1、 2020 届高三数学（理）“大题精练”11 17已知数列 n a的前 n 项和1 nn Sa ，其中 0 （1）证明 n a是等比数列，并求其通项公式； （2）若 5 33 32 S ，求 18 为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动， 首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇， 供当地村民免费试用三个月 试用到期 后， 为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况， 该公司要求每位试用者填写一 份性能综合评分表（满分为100分）最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽 取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （
2、1）求40个样本数据的中位数m； （2）已知40个样本数据的平均数80a ，记m与a的最大值为M该公司规定样本 中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型” 请根据40个样本数据，完成下面22 列联表： 根据22列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行二 次试用，记这 3 人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望. 19如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，P 是
3、 BC 的中点，点 Q 是棱 1 CC上的 动点 （1）点 Q 在何位置时，直线 1 DQ，DC，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥 1 BDBQ的体积； （3）棱 1 CC上是否存在动点 Q，使得 1 DB与平面 1 AQD所成角的正弦值为 5 3 9 ，若存 在指出点 Q 在棱 1 CC上的位置，若不存在，请说明理由 20如图，中心为坐标原点 O 的两圆半径分别为 1 1r ， 2 2r ，射线 OT 与两圆分别 交于 A、B 两点，分别过 A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线 1 l、 2 l， 1 l交 2 l于点 P （1）当射线 OT 绕点 O 旋转时，求 P 点的轨迹
4、 E 的方程； （2）直线 l：3ykx与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线 l 的距 离为 1 2 时，求MN的取值范围 21已知函数 . （）若 时， ，求 的最小值； （）设数列 的通项 ，证明： . 22已知曲线 C 的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面 直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 2xx yy 得到曲线 E，直线 l： 1 2 3 2 t x yt （t 为参 数）与曲线 E 交于 A，B 两点， （1）设曲线 C 上任一点为,M x y，求3xy的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的
5、弦 AB 长； 23已知函数 | | ，且 的解集为 （）求 的值； （）若 ， ， 都是正实数，且 ，求证： . 2020 届高三数学（理）“大题精练”11（答案解析） 17已知数列 n a的前 n 项和1 nn Sa ，其中 0 （1）证明 n a是等比数列，并求其通项公式； （2）若 5 33 32 S ，求 【解】（1）1 nn Sa , 0, 0 n a 当2n时, 11 1 nn Sa , 两式相减,得 11 11 nnnnn aaaaa ,即 1 1 nn aa , 0,0 n a 10 即1,即 1 1 n n a a ,（2n ）, n a是等比数列,公比 1 q , 当1n
6、 时, 111 1Saa ,即 1 1 1 a , 1 1 11 n n a ； （2）若 5 33 32 S ,则 4 5 133 1 1132 S ,即 5 331 1 13232 , 则 1 12 ,得 1 3 18 为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动， 首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇， 供当地村民免费试用三个月 试用到期 后， 为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况， 该公司要求每位试用者填写一 份性能综合评分表（满分为100分）最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽 取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，
7、经统计得到如下茎叶图： （1）求40个样本数据的中位数m； （2）已知40个样本数据的平均数80a ，记m与a的最大值为M该公司规定样本 中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型” 请根据40个样本数据，完成下面22 列联表： 根据22列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行二 次试用，记这 3 人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望. 【解】（1）由茎叶图可知： 8082 8
