1、 1 平行线及其判定平行线及其判定（提高提高）知识讲解）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜 【学习目标】【学习目标】 1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法” ，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、平行线的定义及平行线的定义及画法画法 1 1定义：定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线 a 与 b 平行，记作 ab 要点诠释：要点诠释： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不
2、可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它 们就平行 (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种特别地，重合的直线视为一条直线， 不属于上述任何一种位置关系 2.平行线的画法：平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： 落：用三角板的一条直角边与已知直线重合. 靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边. 推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. 画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、要点二、平行公理及推论平行公理及推论 1 1平行平行公理：公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直
3、线平行 2 2推论：推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 要点诠释：要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点” ，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质 (2)公理中“有”说明存在； “只有”说明唯一 （3） “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、要点三、直线平行的判直线平行的判定定 判定方法判定方法 1 1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 2 32 ABCD（同位角相等，两直线平行） 判定方法判定方法 2 2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 判定方法判定方法 3 3：同旁内角互补，
4、两直线平行.如上图，几何语言： 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、平行线的定义及表示平行线的定义及表示 1下列说法正确的是 ( ) A不相交的两条线段是平行线. B不相交的两条直线是平行线. C不相交的两条射线是平行线. D在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语： “同一平面内” ， “不相交” ， “两条直线”. 【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断 类型二、类型二、平平行公理及推论行公
5、理及推论 2在同一平面内，下列说法： （1）过两点有且只有一条直线； （2）两条直线有且只有一个公共 点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中 正确的个数为：( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【解析】正确的是： （1）(3). 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对 不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别 举一反三：举一反三： 【变式】下列说法正确的个数是 ( ) （1）直线 a、b、c、d，如果 ab、cb、cd，则 ad. （2）两条直线被
6、第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等. （4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 A1 个 B .2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 类型三类型三、两直线平行的判两直线平行的判定定 3. 如图，给出下列四个条件： （1）ACBD； （2）DACBCA； （3）ABDCDB； （4） ADBCBD,其中能使 ADBC 的条件有 （ ）. A （1） （2） B （3） （4） C （2） （4） D （1） （3） （4） 3 【思路点拨】欲证 ADBC，在图中发现 AD、BC 被一直线所截，故可按同位角相等、内错角
7、相等、同 旁内角互补，两直线平行补充条件 【答案】C 【解析】从分解图形入手，即寻找 AD、BC 的截线. 【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件 成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止 举一反三：举一反三： 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角 度可能是( ) A第一次向左拐 30，第二次向右拐 30 B第一次向右拐 50，第二次向左拐 130 C第一次向右拐 50，第二次向右拐 130 D第一次向左拐 50，第二次向左拐 130 【答案】A 提示： “方向相同”有两层含义，即路线平行
8、且方向相同，在此基础上准确画出示意图 图 B 显然不同向，因为路线不平行 图 C 中，1180-13050，路线平行但不同向 图 D 中，1180-13050，路线平行但不同向 只有图 A 路线平行且同向，故应选 A 4. 如图所示，已知B25，BCD45，CDE30，E10试说明 ABEF 的理由 【思路点拨】利用辅助线把 AB、EF 联系起来 【答案与解析】 解法解法 1 1：如图所示，在BCD 的内部作BCM25，在CDE 的内部作EDN10 4 B25，E10(已知)， BBCM，EEDN(等量代换) ABCM，EFDN(内错角相等，两直线平行) 又 BCD45，CDE30(已知)，
9、DCM20，CDN20(等式性质) DCMCDN(等量代换) CMDN(内错角相等，两直线平行) ABCM，EFDN(已证)， ABEF(平行线的传递性) 解法解法 2 2：如图所示，分别向两方延长线段 CD 交 EF 于 M 点、交 AB 于 N 点 BCD45， NCB135 B25， CNB180-NCB-B20(三角形的内角和等于 180) 又 CDE30， EDM150 又 E10， EMD180-EDM-E20(三角形的内角和等于 180) CNBEMD(等量代换) 所以 ABEF(内错角相等，两直线平行) 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件
10、来灵活选取 举一反三：举一反三： 【高清课堂：高清课堂：平行线及判定平行线及判定403102经典例题经典例题 2 2 】 【变式 1】已知，如图，BE 平分 ABD，DE 平分 CDB，且 1 与 2 互余，试判断直线 AB、CD 的位置 关系，请说明理由 【答案】 解：ABCD，理由如下： BE 平分ABD，DE 平分CDB， ABD21，CDB22 又 1+290， ABD+CDB180 ABCD(同旁内角互补，两直线平行) 5 【高清课堂：高清课堂：平行线及判定平行线及判定403102 经典例题经典例题 4 4 】 【变式 2】已知，如图，ABBD 于 B，CDBD 于 D，1+2=180，求证：CD/EF 【答案】 证明：ABBD 于 B，CDBD 于 D， ABCD 又1+2=180， ABEF CD/EF
