的解集为: 故选D.
3、解析 -3 0, + 1 0.解不等式 x-30,得 x3. 命题点4 一元一次不等式的应用 7.(2012 安徽,21,12分)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“满200减 100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满 400元但不足600元,少付200元乙商场按顾客购买商品的总金额打6折 促销. (1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱? (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400 x600)元,优惠后得到商 家的优惠率为 ,写出p与x之间的函数关系式,并说明p 随x的变化情况. (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在
4、甲、乙两商场的标价都是 x(200 x0.6x,即250x400时,选择乙商场购买商品花钱较少; 当x-1000.6x,即200 xb, 那么acbc . 性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即如果 ab,c0,那么 acbc 或 . 性质 3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即如果 ab,c0,那么 acbc 或 0或ax+b”或“”,那么用空心圆圈;如果不 等号是“”或“”,那么用实心圆点. 解集在数轴上的表示 xa xa xa 考点三 一元一次不等式组及其解法(低频考点) 1.定义 含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一
5、次 不等式组. 2.解一元一次不等式组的一般步骤(10年2考) (1)分别求出不等式组中每一个不等式 的解集; (2)将每一个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的公共 部 分; (3)根据公共部分写出不等式组的解集,如果没有公共部分,那么不等式组 无解 . 3.解集表示(10年2考) 不等式组 的解集情 况(假设 b a x b xa 同大取大 xb 同小取小 bx 无解 大大小小无 处找 考点四 一元一次不等式的应用(低频考点) 1.用不等式解实际问题的一般步骤(10年2考) 列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似,包括:(1)审清 题意;(2)设未知数;(3)列不等式
6、;(4)解不等式;(5)检验;(6)作答. 2.解决不等式实际应用问题时常用关键词与不等号的对比表 常用关键词 符号 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不低于、不小于、不少于 至多、不超过、不高于、不大于 考法互动研析考法互动研析 考法1 不等式的基本性质 例1(2020 贵州安顺)已知ab,下列式子不一定成立的是( ) A.a-1-2b D.mamb C.1 2a+1 1 2b+1 答案 D 解析 在不等式ab的两边同时减去1,不等号的方向不变,即a-1b-1,原变形正确, 故A选项不符合题意; 在不等式a-2b,原变形正确,故选项 B不符合题意; 在不等式amb,或ma
7、mb,或 ma=mb,原变形不正确,故D选项符合题意. 故选D. 在不等式 ab 的两边同时乘以1 2,不等号的方向不变,即 1 2a 1 2b, 再在不等式 1 2a 1 2b 的两边同时加上 1,不等号的方向不变,即1 2a+1b,则( ) A.a-1b B.b+1a C.a+1b-1 D.a-1b+1 答案 C 解析 举出反例即可判断选项A,B,D,根据 不等式的传递性即可判断选项C. a=0.5,b=0.4,ab,但是a-1b,但是b+1b,a+1b+1,b+1b-1,a+1b-1,故C选项符合题意; a=0.5,b=0.4,ab,但是a-13-1 2 . 解:去分母,得2(2x-1)
8、3x-1. (1)请完成上述解不等式的余下步骤; (2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是_(填“A”或 “B”). A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; B.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 解 (1)2x-13-1 2 , 去分母,得2(2x-1)3x-1, 去括号,得4x-23x-1, 移项,得4x-3x-1+2, 合并同类项,得x1. (2)A. 考法2解一元一次不等式 例2(2020 浙江嘉兴、舟山)不等式3(1-x)2-4x的解在数轴上表示正确的是 ( ) 答案 A 解析 去括号,得3-3x2-4x, 移项,得-3x+4x2-3,
9、合并同类项,得x-1. 方法总结 解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似,都分去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五步.注意在系数化为1时,如果 两边乘(或除以)的是同一个负数,不等号要改变方向. 对应练3(2020 浙江丽水)解不等式:5x-52(2+x). 解 5x-52(2+x),去括号,得5x-54+2x, 移项,得5x-2x4+5,合并同类项,得,3x9,系数化为1,得x3. 对应练4(2020 浙江宁波)解不等式:3x-52(2+3x). 解 3x-52(2+3x), 去括号,得3x-54+6x, 移项,得3x-6x4+5, 合并同类项,得-3x-3. 对应练5(2
10、020 内蒙古通辽)用定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定 mn=m2n-mn-3n,如:12=122-12-32=-6. (1)求(-2) ; (2)若3x-6,求x的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集. 3 解 (1)(-2) 3=(-2)2 3-(-2) 3-3 3=4 3+2 3-3 3=3 3. (2)3x-6,32x-3x-3x-6. 解得 x-2. 将解集表示在数轴上如下: 考法3解一元一次不等式组 例3(2020 四川遂宁)若关于x的不等式组 有且只有三个整数 解,则m的取值范围是_. -2 4 -1 3 , 2- 2- 答案 1m4 解析 解不等式-2 4 -2, 解不
