1、第第2121讲讲 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 第五单元第五单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 04 数学文化探索数学文化探索 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 矩形的性质与判定 1.(2017 安徽,10,4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=5,AD=3.动点 P 满足 SPAB=1 3S 矩形ABCD.则点 P 到 A,B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为( ) A. 29 B. 34 C.5 2 D. 41 答案 D 解析 设ABP中 AB边上的高是 h. SPAB=1 3S 矩
2、形ABCD,1 2AB h= 1 3AB AD.h= 2 3AD=2. 动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对 称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离. 在RtABE中, AB=5,AE=2+2=4, BE= 2+ 2= 52+ 42= 41, 即 PA+PB 的最小值为 41. 2.(2020 安徽,23,14分)如图1.已知四边形ABCD是矩形.点E在BA的延长线 上.AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BDEC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG= AG.
3、 图1 图2 2 (1)证明 四边形ABCD是矩形, BAD=EAD=90,AD=BC,ADBC, EAFDAB(SAS),E=BDA, BDA+ABD=90,E+ABD=90, EGB=90,BDEC. 在EAF 和DAB, = , = , = , (2)解 设AE=x,则EB=1+x,BC=AD=AE=x, AFBC,E=E, EAFEBC, = .又 AF=AB=1, 1+ = 1 .即 x 2-x-1=0, 解得 x1=1+ 5 2 ,x2=1- 5 2 (舍去), 即 AE=1+ 5 2 . (3)证明 在EG上截取EH=DG,连接AH. EAHDAG(SAS),EAH=DAG,AH
4、=AG. EAH+DAH=90DAG+DAH=90, GAH=90,GAH是等腰直角三角形, AH2+AG2=GH2即2AG2=GH2, GH= AG. GH=EG-EH=EG-DG, EG-DG= AG. 在EAH 和DAG 中, = , = = , 2 2 命题点2 菱形的性质与判定 3.(2015 安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD 上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( ) A.2 5 B.3 5 C.5 D.6 答案 C 解析 如图,连接 EF交 AC于点 O,根据菱形性质有 FEAC,OG=OH,易证 OA
5、=OC.由四边形 ABCD是矩形,得B=90,根据勾股定理得 AC= 42+ 82=4 5,OA=2 5,易证AOEABC, 则 = ,即 2 5 8 = 4 5,AE=5,故选 C. 命题点3 正方形的性质与判定 4.(2014 安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2 ,若直线l满足: 点D到直线l的距离为 ; A,C两点到直线l的距离相等. 则符合题意的直线l的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3 2 答案 B 解析 如图,连接 AC 与 BD 相交于 O,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2 2, OD= 2, 直线 lAC 并且到 D 的距离为 3,
6、 同理,在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件, 故共有 2 条符合题意的直线 l.故选 B. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点一 矩形的性质与判定(高频考点) 1.概念:有一个角是直角 的平行四边形是矩形. 2.性质:如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 边 对边平行 且相等 . ADBC,且AD= BC;AB CD, 且AB=CD. 角 四个角都是直 角. ABC=BCD=CDA=BAD= 90 . 对角线 对角线互相平分 且相等 . AO=OC ,OB =OD ,AC=BD . 对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形,有2 条对称轴,对称中心是 对角线
7、的交点(或点O) . 面积 S=ab .(a,b表示矩形的长和宽) 考点二 菱形的性质与判定(高频考点) 1.概念:有一组邻边相等 的平行四边形是菱形. 2.性质:如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 文字描述 几何语言表述 边 对边平行 ,四条边都相等 . ABCD ,BCAD ,且AB=CD =BC =AD . 角 对角分别相等 ,邻角互补 . BAD=BCD ,ABC=ADC , BAD+ABC=180 , BAD+ADC=180 . 对 角 线 对角线互相垂直平分 ,并且 每一条对角线平分 一组对 角. AO=OC ,BO=OD ,AC BD, AC平分BCD 和BAD
8、 , BD平分ABC 和ADC . 文字描述 几何语言表述 对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形,两条对角线 所在的直线是它 的对称轴,对角线的交点(或点O) 是它的对称中心. 面积 (1)菱形的面积等于一边与这边上高的乘积,即S=BC AE; (2)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S= AC BD. 1 2 考点三 正方形的性质与判定(高频考点) 1.概念:有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四 边形是正方形. 2.性质:如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 文字描述 几何语言表述 边 对边平行 ,四条边都相等 . ABCD ,BCAD , 且AB=CD =BC
9、 =AD . 角 四个角都是直角 . ABC=BCD=CDA=BAD=90. 对 角 线 互相垂直平分且相等,每一条 对角线平分一组对角. AO=OC ,DO=OB ,AC=BD , ACBD ,AC平分BAD 和BCD, BD平分ABC 和ADC . 考法互动研析考法互动研析 考法1矩形的性质与判定 例1 (2020 四川乐山)如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AFDE于点 F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度. 解 四边形 ABCD 是矩形,AB=3, DC=AB=3,ADC=C=90 . CE=1,DE= 2+ 2= 32+ 12= 10. AFDE,ADC=90 ,AD
