1、数列的概念数列的概念 目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1数列的概念数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列 中的每一个数叫做这个数列的项中的每一个数叫做这个数列的项 (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数列与函
2、数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整 数集数集N*(或它的有限子集或它的有限子集)为定义域的函数为定义域的函数anf(n)，当自变，当自变 量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 (3)数列的表示法：数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法列表法、图象法和通项公式法 数列的图象是一系列孤立的数列的图象是一系列孤立的 点，而不是连续的曲线点，而不是连续的曲线. 2数列的分类数列的分类 分类原则分类原则 类型类型 满足条件满足条件 有穷数列有穷数列 项数有限项数有限 按项数分类按项数分类 无穷数列无穷数列 项数无限项数无限 递增数列递
3、增数列 an 1an 递减数列递减数列 an 1an 按项与项间的按项与项间的 大小关系分类大小关系分类 常数列常数列 an 1an 其中其中 nN N * 3数列的通项公式数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列通项公式：如果数列an的第的第n项项an与序号与序号n之间的关系之间的关系 可以用一个式子可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个来表示，那么这个公式叫做这个 数列的通项公式数列的通项公式 数列通项公式的注意点数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式；并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；同一个数列的通项公式在形式上
4、未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它 的变化规律，是不能确定这个数列的的变化规律，是不能确定这个数列的 (2)递推公式：如果已知数列递推公式：如果已知数列an的第的第1项项(或前几项或前几项)，且从第，且从第 二项二项(或某一项或某一项)开始的任一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项an 1(或前几项或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点通项公式和递推公式的异同点 不同点不同
5、点 相同点相同点 通项通项 公式公式 可根据某项的序号可根据某项的序号n的值的值，直接代入直接代入 求出求出an 都 可 确 定都 可 确 定 一 个 数 列一 个 数 列 ， 也 都 可 求也 都 可 求 出 数 列 的出 数 列 的 任意一项任意一项 递推递推 公式公式 可根据第一项可根据第一项(或前几项或前几项)的值的值，通过通过 一次一次(或多次或多次)赋值赋值，逐项求出数列的逐项求出数列的 项项，直至求出所需的直至求出所需的an，也可通过也可通过 变形转化变形转化，直接求出直接求出an 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)
6、相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (3)1,1,1,1，不能构成一个数列，不能构成一个数列 ( ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 ( ) (5)如果数列如果数列an的前的前n项和为项和为Sn，则对，则对nN*，都有，都有an 1Sn1 Sn. ( ) 二、选填题二、选填题 1数列数列1，1 2， ，1 3， ，1 4， ，1 5， ，的一个通项公式为的一个通项公式为(
7、) Aan 1 n Ban(1)n 1 n Can(1)n 11 n D an1 n B 2已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为ann28n15，则，则3 ( ) A不是数列不是数列an中的项中的项 B只是数列只是数列an中的第中的第2项项 C只是数列只是数列an中的第中的第6项项 D是数列是数列an中的第中的第2项或第项或第6项项 解析：解析：令令an3，即，即n28n153，解得，解得n2或或6， 故故3是数列是数列an中的第中的第2项或第项或第6项项 D 3已知数列已知数列an满足满足a11，anan 12n(n2)，则，则a7 ( ) A53 B54 C55 D109 解析：解
8、析：由题意知，由题意知，a2a122，a3a223，a7a6 27，各式相加得，各式相加得a7a12(234567)55. C 4在数列在数列an中，中，a11，an1 1 n an 1 (n2)，则，则a5 _. 解析：解析：a11，a21 1 a1 2，a31 1 a2 1 2， ， a41 1 a3 3，a51 1 a4 2 3. 2 3 5已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n2n，则，则an_. 解析：解析：当当n2时，时，anSnSn 12n2n2(n1)2(n1) 4n1. 当当n1时，时，a1S13411，故，故an4n1. 4n1 考点考点在细解中明规律 题目千变总有