8、1 2 m （2）因为81m ，80a ，所以81M 由茎叶图值，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5 个，根据题意得22列联表： 满意型 需改进型 合计 女性 15 5 20 男性 5 15 20 合计 20 20 40 由于 2 4015 155 5 106.635 20 20 20 20 K 查表得： 2 6.6350.010P K 所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关 由知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性2名，男性 6名 X的所有可能取值为1，2，3 则 21 26 3 8 63 1 5628 C C P X C ， 1
9、2 26 3 8 3015 2 5628 C C P X C ， 03 26 3 8 205 3 5614 C C P X C 所以X的分布列如下： X 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 所以X的数学期望为： 31559 123 2828144 E X 19如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，P 是 BC 的中点，点 Q 是棱 1 CC上的 动点 （1）点 Q 在何位置时，直线 1 DQ，DC，AP 交于一点，并说明理由； （2）求三棱锥 1 BDBQ的体积； （3）棱 1 CC上是否存在动点 Q，使得 1 DB与平面 1 AQD所成角的正弦值为 5 3 9
10、，若存 在指出点 Q 在棱 1 CC上的位置，若不存在，请说明理由 【解】（1）当 Q 是 1 CC中点时,直线 1 DQ,DC,AP 交于一点 理由如下：延长 AP 交 DC 于 M,连结 1 D M交 1 CC于点 Q, CPAD,MCPMDA, 1 2 MCCP MDAD 1 CQD D, 1 MCQMDD, 1 1 2 CQMC DDMD Q 是 1 CC中点 （2）V 棱锥 1 BDBQV棱锥 1 1 1114 =8= 3323 BB Q DBBQSCD （3）以 D 为原点,DA,DC, 1 DD所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 则0,0,0D,2,0,0A, 1 2,
11、2,2B,0,2,Q, 1 0,0,2D 1 2,0,2AD ,2,2,AQ , 1 2,2,2DB 设面 1 AQD的法向量为 , ,nx y z,则 1 2200 2200 xzn AD xyzn AQ 取2x ,2z ,2y即2,2,2n 设 1 DB与面 1 AQD所成角为 则 1 1 2 1 1225 3 sincos, 9 12 82 n DB n DB n DB 化简得 2 230 解得1或 3 2 （舍去） 所以存在点 Q,且点 Q 为 1 CC的中点 20如图，中心为坐标原点 O 的两圆半径分别为 1 1r ， 2 2r ，射线 OT 与两圆分别 交于 A、B 两点，分别过
12、A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线 1 l、 2 l， 1 l交 2 l于点 P （1）当射线 OT 绕点 O 旋转时，求 P 点的轨迹 E 的方程； （2）直线 l：3ykx与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线 l 的距 离为 1 2 时，求MN的取值范围 【解】设,P x y,OT 与 x 轴正方向夹角为,则 cos sin xOA yOB 即 cos 2sin x y 化简得 2 2 1 4 y x ,即 P 点的轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 y x （2）当两圆上有 6 个点到直线 1 的距离为 1 2 时,原点 O 至直线 l 的距离 1 3 , 2
13、2 d , 即 2 133 22 1k ,解得 2 1 ,11 3 k 联立方程 2 2 3 1 4 ykx y x 得 22 42 310kxkx 设 11 ,M x y, 22 ,N xy,则 12 2 2 3 4 k xx k , 12 2 1 4 x x k 2 2 22 12122 2 2 124 141 4 4 k MNkxxx xk k k 2 22 4 1 3 4 1 44 k kk 则 16 16 , 13 5 MN 21已知函数 . （）若 时， ，求 的最小值； （）设数列 的通项 ，证明： . 【解】（）由已知 ， ， . 若 ，则当 时， ，所以 . 若 ，则当 时，
14、 ，所以当 时， . 综上， 的最小值是 . （）证明：令 .由（）知，当 时， ，即 . 取 ，则 . 于是 . 所以 . 22已知曲线 C 的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面 直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 2xx yy 得到曲线 E，直线 l： 1 2 3 2 t x yt （t 为参 数）与曲线 E 交于 A，B 两点， （1）设曲线 C 上任一点为,M x y，求3xy的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长； 【解】（1）根据 222 xy,进行化简得 C： 22 1xy, 曲线 C 的参数方程
15、cos sin x y （为参数）, 3cos3sin2sin 6 xy , 则2 3xy的最小值为2； （2） 2xx yy ,2 x x yy 代入 C 得E： 2 2 1 2 x y, 将直线 l 的参数方程 1 2 3 2 t x yt （t 为参数）, 代入曲线 E 方程得： 2 7440tt , 12 1 2 4 7 4 7 tt t t , 2 12121 2 8 2 4 7 ABttttt t 23已知函数 | | ，且 的解集为 （）求 的值； （）若 ， ， 都是正实数，且 ，求证： . 【解】 （I）依题意 | | ,即| | , （II）方法 1: 当且仅当 ,即 时取等号 方法 2: 由柯西不等式得 整理得 当且仅当 ,即 时取等号.