10、F+DAF=90 ,ADF+EDC=90 , EDC=DAF, 在EDC 和DAF 中, = , = = 90 , EDCDAF, = ,即 10 2 = 1 , 解得 DF= 10 5 ,即 DF 的长度为 10 5 . 方法总结 1.矩形判定的一般思路 首先判定四边形是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求, 则证明其一角为90,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即 可判定其为矩形. 2.应用矩形性质计算的一般思路 (1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股 定理或三角函数求线段的长. (2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两
11、条对角线把矩形分成四个等腰三角形, 在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系. (3)矩形中出现30,60,120的角时,就会出现等边三角形和含有30角的直 角三角形,这时只要知道一条线段长就可以得到所有线段长,所有三角形的周长 以及面积. 对应练1(2020 山东枣庄)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将 ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若EAC=ECA, 则AC的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3 答案 D 解析 将ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处, AF=AB,AFE=B=90,EFAC. E
12、AC=ECA,AE=CE,AF=CF, AC=2AB=6. 对应练2(2020 四川遂宁)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段 BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:BDEFAE; (2)求证:四边形ADCF为矩形. 证明 (1)AFBC, AFE=DBE,E是线段AD的中点, AE=DE,AEF=DEB, BDEFAE(AAS). (2)BDEFAE, AF=BD.D是线段BC的中点, BD=CD,AF=CD.AFCD, 四边形ADCF是平行四边形. AB=AC,ADBC,ADC=90, 四边形ADCF为矩形. 考法2菱形的性质与判定
13、 例2(2020 新疆建设兵团)如图,四边形ABCD是平行四边形,DEBF,且分别 交对角线AC于点E,F,连接BE,DF. (1)求证:AE=CF; (2)若BE=DE,求证:四边形BFDE为菱形. 证明 (1)四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC, BCF=DAE.又DEBF, BFE=DEF,BFC=DEA. BCFDAE(AAS), CF=AE. 在BCF 和DAE 中, = , = , = , (2)由(1)得BCFDAE, BF=DE. 又BFDE, 四边形BFDE为平行四边形. 又BE=DE, 平行四边形BFDE为菱形. 方法总结 1.菱形判定的一般思路 首先判定四
14、边形是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来 判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证 明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形. 2.应用菱形性质计算的一般思路 因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定 理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合 它的对称性得出的一些结论来计算. 对应练3(2020 四川乐山)如图,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,O是对 角线BD的中点,过点O作OECD于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为 ( ) A.9+2 3 B.9+ 3 C.7+2 3 D.8
15、答案 B 解析 四边形ABCD是菱形,O是对角线BD的中点, AOBD,AD=AB=4,ABDC. BAD=120,ABD=ADB=CDB=30. OEDC, 在 RtAOD 中,AD=4,AO=4,AO=1 2AD=2,DO= 2-2=2 3. 在 RtDEO 中,OE=1 2OD= 3,DE= 2-2=3, 四边形 AOED 的周长为 AO+OE+DE+AD=2+ 3+3+4=9+ 3. 对应练4(2020 江苏无锡)如图,在菱形ABCD中,B=50,点E在CD上,若 AE=AC,则BAE=_. 答案 115 解析 四边形ABCD是菱形,B=50, ABCD,BCD=180-B=130,A
16、CE= BCD=65. AE=AC,ACE=AEC=65, BAE=180-AEC=115. 1 2 考法3正方形的性质与判定 例3(2020 山东枣庄)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两 点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是_. 答案 8 5 解析 如图,连接BD交AC于点O, 四边形ABCD为正方形,BDAC,OD=OB=OA=OC. AE=CF=2,OA-AE=OC-CF,即OE=OF, 四边形BEDF为平行四边形,且BDEF, 四边形BEDF为菱形,DE=DF=BE=BF. AC=BD=8,OE=OF=8-4 2 =2, 由勾股定理得 DE= 2+ 2=
17、42+ 22=2 5, 四边形 BEDF的周长=4DE=4 2 5=8 5. 方法总结 对于与正方形性质相关的计算问题,要合理应用其性质及由性 质得到的一些结论: (1)四角相等均为90以及四边相等. (2)对角线垂直且相等. (3)对角线平分一组对角得到45角. (4)边长与对角线的长度比为1 . 2 对应练5(2020 天津)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是 (0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标是( ) A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6) 答案 D 解析 四边形OBCD是正方形, OB=BC=CD=OD,CDO=CBO=90.