9、根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点考点一一 an与与 Sn关系的应用关系的应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snn22n1(nN*)，则，则an _. 解析解析 当当n2时，时，anSnSn 12n1；当；当n1时，时，a1 S14211.因此因此an 4，n1， 2n1，n2. 4，n1， 2n1，n2. (2)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn 1 3 an 2 3 ，则，则an的通项公式的通项公式an _. 解析解析 当当n1时，时，a1S1 1 3a1 2 3，所以 ，所以a11.当当n2时，时，an
10、 SnSn 1 1 3an 1 3an 1，所以，所以 an an 1 1 2，所以数列 ，所以数列an为首为首 项项a11，公比，公比q1 2的等比数列，故 的等比数列，故an 1 2 n1. 1 2 n1 (3)已知数列已知数列an中，中，a11，Sn为数列为数列an的前的前n项和，且当项和，且当 n2时，有时，有 2an anSnS2 n 1成立，则成立，则S2 019_. 解析解析 当当n2时时，由由 2an anSnS2 n 1，得得2(SnSn 1)(SnSn1) Sn S2 n SnSn 1，所以所以 2 Sn 2 Sn 1 1，又，又 2 S1 2，所以所以 2 Sn 是以是以
11、2为为 首项首项，1为公差的等差数列为公差的等差数列，所以所以 2 Sn n1，故故Sn 2 n1， ， 则则S2 019 1 1 010. 1 1 010 解题技法解题技法 an与与Sn关系的应用策略关系的应用策略 (1)仅含有仅含有Sn的递推数列或既含有的递推数列或既含有Sn又含有又含有an的递推数列，一的递推数列，一 般利用公式般利用公式SnSn 1an(n2)实施消元法，将递推关系转化为仅实施消元法，将递推关系转化为仅 含含an的关系式或仅含的关系式或仅含Sn的关系式，即的关系式，即“二者消元留一象二者消元留一象” (2)究竟消去究竟消去an留留Sn好，还是消去好，还是消去Sn留留an
12、好？取决于消元后的好？取决于消元后的 代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差 数列关系或等比数列关系，若消去数列关系或等比数列关系，若消去an留留Sn可以得到简单可求的可以得到简单可求的 数列关系，那么就应当消去数列关系，那么就应当消去an留留Sn，否则就尝试消去，否则就尝试消去Sn留留an，即，即 “何知去留谁更好，变形易把关系找何知去留谁更好，变形易把关系找” (3)值得一提的是：数列通项公式值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证求出后，还需要验证 数列首项数列首项a1是否也满足通项公式，即是否也满足通项公式，
13、即“通项求出莫疏忽，验通项求出莫疏忽，验 证首项满足否证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！，这一步学生容易忘记，切记！ 口诀记忆口诀记忆 前前n项和与通项，二者消元留一象；项和与通项，二者消元留一象； 何知去留谁更好，变形易把关系找；何知去留谁更好，变形易把关系找； 通项求出莫疏忽，验证首项满足否通项求出莫疏忽，验证首项满足否 过关训练过关训练 1已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn3n1，则，则an_. 解析：解析：当当n1时，时，a1S1314； 当当n2时，时，anSnSn 1(3n1)(3n 1 1)2 3n 1. 当当n1时，时，231 1 2a1，所以，所以an 4，n
14、1， 2 3n 1， ，n2. 4，n1， 2 3n 1， ，n2 2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a11，Sn2an 1，则，则Sn _. 解析：解析：因为因为Sn2an 1，所以当，所以当n2时，时，Sn12an， 所以所以anSnSn 12an12an(n2)，即，即a n 1 an 3 2(n 2)， 又又a21 2，所以 ，所以an1 2 3 2 n2(n 2) 当当n1时，时，a111 2 3 2 1 1 3， ， 所以所以an 1，n1， 1 2 3 2 n2， ，n2， 所以所以Sn2an 121 2 3 2 n1 3 2 n1. 3 2 n1 考点考点二二
15、由数列的递推关系式求通项由数列的递推关系式求通项全析考法过关全析考法过关 (一一)累加法累加法形如形如an 1anf(n)，求，求an 例例1 (2019 郑州模拟郑州模拟)设数列设数列an满足满足a11，且，且an 1 ann1(nN*)，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_ 解析解析 由题意得由题意得a2a12，a3a23， anan 1n(n2) 以上各式相加，得以上各式相加，得ana123n n1 2n 2 n2n2 2 .a11，ann 2 n 2 (n2) 当当n1时也满足此式，时也满足此式，ann 2 n 2 . ann 2 n 2 口诀记忆口诀记忆 两项之差一函数，两项
