1、 1 平面直角坐标系全章复习与巩固平面直角坐标系全章复习与巩固( (提高提高) )知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写 出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进 而培养数形结合的数学思想 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、有序数对要点一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在
2、生产生活中经常以有序 数对为工具表达一个确定的意思， 如某人记录某个月不确定周期的零散收入， 可用(13， 2000)， (17， 190)， (21，330)，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位， 如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位 号. 要点二、平面直角坐标系要点二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 2 要点诠释：要点诠释： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限， 这六个区
3、域中，除了 x 轴与 y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关 系，这样就将形与数联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： x 轴上的点纵坐标为零；y 轴上的点横坐标为零 平行于 x 轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于 y 轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等 关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数 象限角平分线上的点的
4、坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 注：反之亦成立 （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： 坐标平面内点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|，到 y 轴的距离为|x| x 轴上两点 A(x1，0)、B(x2，0)的距离为 AB=|x1 - x2|； y 轴上两点 C(0，y1)、D(0，y2)的距离为 CD=|y1 - y2| 平行于 x 轴的直线上两点 A(x1，y)、B(x2，y)的距离为 AB=|x1 - x2|； 平行于 y 轴的直线上两点 C(x，y1)、D(x，y2)的距离为 CD=|y1 - y2| （5）
5、利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补 要点三要点三、坐标方法的简单应用坐标方法的简单应用 1 1用坐标表示地理位置用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 要点诠释：要点诠释： (1)我们习惯选取向东、向北分别为 x 轴、y 轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的 位置 (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度 2 2用坐标表示平移用坐标表示平移 (1)(
6、1)点的平移点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移 a 个单位长度，可以 得到对应点(x+a， y)(或(x-a， y)； 将点(x， y)向上(或下)平移 b 个单位长度， 可以得到对应点(x， y+b)(或 (x，y-b) 要点诠释：要点诠释： 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换 (2)(2)图形的平移图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数 a，相应 的新图形就是把
7、原图形向上(或向下)平移 a 个单位长度 要点诠释：要点诠释： 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的 坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循： “右加左减，纵不变；上 3 加下减，横不变” 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、有序数对有序数对 1(巴中)如图所示，用点 A(3，1)表示放置 3 个胡萝卜、1 棵青菜，用点 B(2，3)表示放置 2 个胡萝卜，3 棵青菜 (1)请你写出点 C、D、E、F 所表示的意义； (2)若一只兔子从点 A 到达点 B(顺着方格线走)，有以下几条路线可以选择：ACDB；A
8、 EDB；AEFB，问走哪条路吃到的胡萝卜最多?走哪条路吃到的青菜最多? 【思路点拨】 （1）根据问题的“约定”先写出坐标，再回答其实际意义；(2)通过比较三条线路吃胡 萝卜、青菜的多少回答问题 【答案与解析】 解：(1)因为点 A(3，1)表示放置 3 个胡萝卜、1 棵青菜，点 B(2，3)表示放置 2 个胡萝卜、3 棵青菜， 可得： 点 C 的坐标是(2，1)，它表示放置 2 个胡萝卜、1 棵青菜； 点 D 的坐标是(2，2)，它表示放置 2 个胡萝卜、2 棵青菜； 点 E 的坐标是(3，2)，它表示放置 3 个胡萝卜、2 棵青菜； 点 F 的坐标是(3，3)，它表示放置 3 个胡萝卜、3
9、 棵青菜 (2)若兔子走路线ACDB，则可以吃到的胡萝卜共有 3+2+2+29(个)，吃到的青菜共有 1+1+2+37(棵)； 走路线AEDB，则可以吃到的胡萝卜共有 3+3+2+210(个)，吃到的青菜共有 1+2+2+3 8(棵)； 走路线AEFB，则可以吃到的胡萝卜共有 3+3+3+211(个)，吃到的青菜共有 1+2+3+3 9(棵)； 由此可知，走第条路线吃到的胡萝卜和青菜都最多 【总结升华】由点 A（3，1） ，点 B（2，3）表示的意义及已确定平面直角坐标系，可知坐标系中 x 轴 表示胡萝卜的数量，y 轴表示青菜的数量 类型二类型二、平面直角坐平面直角坐标系标系 2. (1)若点
10、(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值 (2)已知两点 A(-3，m)，B(n，4)，若 ABx 轴，求 m 的值，并确定 n 的范围 (3)点 P 到 x 轴和 y 轴的距离分别是 3 和 4，求 P 点的坐标 【思路点拨】 (1)中在一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；(2)与 x 轴平行的直线 上的点的纵坐标相等；(3)中的点 P 有多个 【答案与解析】 解：(1)因为点(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，所以 5-aa-3，所以 a4 (2)因为 ABx 轴，所以 m4，因为 A、B 两点不重合，所以 n-3 (3)设 P 点的坐标为(x，y)
