1、 1 16.1.116.1.1 二次根式二次根式 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1.内容 二次根式的概念. 2.内容解析 在 “有理数” 一章中， 学生感受了数系扩充 （数集的扩大、 运算的拓展、 运算律的保持） 的基本思想.在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法，借助2， 的几何表示以及用有理数逼近2等方法，学生对实数的概念有了初步体会.这些都为本 章学习打下了基础.二次根式作为一类特殊实数的一般形式， 为学生进一步理解实数概念及 运算提供了载体.同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的 延续，又为理解代数符号体系及其运算提供了素材.因此，
2、如何使学生在本章的学习中进一 步体会代数学的基本思想和基本方法，是本章要考虑的一个核心问题. 本章是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念、性质和运算.二次根式是表示非 负数(包括具体的数和表示数的字母)的算术平方根的一类式子， 从平方根的意义出发， 得到 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， 而且二次根式的值是非负数， 这就是二次根式 的双重非负性. 本节课的教学重点:从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 1.目标 (1)根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由. (2)能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系
3、. 2.目标解析 目标(1) 要求学生能从具体数的算术平方根出发， 通过字母表示数， 把算术平方根的概 念推广到被开方数含有字母的情况，并根据算术平方根的概念得到二次根式的概念.能根据 算术平方根的意义得出二次根式的被开方数和值都为非负数这个结论.从函数的观点看，前 者与定义域有关，后者与值域有关. 目标(2)要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题中的二次根 式. 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 由于学生有学习整式、 分式的概念和性质的经验， 其研究的步骤和方法可以迁移到二次 根式的学习中，这不仅有利于本节课的学习，同样有利于本章其他内容的学习.算术平方根 主要涉
4、及到具体数的开平方、 而二次根式包含了对含字母的式子进行开平方运算， 比具体数 的开平方运算更抽象.由于被开方数含有字母，在研究这类式子时，就往往需要考虑二次根 式有意义的条件，即字母的取值范围，这是本节课的难点. 四、教学过程设计四、教学过程设计 1.复习引入 在七年级下册我们已经学习过了平方根和算术平方根， 知道了平方根和算术平方根有意 义的条件、 算术平方根的双重非负性以及它俩之间的联系和区别， 通过复习平方根和算术平 方根从而引导出二次根式. 如果 2 xa,那么x称为a的平方根,用a表示 2 如果 2 (0)xa x,那么x称为a的算术平方根,用a表示 负数没有平方根.因此,在实数范
5、围内开平方时，a的被开方数0a 设计意图:回顾已学知识，为引出二次根式作铺垫. 2.探究新知 问题 1 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点 （1）面积为 3 的正方形海报的边长为_；若面积为 S，则边长为_ （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍、面积为 130 2 m，则它的宽为_m. （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 2 5ht，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_ 师生活动:学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和 评价.关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的
6、式子表示算术平方根的抽象， 渗透了从具体到抽象，从特殊到一般的思想方法. 追问 1 第(1) (2)题中得到3, 65s，的依据是什么?它们有什么区别和联系? 师生活动:由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是365，分别表示具体数 3， 65 的算术平方根，s是字母s表示的字母的算术平方根;联系是都表示非负数的算术平方 根. 追问 2 第(3)题中，当 h 的值分别为 10, 15, 25 时，得到的结果分别是什么? 5 h 表 示的数怎样变化? 师生活动:学生回答.教师指出:含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新 一类式子. 设计意图:为概括二次根式的概念提供具体例子， 同时发
7、展符号意识.通过追问， 让学生 回顾算术平方根的概念， 再次体会字母表示的数可以进行开平方运算， 体会字母表示数的一 般性和简约性. 3.抽象概括，形成概念 问题 2 上面得到的式子3, 65, 5 h s，有什么共同特征？ 师生活动:教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义. 追问 1 4, 0 的算术平方根分别是什么? -4 有没有算术平方根? 3 追问 2 在二次根式的定义中，为什么要有条件“a0? 师生活动:教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被 开方数非负”. 设计意图:采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念. 4. 典例探究，应用巩
8、固 例 1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 132 2 6 312 4(0)m m 5( ,)xy x y异号 2 61a 3 75 师生活动:教师引导学生逐题分析，分析每个题是否满足二次根式的外貌特征和内在特 征，从而确定哪些是二次根式，哪些不是二次根式. 例 2 当x是怎样的实数时，2x在实数范围内有意义? 师生活动:教师可以通过问题 “2x表示的意义是什么?被开方数是什么?你能根据二 次根式的概念得到答案吗?”引导学生从概念出发思考问题. 设计意图:通过例 1、例 2,让学生对二次根式的概念理解透彻. 【变式题】求使下列各式有意义的x的取值范围 1232xx xx222 1 3
9、1 y x 1 1 4 x x 2 12 5 x x 师生活动:先让学生独立思考并点五位同学上黑板分别完成（1）-（5）小题，教师 在课堂巡视其他同学的做法并对做错的同学进行辅导， 上黑板的五位同学完成后教师分别对 五位同学的做法进行点评. 设计意图:强化对二次根式的概念，并联系分式的分母不能为 0，让学生对所学知识点 能够综合. 问题 3 当x是怎样的实数时， 2 x在实数范围内有意义？ 3 x呢？ 师生活动:先让学生独立思考，再追问. 设计意图:加深概念理解. 例 3 若 2 23(4)0abc，求a b c 的值. 【变式题 1】已知222mnnn,求m的算术平方根 【变式题 2】 2
10、844,baaab已知求 师生活动:教师带领学生一起完成例 3，板书书写格式，然后让学生独立完成变式题 1、 变式题 2，对学生完成的变式题 1，变式题 2 进行点拨并带领学生进行总结. 4 设计意图:让学生指导当多个非负数的和为零时， 则可得每个非负数均为零.初中阶段学 过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 5.课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题: (1)什么叫二次根式?二次根式有意义的条件是什么?二次根式的值的范围是什么. (2)二次根式与算术平方根有什么联系和区别? (3) 我们以前学过的整式、 分式都能像数一样进行运算， 你认为对于二次根式应该进
11、一 步研究哪些问题? 设计意图:共同回顾本节课学习的概念，再次联系算术平方根理解二次根式的概念，提 出二次根式应该研究的问题. 6.布置作业 （1）必做题:教材 P3 练习 1,2 ; P5 习题 1,3,6,7 题 （2）选做题 教材 P5 习题 9,10 题 11 4(01),_aaa aa 若则 师生活动：学生独立完成. 设计意图：分层作业，有利于针对不同学习层次的学生，让每次学习层次的学生都学有 所得，学有所获. 五、目标检测设计五、目标检测设计 1.36x要使有意义，x必须满足（） A. 1 2 x B. 1 2 x C.x为任何实数 D.x为非负数 设计意图:考查二次根式有意义的条件. 2 .一个用电器的电阻为R， 消耗的电功率为P， 它两端的电压为U， 其关系式为 2 U P R ， 则 U 可表示为（） A. P R U B. P U R C.URP D.URP 设计意图:考查二次根式的意义. 3.使式子123xx有意义的最小整数x是_. 设计意图:考查二次根式有意义的条件. 4.求当二次根式 2 9x的值等于 9 时的x的值. 设计意图:考查二次根式的概念及其与开平方的关系.
