1、目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 等比数列等比数列 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1等比数列的有关概念等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的 比等于同一常数比等于同一常数(不为零不为零)，那么这个数列就叫做等比数，那么这个数列就叫做等比数 列这个常数
2、叫做等比数列的公比，通常用字母列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定表示，定 义的表达式为义的表达式为a n 1 an q. (2) 等 比 中 项 ： 如 果等 比 中 项 ： 如 果a ， G ， b 成 等 比 数 列 ， 那 么成 等 比 数 列 ， 那 么 G叫做叫做a与与b的等比中项的等比中项 .即即 G 是是 a 与与 b 的等比中项的等比中项a，G， b 成等比数列成等比数列G2ab. (1)等比数列中的任何一项都不为等比数列中的任何一项都不为 0，且公比，且公比 q0. (2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等若一个数列是常数列，则此数列一定是等 差数列，但
3、不一定是等比数列，如：差数列，但不一定是等比数列，如：0,0,0， (1)任意两个数都有等差中项， 但不一定有任意两个数都有等差中项， 但不一定有 等比中项等比中项 (2)只有当两个数同号且不为只有当两个数同号且不为 0 时， 才有等时， 才有等 比中项比中项 (3)两个数两个数 a，b 的等差中项只有一个，两的等差中项只有一个，两 个同号且不为个同号且不为 0 的数的等比中项有两个的数的等比中项有两个. 2等比数列的有关公式等比数列的有关公式 (1)通项公式：通项公式：ana1qn 1 . (2)通项公式的推广：通项公式的推广：anam qn m(n， ，mN*) (3)前前 n 项和公式：
4、项和公式：Sn na1，q1， a1 1qn 1q a 1 anq 1q ，q1. 当当 q1，a10 或或 0q1，a10 时，时，an是递增数列；是递增数列； 当当 q1，a10 或或 0q1，a10 时，时，an是递减数列；是递减数列； 当当 q1 时，时，an是常数列；当是常数列；当 q 1 时，时，an是摆动数列是摆动数列 Sn 1qn S1 1q(q 1) 熟记常用结论熟记常用结论 1若若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则，则 am anap aq a2 k. 2若若an，bn(项数相同项数相同)是等比数列，则是等比数列，则an(0)， 1 an ， a2 n， ，an
5、bn， an bn 仍是等比数列仍是等比数列 3 在等比数列 在等比数列an中， 等距离取出若干项也构成一个等比数列，中， 等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即即 an，an k，an2k，an3k，为等比数列，公比为为等比数列，公比为 qk. 4an为等比数列，若为等比数列，若 a1 a2 anTn，则，则 Tn，T2n Tn ，T3n T2n， ， 成等比数列成等比数列 5当当 q0，q1 时，时，Snkk qn(k0)是是an成等比数列的成等比数列的 充要条件，此时充要条件，此时 k a1 1q. 6有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特有穷等比数列中，与首末两项等距离的两
6、项的积相等特 别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)满足满足 an 1qan(nN*，q 为常数为常数)的数列的数列an为等比数列为等比数列 ( ) (2)三个数三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是成等比数列的充要条件是 b2ac. ( ) (3)如果数列如果数列an为等比数列，为等比数列，bna2n 1a2n，则数列，则数列bn也是也是 等比数列等比数列 ( ) (4)如果数列如果数列an为等比数列， 则数列为等比数列， 则数列ln an是等差数
7、列是等差数列 ( ) 二、选填题二、选填题 1在等比数列在等比数列an中，中，a32，a78，则，则 a5等于等于 ( ) A5 B 5 C4 D 4 解析：解析：a2 5 a3a72816，a5 4. 又又a5a3q20，a54. C 2 已知 已知 Sn是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列an的前的前 n 项和， 若项和， 若 a2 a4 16，S37，则，则 a8 ( ) A32 B64 C128 D256 解析：解析：a2 a4a2 3 16，a34(负值舍去负值舍去)， 又又 S3a1a2a3a3 q2 a3 q a37， 联立联立，得，得 3q24q40，解得，解得 q
8、2 3或 或 q2， an0，q2，a8a3 q527128. C 3设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn.若若 S23，S415，则，则 S6 ( ) A31 B32 C63 D64 解析：解析：由等比数列的性质，得由等比数列的性质，得(S4S2)2S2 (S6S4)， 即即 1223(S615)，解得，解得 S663. C 4等比数列等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，已知，已知 S3a210a1，a59， 则则 a1_. 解析：解析：由已知条件及由已知条件及 S3a1a2a3，得，得 a39a1， 设数列设数列an的公比为的公比为 q，则，则 q29， 所以
