1、 高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平 行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标
2、准分为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部 分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台 ABCDABCD 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧 棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半 径
3、垂直；侧面展开图是一个矩形。 5、圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图 是一个扇形。 6、圆台、圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部 分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶 点、轴 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与
4、平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱 （4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底
5、面周长，h 为高， h 为斜高，l 为 母线） chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS)( 圆台侧面积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VS hr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRR h 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球= 3 4 3 R ； S 球面= 2 4 R 第二章 点、直线、平面
6、之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 平面：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 在 此平面内。 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 只有一条过改点的公共直线 线线关系：1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、
7、空间这个性质都 适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据 线面位置关系 （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 4、面面关系 平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行判定 共面直线 =ac 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行，符号表示： 作用：直线与平面的判定定理 2、面面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平 行，
8、 作用：证面面平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 1、线面垂直 定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 作用：证线面垂直 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的 垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂 直性质易得垂线。 2、面面垂直 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 作用：证面面垂直 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的平面角：以二面角
9、的棱上任意一点为顶点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面 角。 （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直； 反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 （5）求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 3、垂直关系的性质定理 线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 直线平行。 面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，
10、那么在一个平面内 垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此， 倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 tank 。斜率反映直线与轴的倾 斜程度。 当 90,0 时， 0k ； 当 180,90 时， 0k ； 当 90 时， k不存在。 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx
11、 xx yy k 注意：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 为 90； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线 上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2 直线的方程 点斜式： )( 11 xxkyy 直线斜率 k，且过点 11, y x 注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用 点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bkxy ，直线斜率为 k，直线在 y
12、 轴上的截距为 b 两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy ）直线两点 11, y x ， 22,y x 截矩式： 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0) a ,与 y轴交于点(0, )b ,即l与x轴、 y轴的截距 分别为 , a b。 一般式： 0CByAx （A，B 不全为 0） 注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线： by （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： ax （a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线 0 000 CyBxA （ 00,B A 是不全
13、为 0 的常数）的直线 系： 0 00 CyBxA （C 为常数） （二）过定点的直线系 （）斜率为 k 的直线系： 00 xxkyy ，直线过定点 00, y x ； （）过两条直线 0: 1111 CyBxAl ， 0: 2222 CyBxAl 的交点的直 线系方程为 0 222111 CyBxACyBxA （为参数），其中直线 2 l 不在直线系 中。 （6）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl ， 222 :bxkyl 时， 212121 ,/bbkkll ； 1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 3.3 直线的交点坐标与距离公式
14、1、两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl 相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21/l l ； 方程组有无数解 1 l 与 2 l 重合 2、两点间距离公式：设 1122 (,),A x yB xy，（） 是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121 |()()ABxxyy 3、点到直线距离公式：一点 00,y xP 到直线 0: 1 CByAxl 的距离 22 00 BA CByAx d 4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 第四章 圆与方程 4.1
15、 圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点 为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程 2 22 rbyax ，圆心 ba, ，半径为 r； （2）一般方程 0 22 FEyDxyx 当 04 22 FED 时，方程表示圆，此时圆心为 2 , 2 ED ，半径为 FEDr4 2 1 22 当 04 22 FED 时，表示一个点； 当 04 22 FED 时，方程不 表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条 件，若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外
16、要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来 确定圆心的位置。 4.2 直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列 两种方法判断： （1）设直线 0:CByAxl ，圆 2 22 :rbyaxC ，圆心 baC, 到 l 的距离为 22 BA CBbAa d ，则有 相离与Clrd ； 相切与Clrd ； 相交与Clrd （2）设直线 0:CByAxl ，圆 2 22 :rbyaxC ，先将方程联立消 元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 相离与Cl0 ； 相切与Cl0 ； 相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
17、2 00 ryyxx 去解直线与圆相 切的问题，其中 00, y x 表示切点坐标，r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程： 圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之 间的大小比较来确定。 设圆 2 2 1 2 11: rbyaxC ， 2 2 2 2 22: RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大 小
18、比较来确定。 当 rRd 时两圆外离，此时有公切线四条； 当 rRd 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一 条； 当 rRdrR 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切 线； 当 rRd 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 rRd 时，两圆内含； 当 0d 时，为同心圆。 4.3 空间直角坐标系 （1）定义：如图， , OBCDD ABC 是单位正方体.以 A 为原点， 分别以 OD,O , A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3
19、）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 （2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形 成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指 指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。 （3）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组( , , ) x y z 来 表示，有序实数组( , , ) x y z 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作 ( , , )M x y z （x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做 点 M 的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式： 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxxd
