1、第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解数乘向量的坐标运算和 法则.(数学运算) 2理解用坐标表示向量共线的 条件.(数据分析) 数乘运算的结果仍然是向量
2、，所以数乘 运算的结果也仍然是坐标.通过坐标的计 算来处理向量的共线问题，体现了向量 代数与几何的完美结合. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 设向量a(x，y)，则有a_，这就是说实数与向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点1 (x，y) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单 明快 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0向量a，b(
3、b0)共线的充要 条件是_. 平面向量共线的坐标表示 知识点2 x1y2x2y10 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 中点坐标公式 知识点3 若 P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 P 的坐 标为(x，y)，则 xx 1x2 2 ， yy 1y2 2 ， 此公式为线段 P1P2的中点坐标公式. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2). (1)当b0时，ab. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)x1
4、y2x2y10 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和 程序化的特征. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (3)当 x2y20 时，x1 x2 y1 y2. 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐 标表示，而且不易出现搭配错误. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算. 题型探究题型探究 题型
5、一题型一 向量的坐标运算 典典例例 1 已知 a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b；(2)a3b；(3)1 2a 1 3b. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运 算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 解析 (1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7). (2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1). (3)1 2a 1 3b 1 2(1,2) 1 3(2,1) 1 2，1 2 3， 1 3 7 6， 2 3 . 返回导航 第六章 平面向量
6、及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知向量 a(5,2)，b(4，3)，若 c 满足 3a2bc0，则 c ( ) A(23，12) B(23,12) C(7,0) D(7,0) (2)已知 M(3， 2)， N(5， 1)， MP 1 2MN ， 则 P 点坐标为_. A 1，3 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由 3a2bc0，c3a2b3(5,2)2(4， 3)(23，12)，c(23，12). (2)解法 1：设 P(x，y)，MP (x3，y2)，MN (8，1)，由MP 1 2MN 得 P 1，3 2 . 解法 2
7、：由MP 1 2MN 得 P 为 MN 中点，由中点坐标公式得. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 向量平行(共线)的判定 典典例例 2 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ( ) Ae1(0,0)，e2(1，2) Be1(1,2)，e2(5,7) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2 1 2， 3 4 (2)已知 a(2,1)， b(3， 4)， 当 为何值时， ab 与 a2b 平行？ 平行时，它们是同向还是反向？ B 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)A 中向量 e1为零
8、向量，e1e2；C 中 e11 2e2， e1e2；D 中 e14e2，e1e2，故选 B (2)ab(2,1)(3，4)(2，)(3，4)(23，4)， a2b(2,1)2(3，4)(2,1)(6，8)(8，7)， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (ab)(a2b)， 8(4)7(23)0221101 2. 1 2ab( 1 223， 1 24)(4， 7 2)， 即 ab1 2(a2b). 故当 1 2时，ab 与 a2b 平行；平行时它们反向. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 1向量共线的判定方法 2利用向量平行的条件
9、求参数值的思路 (1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 若 a( 3，cos )，b(3，sin )，且 ab，则锐 角 _. 解析 a( 3，cos )，b(3，sin )，ab， 3sin 3cos 0，即 tan 3， 又 0 2，故 3. 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 三点共线的判定及应用 典典例例 3 (1)已知OA (3,4)，OB (7,12)，OC (9,16)，求证：A，B， C 三点共线； (2)设
10、向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10，k)，当 k 为何值时，A， B，C 三点共线？ 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)证明：AB OB OA (4,8)，AC OC OA (6,12)， AC 3 2AB ，即AB 与AC 共线. 又AB 与AC 有公共点 A，A，B，C 三点共线. (2)若 A，B，C 三点共线，则AB ，AC 共线， AB OB OA (4k，7)，AC OC OA (10k，k12)， (4k)(k12)7(10k)0 解得 k2 或 k11 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳
11、提升 若已知三点的坐标， 判断其是否共线可采用以下两种方 法： 直接利用上述条件，计算(x2x1)(y3y1)(x3x1) (y2y1)是否为 0； 任取两点构成向量，计算出两向量，如AB ，AC ，再通过两向量共 线的条件进行判断. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知OA (k,2)，OB (1,2k)，OC (1k，1)， 且相异三点 A，B，C 共线，则实数 k_. 解析 AB OB OA (1k,2k2)， AC OC OA (12k， 3)， 由题意可知AB AC ，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0， 解得 k1 4(k1 不合题
12、意舍去). 1 4 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交 点P的坐标. 题型四题型四 向量法在解析几何中的应用 典典例例 4 分析 (1)AC与OB相交于点P，则必有O， P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O， P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再 根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 解法一：由 O，P，B 三点共线， 可设OP OB (4，4)， 则AP OP OA (44,4)， AC OC
13、OA (2,6). 由AP 与AC 共线得(44)64(2)0， 解得 3 4，所以OP 3 4OB (3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解法二：设点 P(x，y)，则OP (x，y)，OB (4,4)， P、B、O 三点共线，OP OB .4x4y0 又AP OP OA (x，y)(4,0)(x4，y)， AC OC OA (2,6)(4,0)(2,6)， P、A、C 三点共线，AP AC .6(x4)2y0 由 4x4y0， 6x42y0， 得 x3， y3. 点 P 的坐标为(3,3). 返回导航 第六章 平面向量
14、及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤： 首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题 目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何 问题中. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知两点 A(3，4)，B(9,2)，在直线 AB 上求一 点 P，使AP 1 3AB . 解析 设点 P(x，y)，则 AP (x3，y4)，AB (12,6)， (x3，y4)1 3(12,6)(4,2)， 即 x34， y42， x1， y2， P(1，2). 返回导航 第六章 平面向量及其
15、应用 数学（必修第二册RJA） 已知a(3,2m)与b(m，m)平行，求m的值. 易错警示易错警示 典典例例 5 处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况 错解 由题意，得 3 m 2m m ，解得 m5 错因分析 本题中，当 m0 时，b0，显然 ab 成立.错解中利 用坐标比例形式判断向量共线的前提是 m (m)0，漏掉了 m0 这种 情况. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 ab，3(m)(2m)m0，解得m0或m5 误区警示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a 与 b 共线的条件为 x1y2 x2y10要注意此条件与条件x1 x2 y1 y2的区别，应用 x1 x2 y1 y2时，分母应不 为零. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 由ab得：(4m5)m0，5m50，解得m 1 【对点练习】 已知向量 a(1，1)，b(m,4m5)，且 a b，则 m 等于 ( ) A1 B5 3 C1 或5 3 D0 或2 A
