1、 1 实数（实数（提高提高） 撰稿：康红梅 责编：吴婷婷 【学习目标】【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】【要点梳理】 【高清课堂：【高清课堂：389317 389317 立方根立方根、实数，知识要点】实数，知识要点】 要要点一、有理数与无理数点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表 示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如： 1.3
2、13113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5. 要要点二、实数点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.1.实数的分类实数的分类 按定义分： 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 按与 0 的大小关系分： 实数0 正有理数 正数 正无理数 负有理数 负数 负无理数 2.2.实数与数轴上的点一一对应实数与数轴上的点一一对应. . 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要要点三、实数大小的比较点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于 0，负实数
3、小于 0，两个负数，绝对值大的反而小. 要要点四、实数的运算点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0） 、乘方运算，而 且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运 算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】【典型例题】 类型一、实数概念类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内： 3 2， 1 4 ，7， 5 2 ，2， 20 3 ，5， 3 8， 4 9 ，0，0.3737737773（相邻两个 3 2 之间 7 的个数逐次增加
4、 1） 【答案与解析】【答案与解析】 有理数有： 1 4 ， 5 2 ， 3 8， 4 9 ，0， 无理数有： 3 2，7， 2， 20 3 ，5， 0.3737737773 【总结升华】【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773带有 根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 3 2，7， 2， 20 3 ，5. 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：389317 389317 立方根立方根 实数实数 ，例，例 1 1】 【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “” ，错
5、的记“”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】【答案】 (1)()无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002这类的数也是无理数. (2)()无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数. (3)()无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数. (4
6、)()0 是有理数. (5)()如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)()如，虽然带根号，但9，这是有理数. (7)()有理数还包括无限循环小数. (8)()有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数 可以用有限小数和无限小数表示. 类型二、实数大小的比较类型二、实数大小的比较 2、比较20101与19491的大小 【思路点拨】【思路点拨】根据ab，bc，则ac来比较两个实数的大小 有理数集合 无理数集合 3 【答案与解析】【答案与解析】 解：因为201012025 145 144 ，194911849143 144 所以20101194
7、91 【总结升华】【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：389317 389317 立方根立方根 实数实数 ，例，例 2 2】 【变式】已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，试化简： | | xz xyyzxz xz 【答案】【答案】由图知0 xy，0z ，0 xz 0 xy，0yz，0 xz，0 xz | | xz xyyzxz xz () ()()()1 xz xyyzxz xz 类型三、实数的运算类型三、实数的运算 3、求 323 mm的值 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）
8、当m0 时， 2 mm， 33 mm， 所以 323 2mmmmm （2）当m0 时， 2 mm， 33 mm， 所以 323 0mmmm 即 323 mm值为 0 或 2m 【总结升华】【总结升华】 本题是涉及平方根 （算术平方根） 和立方根的综合运算， 但还应注意本题需要分类讨论 要 注意对m的讨论，而开立方不需要讨论符号 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：389317 389317 立方根立方根 实数实数 ，例，例 3 3】 【变式】若a的两个平方根是方程322xy的一组解 （1）求a的值； （2）求 2 a的算术平方根 【答案】【答案】 4 解： （1） a的平方根是322
9、xy的一组解，则设a的平方根为 1 a， 2 a， 则根据题意得： 12 12 322, 0, aa aa 解得 1 2 2, 2. a a a为 2 ( 2)4 （2） 22 416a 2 a的算术平方根为 4 类型四、实数的综合运用类型四、实数的综合运用 【高清课堂：【高清课堂：389317 389317 立方根立方根 实数实数 ，例，例 4 4】 4、已知 2 (21)30abb，且 3 4c ，求 333 abc的值 【答案与解析】【答案与解析】 解： 2 (21)30abb，且 2 (21)0ab，30b 2 (21)0,30abb且，即210ab ，30b 解得 b3，a5， 3
10、4c 得c64 3333333 53642166abc 【总结升华】【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210ab ，30b 可求a、b， 又 3 4c ，所以c64，则 333 abc 可求 举一反三：举一反三： 【变式】已知 2 2 3|9| 0 (3) xyx x ，求 x y 的值 【答案】【答案】 解：知条件得 2 30 90 30 xy x x ， 由得 2 9x ，3x， 30 x ， 3x，则3x 把3x 代入得330y，y1 3 3 1 x y 5 5、如图所示：在平行四边形 ABCO 中，点 A、C 的坐标分别是( 5, 5)A，(2 5,0)C （1）写
11、出点 B 的坐标； （2）将平行四边形 ABCO 向左平移5个单位长度，求所得平行四边形ABCO 四个顶点的坐标； （3）求平行四边形 ABCO 的面积 【思路点拨】【思路点拨】 （1） 由 C 点坐标可知 2 5OC ， 由于 ABOC， 所以 B 点坐标是纵坐标与 A 点坐标相同， 横坐标即将 A 点坐标右移2 5 （2）平行四边形向左平移 5 个单位后，四个顶点的纵坐标不变，横坐标 分别减去 5 （3）平行四边形的面积用 OC 为底边，A 点或 B 点的纵坐标为高来求的 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）(3 5, 5)B （2） 将四个顶点( 5, 5)A、(3 5, 5)B、(0,0)O、(2 5,0)C的横坐标分别减去5得：(0, 5) A ， (2 5, 5) B 、( 5,0) C 、(5,0)O （3）|2 5510 AABCO SOCy 平行四边形 【总结升华】【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五 种运算同有理数一样.