16、之差一函数， 两边求和莫踌躇两边求和莫踌躇 对于形如对于形如an 1anf(n)的递推关系的递推数列，即数列的递推关系的递推数列，即数列 相邻两项之差是一个关于相邻两项之差是一个关于n的函数式，可以直接对等式两边的函数式，可以直接对等式两边 求和进行解答，也可写为求和进行解答，也可写为an(anan 1)(an1an2) (a2a1)a1的形式的形式 (二二)累乘法累乘法形如形如a n 1 an f(n)，求，求an 例例2 在数列在数列an中，中，a11，an n1 n an 1(n2，nN*)， 则数列则数列an的通项公式为的通项公式为_ 解析解析 ann 1 n an 1(n2)， an
17、 1n 2 n1an 2，an2n 3 n2an 3，a21 2a1. 以上以上(n1)个式子相乘得，个式子相乘得，ana1 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n. 当当n1时，时，a11，符合上式，符合上式，an1 n. an1 n 口诀记忆口诀记忆 函数对应两项商，函数对应两项商， 左右求积细端详左右求积细端详 对于形如对于形如 an 1 an f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻的递推关系的递推数列，即数列相邻 两项之商是一个关于两项之商是一个关于n 的函数式，可以直接的函数式，可以直接对等式两边求积对等式两边求积 解答，也可写为解答，也可写为an an an 1 an 1 a
18、n 2 a2 a1 a1的形式 的形式 (三三)待定系数法待定系数法形如形如an 1AanB(A0且且A1， B0)，求求an 例例3 (2019 青岛模拟青岛模拟)已知数列已知数列an满足满足a11，an 1 3an2(nN*)，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_ 解析解析 an 13an2，an113(an1)， a n 11 an1 3， 数列数列an1为等比数列，公比为等比数列，公比q3， 又又a112，an12 3n 1， ， an2 3n 1 1. an2 3n 1 1 口诀记忆口诀记忆 相邻两项是一次，相邻两项是一次， 尾巴跟着个常数，尾巴跟着个常数， 函数结构藏玄机，
19、函数结构藏玄机， 待定系数化等比待定系数化等比 对于形如对于形如an 1AanB(A0且且A1，B0)的递推关系的递推关系 的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常 数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化 为为an 1kA(ank)求解求解 (四四)取倒数法取倒数法形如形如 an 1 Aan BanC(A， ，B，C 为常数为常数)，求求 an 例例 4 已知数列已知数列an中，中，a11，an 1 2an an2(n N*)，则数列，则数列 an的通项公式的通项公
20、式 an为为_. 解析解析 因为因为an 1 2an an2 ，a11，所以，所以an0，所以，所以 1 an 1 1 an 1 2，即 ，即 1 an 1 1 an 1 2.又 又a11，则，则 1 a1 1，所以，所以 1 an 是以是以1为为 首项，首项， 1 2为公差的等差数列所以 为公差的等差数列所以 1 an 1 a1 (n1) 1 2 n 2 1 2. 所以所以an 2 n1. 2 n1 形如形如an 1 Aan BanC A，B，C为常数为常数 的数列，将其变形的数列，将其变形 为为 1 an 1 C A 1 an B A. 若若AC，则，则 1 an 是等差数列，且公差为是等
21、差数列，且公差为 B A ，可直接用公式求通项；，可直接用公式求通项；若若AC，则采用待定系数法，则采用待定系数法， 构造新数列求解构造新数列求解. 过关训练过关训练 1累加法累加法在数列在数列an中，中，a13，an 1an 1 n n1 ，则通，则通 项公式项公式an_. 解析：解析：原递推公式可化为原递推公式可化为an 1an1 n 1 n1， ， 则则a2a111 2， ，a3a21 2 1 3， ， a4a3 1 3 1 4 ，an 1an2 1 n2 1 n1 ，anan 1 1 n1 1 n，累计相加得， ，累计相加得，ana111 n，故 ，故an41 n. 41 n 2累乘法
22、累乘法已知已知 a12，an 12nan，则数列，则数列an的通项公式的通项公式 an _. 解析：解析：an 12nan，a n 1 an 2n，当，当 n2 时，时， an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 2n2 2 22 2- +2 2 nn . 又又 a11 也符合上式也符合上式，an2 2- +2 2 nn . 2 2- +2 2 nn 3待定系数法待定系数法已知数列已知数列an中，中，a13，且点，且点 Pn(an，an 1) (nN*)在直线在直线 4xy10 上，则数列上，则数列an的通项公式的通项公式 an _. 解析：解析：因为点因为点 Pn