11、等式 2x-m2-x,得 x+2 3 , 则不等式组的解集为-2x+2 3 , 不等式组有且只有三个整数解, 1+2 3 2, 解得 1m4, 方法总结 解答此类题型的关键是根据不等式组的整数解的个数求出取值 范围,用到的知识点是一元一次不等式的解法. 对应练 6(2020 山东聊城)解不等式组: 1 2 + 1 7- 3 2 , 3-2 3 3 + -4 4 . 并写出它的所有整数解. 解 1 2 + 1 7- 3 2 , 3-2 3 3 + -4 4 . 解不等式,得 x3. 解不等式,得 x-4 5. 在同一数轴上表示出不等式,的解集: 所以该不等式组的解集是-4 5x 7 + 6, -
12、1 7 + 6, -1 2.解不等式得 x5. 故原不等式组的解集是 2x -1. 解 解不等式,得x2;解不等式得x4, 所以不等式组的解集为2x8,m35, 30+8m +12(35-m)=370,m=20. (2)设一天生产废水x吨,则 当020时,12(x-20)+160+3010 x, 20x25,综上所述,15x25. 考法5一元一次不等式组的应用 例5 (2020 湖南怀化)某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20台,已知甲型平板电脑进价1 600元,售价2 000元;乙型平板电脑进价2 500 元,售价3 000元. (1)设该商店购进甲型平板电脑x台,请写出全部售出
13、后该商店获利y与x之 间的函数表达式. (2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元,全部售出所获利 润不低于8 500元,请设计出所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的 采购方案及最大利润. 解 (1)由题意得y=(2 000-1 600)x+(3 000-2 500)(20-x)=-100 x+10 000, 全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为 y=-100 x+10 000. x为正整数,x=12,13,14,15, 共有四种采购方案: 甲型电脑12台,乙型电脑8台, 甲型电脑13台,乙型电脑7台, 甲型电脑14台,乙型电脑6台, 甲型电脑15台,乙型电脑5台.
14、(2)由题意得 1 600 + 2 500(20-) 39 200, 400 + 500(20-) 8 500, 解得 12x15, y=-100 x+10 000,且-10018”为一次程序操作,若输入整数x后程序操作仅进行了两次就 停止,则x的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 由题意得 3-6 18, 3(3-6)-6 18. 解不等式得 x8, 解不等式得 x14 3 . 则 x 的取值范围是14 3 x8, x 是整数,x 的最小值是 5.故选 B. 对应练12 为了更好地保护环境,污水处理公司决定购买10台甲、乙两种型 号的污水处理设备,经调查,购买一台
15、甲型设备比购买一台乙型设备多2万 元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元. (1)求甲、乙两种型号设备每台各多少万元? (2)已知甲型设备每月处理污水240吨,乙型设备每月处理污水200吨,该地 每月需要处理的污水不低于2 040吨.若污水处理公司购买污水处理设备的 资金不超过105万元,请你为污水处理公司设计一种最省钱的购买方案. 解 (1)设甲型设备每台x万元,乙型号设备每台y万元, 答:购买甲设备每台12万元,购买乙设备每台10万元. 则 = + 2, 2 = 3-6,解得 = 12, = 10. (2)设甲型号设备 m台,则乙型号设备(10-m)台, 依题意得 240 + 20
16、0(10-) 2 040, 12 + 10(10-) 105. 解得 1m5 2, m=1或 2, 当 m=1时,此时的购买金额为:12+10 9=102(万元), 当 m=2时,此时的购买金额为:12 2+10 8=104(万元), 102”(大于号)“b,表示a量大于b量.小于的记号: ab,表示a 量小于b量.由于这对记号简洁且对称,最终为大家所接受.“”(不大 于)“”(不小于)是1734年法国数字家布盖首次应用的,“”则是近代才出现 使用的. G 关联中考关联中考 1.(2019 内蒙古赤峰)某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购 买若干个文具袋作为奖品,这种文具袋标价每个1
17、0元,请认真阅读结账时老 板与小明的对话: (1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个? (2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品 总支出不超过400元,其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通, 这次老板给予8折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支? 解 (1)设小明原计划购买文具袋x个,根据题意,得 10 x-8.5(x+1)=17, 解得x=17. 答:小明原计划购买文具袋17个. (2)设小明可购买钢笔y支,则签字笔可买(50-y)支,根据题意,得 80.8y+60.8(50-y)400-8.5(17+1), 解得y ,则y可取的最大整
18、数为4. 答:小明最多可购买4支钢笔. 35 8 2.(2019 山东聊城)某商场的运动服装专柜对A,B两种品牌的运动服分两次 采购试销后,效益可观,计划继续采购进行销售,已知这两种服装过去两次 的进货情况如下表: (1)问A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元? (2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌,商家决定采购B品牌的件数比 A品牌件数的 倍多5件,在采购总价不超过21 300元的情况下,最多能购进 多少件B品牌运动服? 第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 20 30 B品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10 200 14 400 3 2 解 (1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别是 x 元、y 元, 根据表格数据可列方程组 20 + 30 = 10 200, 30 + 40 = 14 400,解得 = 240, = 180. 答:A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元. (2)设购进 A 品牌运动服 m 件,则购进 B 品牌运动服 3 2 + 5 件, 根据题意得 240m+180 3 2 + 5 21 300,解得 m40,所以 3 2m+5 3 2 40+5=65. 答:最多能购进 65 件 B 品牌运动服.
