1、第3讲 函数与不等式 丏题一 函数与导数 考情分析 KAO QING FEN XI 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用. 2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式. 3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度. 内 容 索 引 考点一 考点二 丏题强化练 1 考点一 不等式的性质与解法 PART ONE 核心提炼 1.不等式的倒数性质 (1)ab，ab01 a 1 b. (2)a0b1 ab0,0c b d. 2.不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)a对一切xI恒成立f(x)mina，xI；f(x)a对一切xI恒成立 f(x)maxg(x)对一切xI恒成立当x
2、I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方. (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法. 例 1 (1)若 p1,0mn1 B.pm pn m n C.m plognp 解析 方法一 设 m1 4，n 1 2，p2，逐个代入可知 D 正确. 方法二 对于选项 A，因为 0mn1，所以 0m n 1，所以 0 m n p0， 所以pm pn m n ，故 B 不正确； 对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p1,0mnlognp， 故D正确. 对于选项C，由于函数yxp在(0，)上为减函数，且0mnnp，故C不正确； (2)(2020 北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式ax b0
3、的解集是2，)，则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0的解集是 A.(，3)(2，) B.(3,2) C.(，2)(3，) D.(2,3) 解析 由关于x的不等式axb0的解集是2，)，得b2a且a0， 则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0， 即(x3)(x2)0， 解得x2， 所以不等式的解集为(，3)(2，). 易错 提醒 求解含参不等式ax2bxc0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a0时的情况. (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解. (3)不考虑a的符号. 跟踪演练 1 (1)已知函数 f(x) 3，x1 2， 1 x，x 1 2， 则不等式 x2
4、f(x)x20 的解集是_. x|1x1 解析 由x2f(x)x20，得 x1 2， 3x2x20 或 x1 2， x2 1 xx20， 即 x1 2， 1x2 3 或 x1 2， x1， 1x1 2或 1 2x1， 原不等式的解集为x|1x1. A. 2，6 5 B. 2，6 5 C. 2，6 5 D. 2，6 5 2 (2)若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是 解析 当a240时，解得a2或a2， 当a2时，不等式可化为4x10，解集不是空集，不符合题意； 当a2时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集. 当a240时，要使不等式的解集为空集， 则有
5、a240， a224a240， 解得2a0)，g(x)恒正或恒 负的形式，然后运用基本不等式来求最值. 核心提炼 A gx A.若 a，bR，则b a a b2 b a a b2 B.若 a0，则 a4 a2 a 4 a4 C.若 a，b(0，)，则 lg alg b2 lg a lg b D.若 aR，则 2a2 a2 2a 2 a2 例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是 解析 由于b a， a b的符号不确定，故选项 A 错误； a0,2 a0，2a2a2 2a 2a2(当且仅当 a0 时，等号成立)， 故选项 D 正确. (2)(2019 天津)设 x0，y0，x2y5，则x12y1
6、 xy 的最小值为_. 4 3 解析 x12y1 xy 2xy2yx1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy . 由 x2y5 得 52 2xy，即 xy5 2 4 ，即 xy25 8 ， 当且仅当 x2y5 2时等号成立. 所以 2 xy 6 xy2 2 xy 6 xy4 3， 当且仅当 2 xy 6 xy，即 xy3 时取等号， 结合 xy25 8 可知，xy 可以取到 3，故x12y1 xy 的最小值为 4 3. 易错 提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二 定”“三相等”.所谓“一正”是指“正数”；“二定”是 指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是
7、 指满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值， 必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到. 跟踪演练 2 (1)(2020 北京市中国人民大学附属中学模拟)已知 a0， b0， 且 ab1，则 2a1 b的最小值为_. 2 22 解析 a0，b0，由ab1，得a1b， 2a1 b22b 1 b22 2b 1 b22 2， 当且仅当 b 2 2 时，等号成立，2a1 b的最小值为 2 22. (2)(2020 江苏)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_. 4 5 解析 方法一 由题意知y0.由5x2y2y41， 可得 x21y 4 5y2 ， 所以 x2y21y
8、 4 5y2 y214y 4 5y2 1 5 1 y24y 2 1 52 1 y24y 24 5， 当且仅当 1 y24y 2，即 y 2 2 时取等号. 所以 x2y2的最小值为4 5. 方法二 设x2y2t0，则x2ty2. 因为5x2y2y41，所以5(ty2)y2y41， 所以4y45ty210. 由 25t2160，解得 t4 5 t4 5舍去 . 故 x2y2的最小值为4 5. 3 丏题强化练 PART THREE 一、单项选择题 1.不等式(x3)(x1)0的解集是 A.x|1x3 B.x|1x3 C.x|x3 D.x|x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9、13 14 15 16 解析 不等式即(x3)(x1)0，由二次不等式的解法大于分两边可得 不等式的解集为x|x3. 2.下列命题中正确的是 A.若 ab，则 ac2bc2 B.若 ab，c b d C.若 ab，cd，则 acbd D.若 ab0，ab，则1 a 1 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 对于A选项，当c0时，不成立，故A选项错误. 当 a1，b0，c2，d1 时，a c b d，故 B 选项错误. 当a1，b0，c1，d0时，acbd，故C选项错误. 由不等式的性质知D正确. 3.(2020 北京市昌平区新学道临川学校模拟)