11、，由已知条件得|y|3，|x|4，所以 y3，x4，所以 P 点的 坐标为(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3) 4 【总结升华】抓住平面直角坐标系中点的特征和点的特征的意义是解决此类问题的关键 【高清课堂：【高清课堂：平面直角坐标系单元复习平面直角坐标系单元复习 2 2（4 4） （） （5 5） 】 举一反三：举一反三： 【变式】已知，点 P（-m，m-1） ，试根据下列条件： （1）若点 P 在过 A（2，-4） ，且与x轴平行的直线上，则 m= ，点 P 的坐标为 （2） 若点 P 在过 A （2， -4） ， 且与y轴平行的直线上， 则m= ， 点 P 的坐标为 【答
12、案】（1）-3，（3,-4）; （2）-2，（2，-3）. 3. (德阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“”方向排列， 如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标为 _ 【答案】(14，8) 【解析】从特殊情形出发：横坐标为 1 的整数点有 1 个，横坐标为 2 的整数点有 2 个，横坐标为 3 的整数点有 3 个，依次类似，横坐标为 n 的整数总共有 n 个故共有 1+2+3+4+n 1 2 n(n+1)个，由 题意分析推测： 当横坐标为 14 即 n14 时，共有 1 2 14(14+1
13、)105； 当横坐标为 13 即 n13 时，共有 1 2 13(13+1)91； 故第 100 个点的横坐标为 14，而横坐标为 14 的点共有 14 个，按“”向上方向，故纵坐标 13-5 8 【总结升华】当我们面临的数学问题比较抽象而无法下手时，可以从个别的、特殊的情形入手，通过 对特例的分析、思考寻找解题的途径，这种思考问题的方法值得学习和借鉴 举一反三：举一反三： 【变式】(杭州)某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植 在(,) kkk P xy处，其中 x11，y11， 当 k2 时， 1 1 12 1 5, 55 12 , 55 kk kk
14、 kk xx kk yy a表示非负实数 a 的整数部分，例如2.62， 0.20按此方案，第 2009 棵树种植点的坐标为( ). A(5，2009) B(6，2010) C(3，401) D(4，402) 【答案】D. 类型三类型三、坐标方法的简单应用坐标方法的简单应用 5 4.如图所示，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2，-2)，B(1，2)，C(-2，-1)求三角形 ABC 的面积 【思路点拨】观察三角形 ABC 的三边都不与坐标轴平行，此时可构造一个过三角形三个顶点的正方 形 ADEF用正方形 ADEF 的面积，减去三角形 ABD，三角形 BCE，三角形 ACF 的面积即得
15、三角形 ABC 的面积 【答案与解析】 解：过点 A，C 分别作平行于 y 轴的直线，过点 A，B 分别作平行于 x 轴的直线，它们的交点为 D，E， F，得到正方形 ADEF，则该正方形的面积为 4416 三角形 ABD、三角形 BCE、三角形 ACF 的面积分别是： 1 1 42 2 ， 1 3 34.5 2 ， 1 1 42 2 所以三角形 ABC 的面积为 16-2-4.5-27.5 【总结升华】本例通过图形的转化，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题点的坐标 能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分广泛 【高清课堂：【高清课堂：平面直角坐标
16、系单元复习平面直角坐标系单元复习 9 9】 举一反三：举一反三： 【变式】如果点1,0A ，3,0B，点 C 在 y 轴上，且ABC 的面积是 4，求 C 点坐标 【答案】 解：ABC 的底 AB 的长为：3( 1)4 ， 则高为： 4 2 2 4 ，即点 C 的纵坐标为2， 又点 C 在 y 轴上，所以点 C 的坐标为（0，2）或（0,2） 5. (上海)如图所示，在直角坐标平面内，线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，且 AB2，如果将 线段 AB 沿 y 轴翻折，点 A 落在 C 处，那么 C 的横坐标是_ 【答案】-2. 【解析】将线段 AB 沿 y 轴翻折以后，点 A 与点 C 关
17、于 y 轴对称，则两点的横坐标互为相反数，点 A 6 的横坐标为 2，则点 C 的横坐标为-2 【总结升华】考查平面直角坐标系内图形与坐标的关系以及轴对称的性质 类型四类型四、综合应用综合应用 6.（北京）（北京） （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 1 3 ，再把所得数对应的 点向右平移 1 个单位，得到点P的对应点 P .点AB，在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得 到线段A B ，其中点AB，的对应点分别为AB，如图 1，若点A表示的数是3，则点 A 表示的数 是 ；若点 B 表示的数是 2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后 得到的对应
18、点 E 与点E重合，则点E表示的数是 ； （2）如图 2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点 的横、 纵坐标都乘以同一种实数a， 将得到的点先向右平移m个单位， 再向上平移n个单位 （00mn，） ， 得到正方形A B C D 及其内部的点， 其中点AB，的对应点分别为AB，.已知正方形ABCD内部的一个点 F经过上述操作后得到的对应点 F 与点F重合，求点F的坐标. 【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B 表示的 数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据
19、题意列出方程计算即 可得解： 点 A：3 1 3 +1=1+1=0. 设点 B 表示的数为 a，则 1 3 a+1=2，解得 a=3. 设点 E 表示的数为 b，则 1 3 b+1=b，解得 b= 3 2 . （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后 设点 F 的坐标为（x，y） ，根据平移规律列出方程组求解即可. 【答案与解析】 7 【总结升华】 根据题目规定， 以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A， 设点 B 表示的数为 a， 根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解. 举一反三：举一反三： 【变式】 把点 P1(m， n)向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度到一个位置 P2后坐标为 P2 (a， b)，则 m，n，a，b 之间存在的关系是_. 【答案】3am，2bn.
