1、第 1 页 共 9 页 mn aa d n aa d dnaa dmnaa dnaa daa mn n n mn n nn 1 ;) 1( )( ) 1( 1 1 1 1 变式： 推广： 通项公式： 递推关系： 必修 5 数列 二、等差数列 知识要点 1数列的通项 n a与前n项和 n S的关系 n i inn aaaaaS 1 321 2 1 1 1 nSS nS a nn n 2递推关系与通项公式 1 (), ( ), n n adnad af nknbk b 特征： 即：为常数 , n aknbk b为常数数列 n a成等差数列 3等差中项： 若cba,成等差数列， 则b叫做ca与的等差
2、中项， 且 2 ca b ；cba,是等差数列cab2 4前n项和公式： 2 )( 1 naa S n n ； 2 ) 1( 1 dnn naSn 22 1 () ,( ) 22 nn dd SnanSf nAnBn特征：即 2 ,( ,) n SAnBnA B为常数数列 n a成等差数列 5等差数列 n a的基本性质),( Nqpnm其中 qpnm aaaaqpnm，则若，反之不成立； dmnaa mn )( ； mnmnn aaa 2； nnnnn SSSSS 232 ,仍成等差数列 6判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法： 1nn aadnN 常数 n a是等差数列 第 2 页
3、共 9 页 中项法： 12 2 nnn aaanN n a是等差数列 通项公式法：, n aknbk b为常数 n a是等差数列 前n项和公式法： 2 , n SAnBnA B为常数 n a是等差数列 【应用一】 1若a b，数列a，x1，x 2，b和数列a，y1，y2，y3，b都是等差数列，则 12 12 yy xx ( ) A 3 2 B 4 3 C1 D 3 4 2. 等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450 ，则前9项和S9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.675 3. 在1 和 8 之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a=2
4、，b=5 B. a=2，b=5 C. a=2，b=5 D. a=2，b=5 4. 首项为24的等差数列，从第 10 项开始为正数，则公差d的取值范围是 ( ) A.d 8 3 B.d3 C. 8 3 d3 D. 8 3 d3 5等差数列 n a共有n2项，其中奇数项的和为 90，偶数项的和为 72，且33 12 aa n ，则该数 列的公差为 ( ) A3 B3 C2 D1 6. 等差数列an中，a1=5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4， 则抽取的是 ( ) A.a11 B.a10 C.a9 D.a8 7. 设函数f (x)满足f (n+1)= 2 )(2n
5、nf (nN*)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95 B. 97 C. 105 D. 192 8已知无穷等差数列an，前 n 项和 S n 中，S 6 S 8 ，则 ( ) A在数列a n 中a7 最大 B在数列a n 中，a 3 或a 4 最大 C前三项之和 S 3 必与前 11 项之和 S 11 相等 D当 n8 时，a n 0 9. 集合 * 6 ,且60Mmmn nNm中所有元素的和等于_. 10、在等差数列 n a中， 3710411 8,14.aaaaa 记 123nn Saaaa，则 13 S_ 第 3 页 共 9 页 11、已知等差数列 n a中， 794 1
6、6,1aaa，则 16 a的值是 12. (1)在等差数列 n a中， 7 1 ,8 3 da ，求 n a和 n S； (2)等差数列 n a中， 4 a=14，前 10 项和185 10 S求 n a； 13. 一个首项为正数的等差数列an，如果它的前三项之和与前 11 项之和相等，那么该数列的前多 少项和最大? 14. 数列an中， 1 8a ， 4 2a ，且满足 21 20 nnn aaa ， (1)求数列的通项公式；(2)设 12 | nn Saaa，求 n S 第 4 页 共 9 页 15. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足an+2Sn Sn1=0(n2)，a1= 2
7、1 . (1)求证： n S 1 是等差数列；(2)求an的表达式； (3)若bn=2(1n)an(n2)，求证：b22+b32+bn21. 【应用二】 1等差数列 n a中， 4681012911 1 120, 3 aaaaaaa则的值为 A14 B15 C16 D17 2等差数列 n a中， 1291 0SSa ，则前 项的和最大 3已知等差数列 n a的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知0012 13123 SSa， 求出公差d的范围； 指出 1221 SSS，中哪一个值最大，并说明理由 5、已知等差数
8、列 n a中， 79412 161aaaa，则等于( ) A15 B30 C31 D64 第 5 页 共 9 页 6、设 n S为等差数列 n a的前n项和， 97104 3014SSSS，则，= 7、已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1185212 21aaaaS，则 8甲、乙两物体分别从相距 70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走 2m，以后每分钟比前一分 钟多走 1m，乙每分钟走 5m，甲、乙开始运动后几分钟相遇? 如果甲、乙到对方起点后立即折 返，甲继续每分钟比前一分钟多走 1m，乙继续每分钟走 5m，那么，开始运动几分钟后第二次相 遇? 9已知数列 n a中，3 1 a前
