1、第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 第第3课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1能够用正、余弦定理求解与距离、高度、 角度等有关的实际应用问题.(数学运算) 2能根据题
2、意画出几何图形.(直观想象) 3掌握运用正、余弦定理解决实际问题的方 法.(数学建模) 4能将实际问题转化为解三角形问题.(数学 抽象) 通过正、余弦定理在实际 中的应用感受正、余弦定 理在解决三角形边角关系( 长度与角度)中的工具性作 用. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)基线的定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. (2)选择基线的原则 在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选 取合适的基线长度，一般来说，基线_，测量的
3、精确度越高. 基线的概念与选择原则 知识点1 越长 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线_时叫仰角，目标视线在水平视线_时叫俯 角，如图所示. 相关术语 知识点2 上方 下方 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)方位角 指从_顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角 为(如图1所示). 正北方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (3)方位角的其他表示方向角 正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重
4、 合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方 向. 东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2 所示). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望 对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河 的宽度是_m. 题型探究题型探究 题型一题型一 测量距离问题 典典例例 1 60 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)为测量河对岸两个建筑物 A
5、、B 之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得ACB75 ，BCD45 ，ADC30 ，ADB 45 ，A、B 之间的距离为_. 5 km 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)tan 30 CD AD，tan 75 CD DB， 又 ADDB120， AD tan 30 (120AD) tan 75 ， AD60 3，故 CD60 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)在ACD 中，ACD120 ，CADADC30 ， ACCD 3 km. 在BCD 中，BCD45 ，BDC75 ，CBD60 ， BC 3si
6、n75 sin60 6 2 2 .在ABC 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BC cosACB ( 3)2( 6 2 2 )22 3、 6 2 2 、cos75 5 AB 5(km).故 A、B 之间的距离为 5 km. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B 两点间不 可通或不可视 A， B 两点间可视， 但有一点不可达 A，B 两点都不可达 图形 方法 先测角 C，AC b，BCa， 再用余弦定理 求 AB 以点 A 不可达为 例，先测角 B，C， BCa，再用正弦 定理求 AB 测得 CDa，BCD，B
7、DC， ACD，ADC，ACB，在 ACD 中用正弦定理求 AC； 在BCD 中用正弦定理求 BC； 在ABC 中用余弦定理求 AB 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者 在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测 出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为 _. 20 6 m 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 3a 2 的军事基地 C 和 D，测得蓝方两支精锐部队分别在 A
8、处和 B 处，且 ADB30 ，BDC30 ，DCA60 ，ACB45 .如图所示，则蓝 方这两支精锐部队的距离为 ( ) A 6 4 a B3 3 4 a C 3 2 a D 6a A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)ABC180 75 45 60 ， 所以由正弦定理，得 AB sinC AC sinB， ABACsin C sin B 60sin 45 sin 60 20 6 m. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)在BCD 中，CBD180 30 105 45 ， 由正弦定理得 BC sin 30 CD sin
9、45 ，则 BCCDsin 30 sin 45 6 4 a， 在ACD 中，CAD180 60 60 60 ， 所以ACD 为等边三角形.因为ADBBDC， 所以 BD 为正ACD 的中垂线，所以 ABBC 6 4 a. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两点C与D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测 得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 题型二题型二 测量高度问题 典典例例 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 在BCD 中，CBD(). 由正弦定理得 BC sinBD
10、C CD sinCBD. BCCDsinBDC sinCBD s sin sin. 在 RtABC 中，ABBCtanACBs sintan sin . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问 题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角 形，仔细规划解题思路. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得
11、山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得 ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 由于 CD平面 ABD，CAD45 ，所以 CDAD. 因此只需在ABD 中求出 AD 即可， 在ABD 中，BDA180 45 120 15 ， 由 AB sin 15 AD sin 45 ，得 ADAB sin 45 sin 15 800 2 2 6 2 4 800( 31)(m). 即山的高度为 800( 31)m. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 测量角度问题 典典例例 3
12、 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击， 发出呼叫信号， 如 图，我国海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45 ，距 离为 10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105 的方向，以 10 海里 /小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去 营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 设所需时间为 t 小时，则 AB10 3t，CB10t，在ABC 中，根据余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BCcos 120 ， 可得(10 3t)2102(10t)221010tcos 1
13、20 ， 整理得 2t2t10，解得 t1 或 t1 2(舍去). 所以护航舰需要 1 小时靠近货船. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 此时 AB10 3，BC10， 在ABC 中，由正弦定理得 BC sinCAB AB sin 120 ， 所以 sinCABBCsin 120 AB 10 3 2 10 3 1 2， 所以CAB30 ， 所以护航舰航行的方位角为 75 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60 的 B 处，乙船 以每小时 a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3a
14、 海里， 问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解析 如图所示. 设经过 t 小时两船在 C 处相遇，则在ABC 中，BCat(海里)，AC 3at(海里)，B90 30 120 ， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 由 BC sinCAB AC sin B，得 sinCABBCsin B AC atsin 120 3at 3 2 3 1 2， 0 CAB90 ，CAB30 ， DAC60 30 30 ， 甲船应沿着北偏东 30 的方向前进，才能最快与乙船相遇. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 某观测站C在城A的南偏西20的方
15、向，由城A出发的一 条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为 21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？ 易错警示易错警示 典典例例 4 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错解 本题为解斜三角形的应用问题， 要求这人走多少路才可到达 A 城，即求 AD 的长，在ACD 中，已知 CD21 km，CAD60 ，只 需再求出一个量即可. 如图，设ACD，CDB， 在CBD 中，由余弦定理， 得 cosBD 2CD2CB2 2BD CD 20 2212312 22021
16、1 7， 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） sin4 3 7 .在ACD 中， AC sin180 21 sin60 21 3 2 14 3， AC14 3sin(180 )14 3sin24， CD2AC2AD22AC AD cos60 ， 即 212242AD22241 2 AD， 整理，得 AD224AD1350，解得 AD15 或 AD9， 答：这个人再走 15 km 或 9 km 就可到达 A 城. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 本题在解ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理 求AD，产生了增解. 正解 如图，令
17、ACD，CDB，在CBD 中， 由余弦定理得 cosBD 2CD2CB2 2BD CD 20 2212312 22021 1 7， sin 4 3 7 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 又 sinsin(60 )sincos60 sin60 cos 4 3 7 1 2 3 2 1 7 5 3 14 ， 在ACD 中， 21 sin 60 AD sin， AD21sin sin60 15(km). 答：这个人再走 15 km 就可以到达 A 城. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 海事救护船 A 在基地的北偏东 60 ，与基地相距 100 3 n mile，渔船 B 被困海面，已知 B 距离基地 100 n mile，而且在救 护船 A 正西方， 则渔船 B 与救护船 A 的距离是_. 100 n mile或200 n mile 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 如图，设基地位于 O 处，由题意知BAO30 ，BO100， OA100 3，则在ABO 中，由余弦定理，得 BO2BA2AO22BA AOcosBAO， 即 BA2300BA20 0000，解得 BA100 或 BA200， 即渔船 B 与救护船 A 的距离是 100 n mile 或 200 n mile.
