1、第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算平面向量的运算 6.2.2 向量的减法运算向量的减法运算 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解相反向量的含义，能用相反向量 说出向量相减的意义.(逻辑推理) 2掌握向量减法的运算及其几何意义， 能熟练地进行向量的减法运算.(数学运算) 3能将向量的减法运算
2、转化为向量的加 法运算.(逻辑推理) 向量的减法运算是通过类比实 数的减法运算来引入的，可依 照物理上力的分解为背景来理 解把握. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 相反向量 知识点1 定义 与向量a长度_，方向_的向量，叫做a的相反向量， 记作a 性质 (1)(a)_ (2)零向量的相反向量仍是零向量 (3)a(a)(a)a_ (4)如果a，b互为相反向量，那么a_，b_，ab0 相等 相反 a 0 b a 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 向
3、量的减法 知识点2 定义 aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 _ 作法 在平面内任取一点 O，作OA a，OB b， 则向量 ab_.如图所示 几何 意义 如果把两个向量 a、b 的起点放在一起，则 ab 可以表示为从 向量 b 的_指向向量 a 的_的向量 相反向量 终点 终点 BA 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1向量减法的三角形法则中，BA 表示 ab，强调了差 向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量 a，b 的差向量 ab，可以 简记为“共起点，连终点指向被减”. . 2由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向
4、量减法的定义 aba(b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法 作图较烦琐. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 3如图，以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线所 对应的向量AC ab，DB ab，这一结论在以后的学习中应用非常广 泛. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 向量的减法及其几何意义 典典例例 1 (1)四边形 ABCD 中，若AB a，AD b，BC c，则DC ( ) Aabc
5、Bb(ac) Cabc Dbac A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc. 分析 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接 连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若 两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)DC AC AD (AB BC )AD acb. (2)法一：如图所示，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则 OB ab，再作OC c，则CB abc. 法二：如图所示，在
6、平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab，再作CB c，连接 OC，则OC abc. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a (b)即可. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知向量a，b，c， d，求作向量ab，cd. 解析 如图所示，在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，OC c，OD
7、 d，则 abBA ，cdDC . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 三角形法则下的向量加减法运算 典典例例 2 化简：(1)(AB CD )(AC BD ). (2)OA OD AD . (3)AB DA BD BC CA . 分析 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)方法一(统一成加法) (AB CD )(AC BD )AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0 方法二(利用减法) (AB CD )(AC BD )AB CD AC BD (AB AC )CD BD C
8、B CD BD DB BD 0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 方法三(利用AB OB OA )设 O 是平面内任意一点，则(AB CD ) (AC BD )AB CD AC BD (OB OA )(OD OC )(OC OA ) (OD OB )OB OA OD OC OC OA OD OB 0 (2)方法一 OA OD AD DA AD 0 方法二 OA OD AD OA AD OD OD OD 0 (3)AB DA BD BC CA AB DA BD CB AC (AB BD ) (AC CB )DA AD AB DA AD DA AB 0AB AB . 返
9、回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律 等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算 时，常用的变形如下： (1)运用AB BA 化减为加. (2)运用AB BA 0 或AB BC AC 化繁为简. (3)运用AB OB OA 转化为共起点的两个向量的差. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)向量MN 可以写成：MO ON ；MO ON ； OM ON ；ON OM . 其中正确的是_(填序号). (2)化简：BA OD OA BC ； (AC BO
10、OA )(DC DO OB ). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)MO ON MN ；MO ON OM ON (OM ON )MN ；OM ON NM ；ON OM MN ，故填. (2)BA OD OA BC (BA BC )(OD OA )CA AD CD . (AC BO OA )(DC DO OB )AC BA OC OB AC CO OB BA AB BA 0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 利用已知向量表示其他向量 典典例例 3 如图， 在正六边形 ABCDEF 中， O 为中心， 若OA a，
11、OE b，用向量 a、b 表示向量OB 、OC 和OD . 分析 观察图形 找已知向量与所 求向量的关系 利用法则 写出结果 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 解法一：在OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，OE 起 点相同，应用平行四边形法则，得OF OA OE ab. OC OF ，OC ab. 而OB OE b，OD OA a， OB b，OC ab，OD a. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解法二：由正六边形的几何性质，得 OD a，OB b，BC OA a. 在OBC 中，OC OB BC ab. 解法三：由正
12、六边形的几何性质，得 OB b，OD a. 在OBCD 中，OC OB OD ab. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行 四边形法则和三角形法则解题.要特别注意向量的方向以及运算式中向量 之间的关系. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，解答下列各题： (1)用 a、d、e 表示DB ； (2)用 b、c 表示DB ； (3)用 a、b、e 表示EC ； (4)用 c、d 表示EC . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)D
13、B DE EA AB deaade. (2)DB CB CD BC CD bc. (3)EC EA AB BC abe. (4)EC CE (CD DE )cd. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 错误使用向量的减法法则 如图， 已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A， B， C 的向量分别为 r1，r2，r3，求OD . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错解 因为OD OC CD ，CD BA OB OA ，所以OD OC OB OA r3r2r1 错因分析 错误地使用了向量的减法法则. 正解 因为OD OC CD ，CD BA OA OB ，所以OD OC OA OB r3r1r2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 误区警示 减法口诀：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量. 应把始点相同的放在一起计算.必要时，可画出图形，结合图形观察将使 问题更为直观. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA a，OB b，OC c，求OD . 解析 BC OC OB cb， 又AD BC ，AD cb， OD OA AD acb.