9、n项和1) 1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列 n a是等差数列； 求数列 n a的通项公式； 设数列 1 1 nna a 的前n项和为 n T，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立? 若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由 第 6 页 共 9 页 三、等比数列 知识要点 1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为0q q ， 2. 递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa qaa 推广： 通项公式： 递推关系： 1 1 1 3. 等比中项：若三个数cba,成
10、等比数列，则称b为a与c的等比中项，且bac 2 bac注：是cba,成等比数列的必要不充分条件 4. 前n项和公式 ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 5. 等比数列的基本性质，),( Nqpnm其中 qpnm aaaaqpnm，则若，反之不成立！ )( 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn ， n a为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 若项数为 * 2n nN，则 S q S 偶 奇 n n mnm SSqS ，时， nnnnn SSSSSq 232 1仍成等比数列 6. 等差数列与等比数列的转化 n a
11、是等差数列) 10(ccc n a ，是等比数列； n a是正项等比数列) 10(logccan c ，是等差数列； n a既是等差数列又是等比数列 n a是各项不为零的常数列 第 7 页 共 9 页 7. 等比数列的判定法 定义法： 1n n a q a 常数 n a为等比数列； 中项法： 2 12 0 nnnn aaaa n a为等比数列； 通项公式法：, n n ak qk q为常数 n a为等比数列； 前n项和法： 1, n n Skqk q为常数 n a为等比数列 【性质运用】 1 4710310 ( )22222 n f n 设 ()( )nNf n ，则等于 134 2222 (
12、81)(81)(81)(81) 7777 nnnn ABCD 2已知数列 n a是等比数列，且 mmm SSS 32 3010，则， 3在等比数列 n a中， 14361 3233 nn aaaaaa， 求 n a，若 nnn TaaaT求,lglglg 21 4an是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) an2也是等比数列；can(c0)也是等比数列； n a 1 也是等比数列；lnan也是等比数列 A4 B3 C2 D1 5等比数列a n 中，已知a9 =2，则此数列前 17 项之积为 ( ) 第 8 页 共 9 页 A216 B216 C217 D217 6在等比数列an中，如
13、果a6=6，a9=9，那么a3等于 ( ) A4 B 2 3 C 9 16 D2 7若两数的等差中项为 6，等比中项为 5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) Ax26x25=0 Bx212x25=0 Cx26x25=0 Dx212x25=0 8某工厂去年总产a，计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%，这 5 年的最后一年该厂的总产值 是 ( ) A1.1 4 a B1.1 5 a C1.1 6 a D(11.1 5)a 9 已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3， 前 15 项之和为 39， 则该数列的前 10 项之和为( ) A32 B313 C12 D15 10某厂 2
14、001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍，则该厂 2001 年度产值的月平均增长率 为 ( ) A 11 n B11n C1 12 n D1 11 n 11等比数列的前 n 项和 Sn=k 3n1，则 k 的值为 ( ) A全体实数 B1 C1 D3 12在等比数列an中，已知a1= 2 3 ，a4=12，则 q=_ _，an=_ _ 13在等比数列an中，an0，且an2=anan1，则该数列的公比 q= _ 14已知数列满足a1=1，an1=2an1 (nN*) (1)求证数列an1是等比数列；(2)求an的通项公式 15在等比数列an中，已知对 nN*，a1a2an2n1，求a12a22an2 第 9 页 共 9 页 16在等比数列an中，已知 Sn48，S2n60，求 S3n 17求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn 1 (x0) 18在等比数列an中，a1an=66，a2an1=128，且前n 项和Sn=126，求n 及公比q
