1、. 回扣回扣 7 解析几何解析几何 1直线方程的五种形式 (1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线) (2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线) (3)两点式： yy1 y2y1 xx1 x2x1(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，不包括坐标 轴和平行于坐标轴的直线) (4)截距式：x a y b1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不包括坐标轴、平行于 坐标轴和过原点的直线) (5)一般式：A
2、xByC0(其中 A，B 不同时为 0) 2直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时： (1)两直线平行 l1l2?k1k2. (2)两直线垂直 l1l2?k1 k21. 提醒：当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽 略 3三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB| ?x2x1?2?y2y1?2. (2)点到直线的距离：d|Ax0By0C| A2B2 (其中点 P(x0，y0)，直线方程为 AxByC0) (3)两平行线间的距离：d |C2C1| A2B2(其中两平行线方程分别为 l 1：AxBy
3、C10，l2：Ax ByC20) 提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等 4圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0) 5直线与圆、圆与圆的位置关系 . (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法 (2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法 6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|PF2| 2a(2a|F1F2|) |PF1|PF2| 2a(2ab0) x2 a2 y2 b2
4、1 (a0，b0) y22px (p0) 图形 几 何 性 质 范围 |x|a，|y|b |x|a x0 顶点 ( a,0)，(0， b) ( a,0) (0,0) 对称 性 关于 x 轴，y 轴和原点对称 关于 x 轴 对称 焦点 ( c,0) (p 2，0) 轴 长轴长 2a， 短轴长 2b 实轴长 2a， 虚轴长 2b 离心 率 ec a 1b 2 a2 (01) e1 准线 xp 2 渐近线 y b ax 7.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断 弦长公式：|AB| 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|. 8范围、最值问题的常
5、用解法 (1)几何法 直线外一定点 P 到直线上各点距离的最小值为该点 P 到直线的垂线段的长度 . 圆 C 外一定点 P 到圆上各点距离的最大值为|PC|R，最小值为|PC|R(R 为圆 C 的半径) 过圆 C 内一定点 P 的圆的最长的弦即为经过点 P 的直径， 最短的弦为过点 P 且与经过点 P 的直径垂直的弦 圆锥曲线上本身存在最值问题，如 a.椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)；b.双曲线上两 点间最小距离为 2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为ac，ac，ac 与 ac 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛物 线的准线距离
6、最近 (2)代数法 把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解 9定点、定值问题的思路 求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待， 把 方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就 要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或 曲线所过的定点 求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理， 根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值 10解决存在性问题的解题步骤 第一步：先假设存在，引入
7、参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论 1 不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系， 导致由斜率的取值范围确 定倾斜角的范围时出错 2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视 截距为 0 的情况，直接设为x a y a1；再如，过定点 P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的 情况直接设为 yy0k(xx0)等 3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时， 一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率
8、为 0. 4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何 中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合 5求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式 |C1C2| A2B2，导 致错解 . 6在圆的标准方程中，误把 r2当成 r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件 7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解 8利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线 的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a0”下进行 1直线 2mx(m21)y m0 倾斜角的取值范围为( ) A0，) B0
9、， 4 3 4 ，) C0， 4 D0， 4( 2，) 答案 C 解析 由已知可得 m0.直线的斜率 k 2m m21.当 m0 时， k0， 当 m0 时， k 2m m21 2 m1 m 2 2 m 1 m 1，又因为 m0，所以 0r，故相离 7(2016 四川)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP |1， PM MC ，则|BM |2的最大值是( ) A.43 4 B.49 4 C.376 3 4 D.372 33 4 答案 B 解析 建系如图，则易知 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0,3)设 M(x，y)，P(a，b)， PM MC
10、 ， ? ? xa 3x， yb0y ? ? a2x 3， b2y， 即 P(2x 3，2y)，又|AP |1. P 点在圆：x2(y3)21 上， 即(2x 3)2(2y3)21， 整理得，? ? ? ? x 3 2 2? ? ? y3 2 21 4(记为圆)， 即 M 点在该圆上， 求|BM |的最大值转化为 B 点到圆上的一点的最大距离， 即 B 到圆心的距离再加上该圆的半径： |BM |2? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2? ? ? 3 2 21 2 249 4 . 8若椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2 被抛物线 y
11、22bx 的焦点 分成 53 两段，则此椭圆的离心率为( ) A.2 5 5 B.4 17 17 C.3 5 D.4 5 答案 A 解析 cb 2 cb 2 5 3，a 2b2c2，c2b， 5c24a2，ec a 2 5 2 5 5 . . 9(2016 课标全国丙)已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点，则|CD|_. 答案 4 解析 如图所示， 直线 AB 的方程为 x 3y60， kAB 3 3 ，BPD30 ， 从而BDP60 ， 在 RtBOD 中， |OB|2 3，|OD|2. 取 AB 的中
12、点 H，连接 OH，则 OHAB， OH 为直角梯形 ABDC 的中位线， |OC|OD|，|CD|2|OD|224. 10已知 F1，F2是双曲线x 2 16 y2 91 的焦点，PQ 是过焦点 F1的弦，且 PQ 的倾斜角为 60 ， 那么|PF2|QF2|PQ|的值为_ 答案 16 解析 由双曲线方程x 2 16 y2 91 知，2a8， 由双曲线的定义得，|PF2|PF1|2a8， |QF2|QF1|2a8， 得|PF2|QF2|(|QF1|PF1|)16， |PF2|QF2|PQ|16. 11抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 31 的渐近线的距离是_ 答案 3 2 解析
13、抛物线 y24x 的焦点为(1,0)，双曲线 x2y 2 31 的渐近线为 y b ax，即 y 3x.由于 焦点(1,0)到双曲线的两条渐近线距离相等， 所以只考虑焦点到其中一条之间的距离 d | 3| 31 3 2 . 12(2016 天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的方程为_ 答案 (x2)2y29 . 解析 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0， 所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a 5 4 5 5 ， 解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453
14、， 所以圆 C 的方程为(x2)2y29. 13已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴，焦点是(0， 2)，(0， 2)，又点 A(1， 2)在椭圆 M 上 (1)求椭圆 M 的方程； (2)已知直线 l 的斜率为 2，若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点，求ABC 面积的最大值 解 (1)由已知椭圆的焦点为(0， 2)，(0， 2)， 故设椭圆方程为y 2 a2 x2 a221， 将点 A(1， 2)代入方程得 2 a2 1 a221， 整理得 a45a240， 解得 a24 或 a21(舍)， 故所求椭圆方程为y 2 4 x2 21. (2)设直线 BC 的方程为 y 2xm， 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得 4x22 2mxm240， 由 8m216(m24)8(8m2)0，可得 m28， 由 x1x2 2 2 m，x1x2m 24 4 ， 故|BC| 3|x1x2| 3 162m2 2 . 又点 A 到 BC 的距离为 d|m| 3. 故 SABC1 2|BC| d m2?162m2? 4 1 4 2 2m2?162m2? 2 2. 当且仅当 2m2162m2， 即 m 2 时取等号(满足式)， 所以ABC 面积的最大值为 2.