9、所以 a59a1 q481a1，得，得 a11 9. 1 9 5设设an是公比为正数的等比数列，是公比为正数的等比数列，Sn为为an的前的前 n 项和，若项和，若 a11，a516，则数列，则数列an的前的前 7 项和为项和为_ 解析：解析：设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q(q0)， 由由 a5a1q416，a11，得，得 q416，解得，解得 q2， 所以所以 S7a 1 1 q7 1q 1 127 12 127. 127 考点考点在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点一考点一 等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算基础自学过关基础自
10、学过关 题组练透题组练透 1已知等比数列已知等比数列an满足满足 a11 4， ，a3a54(a41)，则，则 a2等于等于 ( ) A2 B1 C.1 2 D. 1 8 解析：解析：由由an为等比数列，得为等比数列，得 a3a5a2 4， ， 又又 a3a54(a41)，所以所以 a2 4 4(a41)，解得解得 a42. 设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q， 则由则由 a4a1q3，得，得 21 4q 3，解得 ，解得 q2， 所以所以 a2a1q1 2. C 2(2019 湘东五校联考湘东五校联考)已知在等比数列已知在等比数列an中，中，a37，前三，前三 项之和项之和 S32
11、1，则公比，则公比 q 的值是的值是 ( ) A1 B1 2 C1 或或1 2 D1 或或1 2 解析：解析：当当 q1 时，时，an7，S321，符合题意；，符合题意； 当当 q1 时，由时，由 a1q27， a1 1q3 1q 21， 得得 q1 2. 综上，综上，q 的值是的值是 1 或或1 2，故选 ，故选 C. C 3(2017 全国卷全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下我国古代数学名著算法统宗中有如下 问题：问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八 十一， 请问尖头几盏灯？十一， 请问尖头几盏灯？”意思是： 一座意思是： 一座
12、 7 层塔共挂了层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，倍， 则塔的顶层共有灯则塔的顶层共有灯 ( ) A1 盏盏 B3 盏盏 C5 盏盏 D9 盏盏 解析：解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an， 则前则前 7 项的和项的和 S7381，公比，公比 q2，依题意，得，依题意，得 S7a 1 1 27 12 381，解得，解得 a13. B 4已知等比数列已知等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a1a35 2， ，a2a4 5 4，则 ，则Sn
13、 an _. 解析：解析：设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q， a1a35 2， ， a2a45 4， ， a1a1q25 2， ， a1qa1q35 4， ， 由由除以除以可得可得1 q2 qq3 2，解得，解得 q1 2，代入 ，代入得得 a12， an2 1 2 n1 4 2n， ，Sn 2 1 1 2 n 11 2 4 1 1 2n ， Sn an 4 1 1 2n 4 2n 2n1. 2n1 名师微点名师微点 等比数列基本量运算的解题策略等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，等比数列
14、中有五个量题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以，一般可以“知三知三 求二求二”，通过列方程，通过列方程(组组)便可迎刃而解便可迎刃而解 (2)等比数列的前等比数列的前 n 项和公式涉及对公比项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，的分类讨论， 当当 q1 时，时，an的前的前 n 项和项和 Snna1；当；当 q1 时，时，an的前的前 n 项和项和 Sna 1 1 qn 1q a 1 anq 1q . 考点二考点二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11，Sn 14an
15、2(nN N *)， ， 若若 bnan 12an，求证：，求证：bn是等比数列是等比数列 证明证明 因为因为 an 2Sn2Sn14an124an24an14an， 所以所以b n 1 bn a n 22an1 an 12an 4a n 14an2an1 an 12an 2a n 14an an 12an 2. 因为因为 S2a1a24a12，所以，所以 a25. 所以所以 b1a22a13. 所以数列所以数列bn是首项为是首项为 3，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 解题技法解题技法 等比数列的判定方法等比数列的判定方法 定义法定义法 若若a n 1 an q(q 为非零常数，为非
16、零常数，nN*)或或 an an 1 q(q 为为 非零常数且非零常数且 n2，nN*)，则则an是等比数列是等比数列 中项公式法中项公式法 若数列若数列an中，中，an0 且且 a2 n 1an an2(nN*)， 则则an是等比数列是等比数列 通项公式法通项公式法 若数列若数列an的通项公式可写成的通项公式可写成 anc qn 1(c， ，q 均均 为非零常数为非零常数，nN*)，则，则an是等比数列是等比数列 前前 n 项和公项和公 式法式法 若数列若数列an的前的前 n 项和项和 Snk qnk(k 为非零常为非零常 数，数，q0,1)，则则an是等比数列是等比数列 提醒提醒 (1)前