18、 O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6), OD=6,OB=BC=CD=6, C(6,6). 对应练6(2020 甘肃天水)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是 坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为_. 答案(-1,5) 解析 如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为 M,连接GE,FO交于点O, 四边形OEFG是正方形, OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH, 在OGM与EOH中, = , = , = , OGMEOH(ASA). GM=OH=2,OM=EH=3, G(-3,2), O(-1 2 , 5 2). 点 F 与点
19、O 关于点 O对称, 点 F 的坐标为(-1,5). 对应练7(2020 四川攀枝花)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是 BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论: AFDE;DG= ; HDBG; ABGDHF. 其中正确的结论有_.(请填上所有正确结论的序号) 8 5 答案 解析 四边形ABCD为正方形,ADC=BCD=90,AD=CD. E和F分别为BC和CD中点,DF=EC=2,ADFDCE(SAS). AFD=DEC,FAD=EDC. EDC+DEC=90,EDC+AFD=90, DGF=90,即DEAF,故正确; AD=4,
20、DF=1 2CD=2, AF= 42+ 22=2 5, DG=AD DF AF=4 5 5 ,故错误; H为 AF中点,HD=HF=1 2AF= 5, HDF=HFD.ABDC,HDF=HFD=BAG. AG= 2-2= 8 5 5 ,AB=4, = = 4 5 5 = , ABGDHF,故正确; ABG=DHF,而 ABAG, 则ABG和AGB不相等,故AGBDHF, 故 HD与 BG不平行,故错误.故答案为. 数学文化探索数学文化探索 S 数学文化数学文化 七巧板 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,顾名思义,是由七块板组成的.而 这七块板可拼成许多图形(1 600种以上),例如:三角形、
21、平行四边形、不规 则多边形,玩家也可以把它拼成各种人物形象、动物、桥、房、塔等等,也 可以是一些中、英文字母.七巧板是古代中国劳动人民的发明,其历史至少 可以追溯到公元前一世纪,到了明代基本定型,明、清两代在中国民间广泛 流传. 用菱形的好手蜜蜂 蜂房的底部都是由完全相同的菱形组成的.18世纪初的法国学者马拉尔迪 指出蜂房底部菱形的钝角是10928,锐角是7032.另一位法国科学家雷 奥米尔作出一个猜想,他认为用这样的角度来建造蜂房,在相同的容积下最 节省材料.后来雷奥米尔向一位瑞士数学家柯尼希请教结果证实了其猜测, 但计算的结果与猜想的数值却有两分之差.颇具戏剧性的是,1743年,苏格 兰数
22、学家马克劳林用初等几何方法证得最省材料的蜂房底部菱形的钝角 是10928,锐角是7032,与猜想值完全相同.那两分的误差,竟然不是蜜 蜂不准,而是数学家柯尼希算错了.于是“蜜蜂正确而数学家错误”的说法便 不胫而走.后来才发现也不是柯尼希的错,原来是他所用的对数表印错了. G 关联中考关联中考 1.(2020 江苏常州)数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思 想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD 中,AB=2,DAB=120.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正 半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是_. 答案 (2, 3) 解析 四边形 ABCD
23、 为菱形,AB=2, AD=AB=CD=2,ABCD. DAB=120 ,DAO=60 ,在 RtDOA 中,sin 60 = = 3 2 ,OD= 3, 点 C 的坐标是(2, 3). 2.(2019 江苏苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有 趣的图形,被誉为“东方魔板”.图是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块 制作成的“七巧板”,图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形,该“七巧板” 中7块图形之一的正方形边长为_ cm(结果保留根号). 图 图 答案 5 2 2 解析 如图,由题意可知正方形 ABCD 的边长 AB=10 cm,AOB 是等腰直 角三角形,AO=B
24、O=5 2.BEF 是等腰直角三角形,BE=EF. 四边形 OEFG 是正方形, OE=EF=BE, OE=1 2BO= 5 2 2 . 3.(2020 湖北孝感)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间 是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的,人 们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影 部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,大正方形的边长为m,小正方形的边 长为n,若S1=S2,则 的值为_. 图1 图2 1 2 答案 3-1 2 解析 如图,由题意得AC=m,BD=n,AB=CD,ABC是直 角三角形,且m,n均为正数, 则大正
25、方形的面积为AC2=m2,小正方形的面积为 BD2=n2.设AB=CD=a(a0), 则 S1=4SRtABD+n2=4 1 2AB BD=n 2=2an+n2,S2=4SACD=4 1 2CD AB=2a 2. S1=S2,2an+n2=2a2.又S1+S2=m2,即 2S2=m2,4a2=m2, 解得 a= 2 或 a=- 2 (不符题意,舍去).将 a= 2 代入 2an+n2=2a2得 mn+n2= 2 2 , 两边同除以 2 2 得 2 +2( ) 2=1.令 =x0,则 2x+2x 2=1, 解得 x= 3-1 2 或 x=- 3-1 2 0(不符题意,舍去),即 的值为 3-1 2 .