10、已知一元二次不等式f(x)0的 解集为x|x3，则f(10 x)0的解集为 A.x|xlg 3 B.x|2xlg 3 D.x|xlg 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 一元二次不等式f(x)0的解集为x|x3， 则f(x)0的解集为x|2x0可化为210 x3，解得xlg 3， 所以所求不等式的解集为x|xb0，且 ab1，则下列不等式成立的是 A.a1 b b 2alog2(ab) B. b 2alog2(ab)a 1 b C.a1 blog2(ab) b 2a D.log2(ab)a 1 b1,0b1， b 2alog22 ab1， a
11、1 baba 1 blog2(ab). 1 2 a b 5.(2018 全国)设alog0.20.3，blog20.3，则 A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0ab ab 1，abablog0.210， blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310， 6.已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是 A.3 B.4 C.9 2 D. 11 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由题意得 x2y8x 2y
12、8 x2y 2 2， 当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320， 即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0， 所以x2y4，所以x2y的最小值为4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知a1，b2，(a1)(b2)16，则ab的最小值是 A.4 B.5 C.6 D.7 解析 由a1，b2，得a10，b20， ab(a1)(b2)32 a1b232435， 当且仅当a1b24，即a3，b2时等号成立，所以ab的最小 值是5. 8.已知正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0，则当ab c 取得最大值时， 3
13、a 1 b 12 c 的最大值为 A.3 B.9 4 C.1 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由正实数a，b，c满足a22ab9b2c0， 得a 2 c 2ab c 9b 2 c 14ab c ， 当且仅当a 2 c 9b 2 c ，即 a3b 时，ab c 取最大值1 4， 又因为a22ab9b2c0， 所以此时c12b2， 所以3 a 1 b 12 c 1 b 21 b 1 b2 1 b 2 4 1， 当且仅当b1时等号成立.故最大值为1. 二、多项选择
14、题 9.设 f(x)ln x,0ab，若 pf( ab)，qf ab 2 ，r1 2f(a)f(b)，则下 列关系式中正确的是 A.qr B.pq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 r1 2(ln aln b)pln ab，pln ab0， 解得 5a8， 又aZ，故a可以为6,7,8. 方法二 分离常数，得ax26x， 函数yx26x的图象及直线ya， 如图所示，由图易知5b 的充要条件为 A.1 a 1 b B.ln aln b C.aln abln b D.abb0，所以1 ab0ln aln b，故 B正确； 对于C，设f(x)xln
15、x，则f(x)ln x1(x0)， 令 f(x)0，得 x1 e，当 x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以ab0不能推出aln a0)，则g(x)1ex. 因为x0，所以ex1，所以g(x)b0时，g(a)g(b)， 即aeabeb，即ab0，b0，且abb，必要性成立，故D正确. 12.(2020 新高考全国)已知 a0，b0，且 ab1，则 A.a2b21 2 B.2 ab1 2 C.log2alog2b2 D. a b 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
16、5 16 解析 因为 a0，b0，ab1，所以 ab2 ab， 当且仅当 ab1 2时，等号成立，即有 ab 1 4. 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121 4 1 2，故 A 正确； 对于 B,2a b2 2a 11 22 2a ， 因为 a0，所以 2 2a 1，即 2a b1 2，故 B 正确； 对于 C，log2alog2blog2ablog21 42，故 C 错误； 对于 D，由( a b)2ab2 ab12 ab2， 得 a b 2，故 D 正确. 三、填空题 13.对于 0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga 11 a ；a1 a .其中正确的是_.(填
17、 序号) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 a a 1 1 a a 解析 由于0a1，所以函数f(x)logax和g(x)ax在定义域上都是单调 递减函数， 而且 1a0恒成立，则实 数m的取值范围是_. (1，) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 x(0，)，mx2(m1)xm0恒成立， m(x2x1)x恒成立， 又 x2x1 x1 2 23 40， m x x2x1恒成立， 当 x(0，)时， x x2x1 1 x1 x1 1 2 111， 当且仅当 x1 x，即 x1 时取“”. m1.
18、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数 f(x)x32xex 1 ex， 其中 e 是自然对数的底数， 若 f(a1) f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_. 1，1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由 f(x)x32xex 1 ex， 得 f(x)(x)32(x)e x 1 e xx32xex 1 exf(x)， 又 xR，所以 f(x)x32xex 1 ex是奇函数. 因为 f(x)3x22ex 1 ex3x 222 ex 1 ex3x 20， 当且仅当x0时“”成立， 所
19、以f(x)在R上单调递增， 因为f(a1)f(2a2)0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得1a1 2. 所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a). 所以2a21a，即2a2a10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知实数 x，y 满足 x1，y0 且 x4y 1 x1 1 y11，则 1 x1 1 y的最 大值为_. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 x4y 1 x1 1 y11， (x1)4y10 1 x1 1 y ， 又 1 x1 1 y (x1)4y5x1 y 4y x1 52 49， 当且仅当x1 y 4y x1，即 2yx10 时等号成立， 1 x1 1 y 10 1 x1 1 y 9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令 t 1 x1 1 y，则 t(10t)9， 即t210t90，1t9， 1 x1 1 y的最大值为 9.