17、两种方法是判定等比数列的常用方法， 常用前两种方法是判定等比数列的常用方法， 常用 于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定 (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连 续三项不成等比数列即可续三项不成等比数列即可 过关训练过关训练 1对任意等比数列对任意等比数列an，下列说法一定正确的是，下列说法一定正确的是 ( ) Aa1，a3，a9成等比数列成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列成等比数列 Ca2，a4，a8成等比数列成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列成等比数列 解析：解析
18、：设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，则，则 a3a1q2，a6a1q5， a9a1q8，满足，满足(a1q5)2a1q2 a1q8，即，即 a2 6 a3 a9. D 2已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 Sn2an3n(nN*) (1)求求 a1，a2，a3的值；的值； (2)是否存在常数是否存在常数 ，使得，使得an为等比数列？若存在，求为等比数列？若存在，求 出出 的值和通项公式的值和通项公式 an；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由 解：解：当当 n1 时，时，S1a12a13，解得，解得 a13； 当当 n2 时，时，S2a1a22a26
19、，解得，解得 a29； 当当 n3 时，时，S3a1a2a32a39，解得，解得 a321. (2)假设假设an是等比数列，则是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)， 即即(9)2(3)(21)，解得，解得 3. 下面证明下面证明an3为等比数列：为等比数列： Sn2an3n，Sn 12an13n3， an 1Sn1Sn2an12an3，即，即 2an3an1， 2(an3)an 13，a n 13 an3 2， 存在存在 3，使得数列，使得数列an3是首项为是首项为 a136，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 an362n 1，即 ，即 an3(2n1)(nN*) 考点三考点三 等
20、比数列的性质及应用等比数列的性质及应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)已知等比数列已知等比数列an的各项为正数，且的各项为正数，且 a5a6a4a718，则，则 log3a1log3a2log3a10 ( ) A12 B10 C8 D2log35 解析解析 由由 a5a6a4a718，得得 a5a69， 所以所以 log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10) log3(a5a6)55log3910. B (2)设等比数列设等比数列an中，前中，前 n 项和为项和为 Sn，已知，已知 S38，S67， 则则 a7a8a9等于等于 ( ) A.1 8 B1 8
21、 C.57 8 D.55 8 解析解析 因为因为 a7a8a9S9S6，且且 S3，S6S3，S9S6也成也成 等比数列等比数列，即即 8，1，S9S6成等比数列成等比数列， 所以所以 8(S9S6)1，即即 S9S61 8， ， 所以所以 a7a8a91 8. A (3)已知等比数列已知等比数列an共有共有 2n 项，其和为项，其和为240，且奇数项的和，且奇数项的和 比偶数项的和大比偶数项的和大 80，则公比，则公比 q_. 解析解析 由题意，得由题意，得 S奇 奇S偶偶240， S奇 奇S偶偶80， 解得解得 S奇 奇80， S偶 偶160， 所以所以 qS 偶偶 S奇 奇 160 80
22、 2. 2 解题技法解题技法 应用等比数列性质解题时的应用等比数列性质解题时的 2 个注意点个注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件， 利用性质，特别是性质利用性质，特别是性质“若若 mnpq(m，n，p，qN*)， 则则 am anap aq”，可以减少运算量，提高解题速度，可以减少运算量，提高解题速度 (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件， 有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的 运用运用 过关训
23、练过关训练 1在等比数列在等比数列an中，如果中，如果 a1a240，a3a460，那么，那么 a7 a8 ( ) A135 B100 C95 D80 解析：解析：由等比数列的性质知，由等比数列的性质知，a1a2，a3a4，a5a6， a7a8成等比数列，其首项为成等比数列，其首项为 40，公比为，公比为60 40 3 2， ， 所以所以 a7a840 3 2 3 135. A 2已知数列已知数列 1，a1，a2,9 是等差数列，数列是等差数列，数列 1，b1，b2，b3,9 是等比数列，则是等比数列，则 b2 a1a2 _. 解析：解析：因为数列因为数列 1，a1，a2,9 是等差数列，所以是等差数列，所以 a1a21 910.因为数列因为数列 1， b1， b2， b3,9 是等比数列， 所以是等比数列， 所以 b2 2 19 9，又，又 b21q20(q 为等比数列的公比为等比数列的公比)，所以，所以 b23， 则则 b2 a1a2 3 10. 3 10