23、(an，an 1)(nN*)在直线在直线 4xy10 上，上， 所以所以 4anan 110.所以所以 an11 3 4 an1 3 . 因为因为 a13，所以，所以 a11 3 10 3 . 故数列故数列 an1 3 是首项为是首项为10 3 ，公比为，公比为 4 的等比数列的等比数列 所所以以 an1 3 10 3 4n 1，故数列 ，故数列an的通项公式为的通项公式为 an10 3 4n 1 1 3. 10 3 4n 1 1 3 4取倒数法取倒数法已知数列已知数列an满足满足 a11，an 1 an an2(n N*)， 则数列则数列an的通项公式的通项公式 an_. 1 2n1 解析：
24、解析： 由由 an 1 an an2， 得 ， 得 1 an 1 1 2 an， 所以 ， 所以 1 an 1 12 1 an 1 ， 故故 1 an 1 是首项为是首项为 1 a1 12，公比为，公比为 2 的等比数列，则的等比数列，则 1 an 1 2n，则，则 an 1 2n1. 考点考点三三 数列的性质数列的性质师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)已知数列已知数列an满足满足an 1 1 1an，若 ，若a11 2，则 ，则a2 018( ) A1 B.1 2 C1 D2 解析解析 由由a11 2， ，an 1 1 1an，得 ，得a2 1 1a1 2， a3 1 1a2
25、 1，a4 1 1a3 1 2， ，a5 1 1a4 2， 于是可知数列于是可知数列an是以是以3为周期的周期数列，为周期的周期数列， 因此因此a2 018a3 6722a22. D (2)若若ann2kn4且对于且对于nN*，都有，都有an 1an成立，则实成立，则实 数数k的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 由由an 1an知该数列是一个递增数列，知该数列是一个递增数列， 通项公式通项公式ann2kn4， (n1)2k(n1)4n2kn4， 即即k12n，又，又nN*，k3. (3，) (3)若数列若数列an的通项的通项an n n290 ，则数列，则数列an中的最大项是第中的最大项是第
26、 _项项 解析解析 令令f(x)x90 x (x0)，运用基本不等式得，运用基本不等式得f(x)6 10， 当且仅当当且仅当x3 10时等号成立时等号成立 因为因为an 1 n90 n ，所以，所以 1 n90 n 1 6 10 ，由于，由于nN*，不难发现，不难发现 当当n9或或n10时，时，an 1 19最大 最大 9或或10 解题技法解题技法 1解决数列周期性问题的方法解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期， 再根据周期性求值再根据周期性求值 2判断数列单调性的判断数列单调性的2种方法种方法 (1)作差比较
27、法：比较作差比较法：比较an 1an与与0的大小的大小 (2)作商比较法：比较作商比较法：比较a n 1 an 与与1的大小，注意的大小，注意an的符号的符号 3求数列最大项或最小项的方法求数列最大项或最小项的方法 (1)将数列视为函数将数列视为函数f(x)当当xN*时所对应的一列函数值，时所对应的一列函数值， 根据根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方 法，求出法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大的最值，进而求出数列的最大(小小)项；项； (2)通过通项公式通过通项公式an研究数列的单调性，利用研究数列的单调性，利用 a
28、nan 1， anan 1 (n2)确定最大项，利用确定最大项，利用 anan 1， anan 1 (n2)确确 定最小项定最小项 (3)比较法：比较法： 若有若有an 1anf(n1)f(n)0 或或an0时，时，a n 1 an 1 ， 则则an 1an，即数列，即数列an是递增数列，所以数列是递增数列，所以数列an的最小项的最小项 为为a1f(1)； 若有若有an 1anf(n1)f(n)0 或或an0时，时，a n 1 an 1 ， 则则an 1an，即数列，即数列an是递减数列，所以数列是递减数列，所以数列an的最大项的最大项 为为a1f(1) 过关训练过关训练 1已知等差数列已知等
29、差数列an的公差的公差d0，且，且a 2 1 a 2 11，则数列 ，则数列an的的 前前n项和项和Sn取得最大值时，项数取得最大值时，项数n的值为的值为 ( ) A5 B6 C5或或6 D6或或7 解析：解析：由由a2 1 a2 11，可得 ，可得(a1a11)(a1a11)0， 因为因为d0，所以，所以a1a110，所以，所以a1a110， 又又2a6a1a11，所以，所以a60. 因为因为d0，所以，所以an是递减数列，是递减数列， 所以所以a1a2a5a60a7a8，显然前，显然前5项和或前项和或前6 项和最大，故选项和最大，故选C. C 2已知数列已知数列an的首项为的首项为2，且数列，且数列an满足满足an 1 an1 an1 ，数，数 列列an的前的前n项的和为项的和为Sn，则，则S1 008等于等于 ( ) A504 B294 C294 D504 解析：解析：a12，an 1a n 1 an1， ，a21 3， ，a31 2， ，a43， a52，数列数列an的周期为的周期为4，且，且a1a2a3a4 7 6 ， S1 008S4 252252 7 6 294. C
