1、 数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A=1,2,6,B=2,4,C=xR|-1x5,则(AB)C=( ) A.2 B.1,2,4 C.1,2,4,6 D.xR|-1x5 2. 函数 y2log4(1x)的定义域为( ) A. (-，1) B. (-，2) C. (1，) D. (2，) 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的函数是( ) A. y1 x B. yx 2 1 C. yx21 D. ylg x 4. 设甲、乙两地的距离为
2、 a(a0)，小明骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小明从出发到返回原地所经过的路程 y 和 其所用的时间 x 的函数图象为( ) 5. 设 a0.60.4，blog0.46，clog0.60.4，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aacb Bbca Ccba Dcab 6. 方程 lg xx3 的解所在区间为( ) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，) 7. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A圆柱 B圆锥 C圆台 D球体 8. 对于空间中的两
3、条直线 m，n 和一个平面 ，下列结论正确的是( ) A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 9. 若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线与直线 xy + 50 平行，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 10. 如果 A C 0 且 B C 0，那么直线 AxByC0 不通过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11. 体已知两个球的表面积之比为 19，则这两个球的体积之比为（ ） A1 B13 C19 D127 12. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该
4、圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 13. 计算： lg 1 4lg 25 100 1 2 . 14. 若直线 x3y3=0 的倾斜角为 ，则 . 15. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的 几何体体积的比为_ 16. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典 著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相
5、当 于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式为 V 1 36l 2h。该结论实际上是将圆 锥体积公式中的圆周率 取近似值得到的。则根据你所学知识，该公式中 取的近似值为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应 写在答题卡上的指定区域内. 17. (本小题满分 10 分) 设集合 A=x | lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ；B=x | 4 1 2 21 x ，求BA. 18. (本小题满分 12 分) 已知幂函数 (x) = x的图像过点（2,4） （1）求函数 (x) 的解析式； （2）设函数 h(x)=
6、2(x)k x1 在1,1是单调函数，求实数 k 的取值范围。 19. (本小题满分 12 分) 如图，AB 是O 的直径，PAO 所在的平面，C 是圆上一点， BAC = 60 ，PA = AB. (1) 求证：平面 PAC平面 PBC； (2) 求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值。 20. (本小题满分 12 分) 已知不经过原点的直线 m 在两坐标轴上的截距相等，且点 P(2,2)在直线 m 上； (1) 求直线 m 的方程； (2) 过点 P 作直线 n，若直线 n，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，求直线 n 的方程。 21. (本小题满分 12 分) 如图，已知三棱
7、柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC=2，BAC90 ，点M，N分别 为 AB 和 BC的中点. (1)若 AA=2，求三棱柱 ABCABC的体积； (2)证明：MN平面 AACC； (3)请问当 AA 为何值时，CN平面 AMN，试证明你的结论。 22. (本小题满分 12 分) 在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为 点 E，在一个特定时段内，以点 E 为中心的 1 海里以内海域被设为警戒水域，点 E 正北 4 3海 里处有一个雷达观测站 A， 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 30 且与点 A 相距 10 海里的位置 B， 经过
8、 12 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 60 且与点 A 相距 2 3海 里的位置 C. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时） ； （2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点 E 与船的距离小于 1 海里即为进入警戒水域)，并说明理由。 数学 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D D C D C A D D B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13. 5
9、 1 ； 14. 30 ； 15. 1：47 ； 16. 3 三、解答题 （参考答案，仅供参考，其它解法，酌情计分） 17.【解析】解：因为 lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 的解为 x=3（x=-2 舍去） 所以 A=3 .(4 分) 又因为 4 1 2 21 x 的解为 x= 2 3 所以 B= 2 3 .(8 分) 所以BA =3， 2 3 .(10 分) 18. 【解析】解： （1）因为 (x)= x a 的图像过点（2,4） 所以 2 a =4 则 =2 所以函数 (x)的解析式为：(x)= x 2 .(5 分) （2）由（1）得 h(x)=2x2 -k x1, 所以函数 h(
10、x)的对称轴为 x= 4 k .(8 分) 若函数 h(x)在1,1是单调函数 则 4 k -1 或 4 k 1 即 k-4 或 k4 所以实数 k 的取值范围为（,44,+）.(12 分) 19. 【解析】解： （1）证明：AB 是直径 ACB = 90 ，即 BCAC .(2 分) 又PAO 所在的平面 BC 在O 所在的平面内 PABC .(4 分) BC平面 PAC 又 BC平面 PBC 平面 PBC平面 PAC .(6 分) （2）PA平面 ABC 直线 PC 与平面 ABC 所成角即PCA .(8 分) 设 AC = 1，BAC = 60 ABC = 30 PA = AB = 2
11、tanPCA = = 2 .(12 分) 20.【解析】解：（1）因为直线 m 在两坐标轴上的截距相等 设直线 m： 1 将点 P(2,2)代入方程，得=4 所以直线 m 的方程为 x+y40 .(6 分) (2) 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x2， 直线 m，直线 n 和 x 轴围成的三角形的面积为 2， 则直线 m 的方程为 x2 符合题意； .(8 分) 若直线 m 的斜率 k0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； 若直线 m 的斜率 k0，设其方程为 y2k(x2)，令 y0， 得 x2 2 k，由（1）得直线 m 交 x 轴（4,0）， 依题意有 1 2
12、|（2 2 k）4| 22，即|（2 2 k）4|2， 解得 k 1 2，所以直线 m 的方程为 y2 1 2(x2)， 即 x+2y60. 综上，直线 m 的方程为 x+2y60 或 x2. .(12 分) 21.【解析】解：（1）三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面 且ABAC=2，BAC90 ，AA=2 由三棱柱体积公式得：V= 2 1 2 2 2=4 . .( 3 分) (2)证明 (方法一)取 AB的中点 E，连接 ME，NE， M，N 分别为 AB 和 BC的中点， NEAC，MEAA. AC平面 AACC，AA平面 AACC， ME平面 AACC，NE平面 AACC， 又 MEN
13、EE， 平面 MNE平面 AACC， MN平面 MNE，MN平面 AACC. .(7 分) (方法二)连接 BA，AC，说明 M 在 BA 上，证明 MNAC； 即可证得MN平面 AACC. (3)连接 BN，设 AAa， 则由题意知 BC2 2， NCBN， 三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面， 平面 ABC平面 BBCC， ABAC，ABAC，又点 N 是 BC的中点， AN平面 BBCC，CNAN. 要使 CN平面 AMN，只需 CNBN 即可， .(10 分) 又NCBN，NCBN= 2AA 2 a NC2BN2BC2，即 2（ 2 a）2（2 2）2， a 2，则 AA 2时，CN
14、平面 AMN. .(12 分) 22.【解析】解： （1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为 1 海里 则坐标平面中 AB = 10，AC = 2 3 A(0,0)，E(0, 4 3) 再由方位角可求得：B(5,5 3)，C(3, 3) .( 3 分) 所以|BC| = (53)2 +(5 3 3)2 = 2 13 又因为 12 分钟=0.2 小时 则 V=2 13 0.2=10 13(海里/小时) 所以该船行驶的速度为 10 13海里/小时 .( 6 分) A A B B A A C C A A E E （2）直线 BC 的斜率为 k= 5 33 52 = 2 3 所以直线 BC 的方程为：y 3 = 2 3(x3) 即 2 3xy5 3 =0 .(9 分) 所以 E 点到直线 BC 的距离为 |4 35 3| 13 = 3 13 1 即该船不改变航行方向行驶时离 E 点的距离小于 1 海里， 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 .(12 分)
