1、第第1515讲讲 三角形的基本概念与性质三角形的基本概念与性质 第四单元第四单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 三角形的基本性质 1.(2013 安徽,6,4分)如图,ABCD,A+E=75,则C为( ) A.60 B.65 C.75 D.80 答案 C 解析 A+E=75,EOB=A+E=75, ABCD, C=EOB=75. 命题点2 三角形中位线的相关计算 2.(2011 安徽,6,4分)如图,D是ABC内一点, BDCD,AD=
2、6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是 AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是( ) A.7 B.9 C.10 D.11 答案 D 解析 BDDC,BD=4,CD=3, BC= 2+ 2=5. E,F,G,H 分别是 AB,AC,CD,BD 的中点, HG=1 2BC=EF=2.5,EH=FG= 1 2AD=3. 四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2 (2.5+3)=11. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 三角形的分类(中频考点) 三角形 按角分类 锐角三角形 直角 三角形 钝角三角形 按边分类 三边都不相等的三角形 等腰三角形
3、底边和腰不相等的等腰 三角形 等边 三角形 考点二 三角形的基本性质(中频考点) 1.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于 第三边,两边之差小于第三边. 2.三角形内角和定理及内外角关系(10年2考) (1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180 . (2)三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ;一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角. 考点三 三角形中的重要线段(中频考点) 名称 定 义 性 质 图 形 中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 BD=DC 高线 从三角形一个顶点到它对边所在直 线的垂线段 ADBC,即 ADB=ADC=90 角平 分线 一个内角的平分线与这个
4、角的对边 相交,顶点与交点之间的线段 1=2 中位线 连接三角形两边中点的线段 DEBC,且DE= BC 1 2 考法互动研析考法互动研析 考法1 三角形的基本性质 例1 (2020 山东聊城)如图,在ABC中,AB=AC,C=65,点D是BC边上任 意一点,过点D作DFAB交AC于点E,则FEC的度数是( ) A.120 B.130 C.145 D.150 答案 B 解析 AB=AC,B=C=65. DFAB, EDC=B=65. FEC=EDC+C=65+65=130. 方法总结 在三角形中求角的度数,常利用三角形内角、外角之间的关系 以及角平分线的知识等,沟通已知和未知之间的关系,从而解
5、决问题. 对应练1(2020 山东济宁)已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形 的第三边长可以是_(写出一个即可). 答案 4(答案不唯一,第三边长大于3,小于9即可) 解析 根据三角形的三边关系,得第三边应大于6-3=3,而小于6+3=9, 故第三边的长度3x9. 故答案为4(答案不唯一,在3x9之内皆可). 对应练2(2020 浙江杭州)如图,ABCD,EF分别与AB,CD交于点B,F.若 E=30,EFC=130,则A=_. 答案 20 解析 ABCD, ABF+EFC=180. EFC=130,ABF=50. A+E=ABF=50,E=30, A=20. 考法2三角形中位线的相关
6、计算 例2(2020 浙江宁波)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为中线,延长CB至 点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为 ( ) A.2 B.2.5 C.3 D.4 答案 B 解析 在 RtABC 中,ACB=90,AC=8,BC=6, AB= 2+ 2= 82+ 62=10. 又CD 为中线,CD=1 2AB=5. F 为 DE 中点,BE=BC,即点 B 是 EC 的中点, BF 是CDE 的中位线,则 BF=1 2CD=2.5. 方法总结 三角形的中位线由一个条件得到线段间的位置和数量两个不同 的结论,用途广泛,只要是题目中有中
7、点出现,都可以考虑是不是可以用中 位线解决. 对应练3(2020 四川宜宾)如图,M,N分别是ABC的边AB,AC的中点,若 A=65,ANM=45,则B=( ) A.20 B.45 C.65 D.70 答案 D 解析 M,N分别是ABC的边AB,AC的中点,MNBC,ANM=C. ANM=45,C=45. 又A=65, B=180-A-C=180-65-45=70. 故选D. 对应练4(2020 四川内江)如图,在ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四边 形BCED=15,则SABC=( ) A.30 B.25 C.22.5 D.20 答案 D 解析 根据题意,点D和点E分别是AB和A
8、C的中点,则DEBC且DE= BC, 故ADEABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可知 SADE:SABC=14,则S四边形BCEDSABC=34,题中已知S四边形BCED,故可得 SADE=5,SABC=20. 1 2 对应练5(2020 辽宁抚顺、本溪、辽阳)如图,在ABC中,M,N分别是AB和 AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D, 若BC=4,则CD的长为_. 答案 2 解析 M,N分别是AB和AC的中点, MN是ABC的中位线, MN= BC=2,MNBC. NME=D,MNE=DCE. 点E是CN的中点,NE=CE, MNEDCE
9、(AAS). CD=MN=2. 1 2 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 海伦秦九韶公式 古希腊的几何学家海伦,在他的著作度量一书中,给出了如下公式:若 一个三角形的三边分别为 a,b,c,记 p=1 2(a+b+c),那么三角形的面积为 S= (-)(-)(-)(海伦公式).我国著名的数学家秦九韶于 1247 年在 数书九章给出了如下公式:S= 1 4 22-( 2+2-2 2 ) 2 ,其中,a,b,c 分别表 示三角形三边长,S 为三角形的面积.海伦公式和秦九韶公式实质上是同 一个公式,所以我们一般也称此公式为海伦秦九韶公式. G 关联中考关联中考 (2019 湖北宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提 出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦秦九韶公式:如果一个三 角形的三边长分别是 a,b,c,记 p=+ 2 ,那么三角形的面积为 S= (-)(-)(-).如图,在ABC 中,A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 a=5,b=6,c=7,则ABC的面积为( ) A.6 6 B.6 3 C.18 D.19 2 答案 A 解析 a=5,b=6,c=7,p=+ 2 = 5+6+7 2 =9, SABC= (-)(-)(-) = 9 (9-5) (9-6) (9-7)=6 6.故选 A.
