1、 江苏省连云港市 20192020 学年第一学期期末调研考试 高二数学试题 202001 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1命题“x R， 2 10 xx ”的否定是 Ax R， 2 10 xx Bx R， 2 10 xx Cx R， 2 10 xx Dx R， 2 10 xx 2双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程是 A21xy B20 xy C21xy D20 xy 3 “MN”是“ 22 log Mlog N”的 A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件
2、D既不充分也不必要条件 4已知向量a (，6，2)，b (1，3，1)，满足ab，则实数的值是 A2 B6 C2 D6 5已知点 F1，F2是椭圆 E： 22 1 167 xy 的左、右焦点，点 P 为椭圆 E 上异于左、右顶点的任意一 点，则PF1F2的周长是 A10 B11 C12 D14 6等差数列 n a中，已知 7 9a ， 5 5S ，则 8 S的值是 A23 B30 C32 D34 7如图，在三棱锥 SABC 中，底面 ABC 是边长为 3 的正三角 形，点 P，Q 满足AP2PB，SQ2QC，SB3，PQ2， 则异面直线 PQ，SB 所成角的大小是 A30 B45 C60 D9
3、0 第 7 题 8已知椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)，直线 x 2 a 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且 OAOB（O 为 坐标原点） ，则椭圆 E 的离心率是 A 6 6 B 2 3 C 3 3 D 6 3 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知等比数列 n a中，满足 1 1a ，公比 q2，则 A数列 1 2 nn aa 是等比数列 B数列 1nn aa 是等比数列 C数列 1nn a a 是等比数列 D数列 2 log n a是递减数列
4、10已知点 P 是ABC 所在的平面外一点，若AB(2，1，4)，AP(1，2，1)，AC (4， 2，0)，则 AAPAB BAP BP CBC53 DAP/ BC 11已知 p，q 都是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，则 Ap 是 q 的既不充分也不必要条件 Bp 是 s 的充分条件 Cr 是 q 的必要不充分条件 Ds 是 q 的充要条件 12设 P 是椭圆 C： 2 2 1 2 x y上任意一点，F1，F2是椭圆 C 的左、右焦点，则 APF1PF22 2 B2PF1PF22 C1PF1 PF22 D0 12 PF PF1 三、填空题（本大题共 4
5、小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 15 题共有 2 空，第 1 个空 3 分， 第 2 个空 2 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知抛物线的准线方程为 x2，则该抛物线的标准方程是 14中国古代数学某名著中有类似问题： “四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六 朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人一共走了 441 里路， 第一天健步行走，从第二天起脚痛，毎天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地， 请问第二天走了 里 15 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (ab0)的焦距为2 准
6、线方程为x3， 则该椭圆的标准方程是 ； 直线2yx与该椭圆交于 A，B 两点，则 AB 16 已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 9a ， 2 1 33 1 22 nn SSnn (Nn )， 则 52 S 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知 p：方程 22 1 22 xy mm 表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线；q：ama2 （1）若命题 p 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （本小题满分 12
7、分） 河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船 在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽 6m （1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； （2）近日水位暴涨了 1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至 少应该降低多少? （精确到 0.1m） 19 （本小题满分 12 分） 如图，已知点 E， F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC 和 CD 的中点，求： （1）AD 与 EF 所成角的大小； （2）A1F 与平面 B1CD1所成角的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a
8、的前 n 项和为 n S，满足32 nn Sa(Nn )；数列 n b为等差数列且 11 1ab ， 2 3 48a b （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 n T为数列 11 13 nnn SSS 的前 n 项和，求满足不等式 10 1023 3 2 n T 的 n 的最大值 21 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，PA3，PBPC5，ABAC2，BC 2 11 3 （1）求二面角 BAPC 大小的余弦值； （2）求点 P 到底面 ABC 的距离 22 （本小题满分 12 分） 如图，点 F 为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点
9、，点 A，B 分别为椭圆 C 的右顶点和上顶 点，点 P(2， 6 2 )在椭圆 C 上，且满足 OPAB （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（点 D 位于 x 轴上方） ，直线 AD 和 AE 的斜率 分别为 1 k和 2 k，且满足 1 k 2 k2，求直线 l 的方程 2019201920202020 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案高二数学参考答案及评分标准及评分标准 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 二、多项选择题
10、：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 x 9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 2 8yx； 14112； 15 22 1 32 xy ； 12 5 ； 162020. 17解： （1）因为方程 22 1 22 xy mm 表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线， 所以 20, +20, m m 解得0m ，所以命题p为真时实数m的取值范围为(0,) 5 分 （2）因为p是q的必要条件，所以qp，所以,20,a a，故0a 综上，实数a的取值范围为(0,)10 分 18解： （1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
11、 以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则( 12, 8)A ，(12, 8)B， 设拱桥所在的抛物线方程为 2 2(0)xpy p ，3 分 因点( 12, 8)A 在抛物线上，代入解得9p ， 故拱桥所在的抛物线方程是 2 18xy 6 分 （2）因 2 18xy ，故当3x 时，0.5y ， 故当水位暴涨 1.54m 后，船身至少应降低 6.5 1.54(80.5)0.54，.11 分 因精确到 0.1m，故船身应降低 0.6m 答：船身应降低 0.6m，才能安全通过桥洞12 分 19解：不妨设正方体的棱长为 1，以 1 ,DA DC DD为单位正交基底，
12、建立如图所示 空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为(1,0,0)A，(0,1,0)C， 1(0,1,1) C， 1(1,0,1) A， 1(1,1,1) B， 1(0,0,1) D， 1 ( ,1,0) 2 E， 1 (0,0) 2 F2 分 （1）因为 1 ( 1,0, 1)AD ， 11 (,0) 22 EF ，所以 22 1 ( 1)0( 1)2AD ， 22 112 ()()0 222 EF ， 1 11 00 22 AD EF，4 分 由 1 1 1 1 cos, 2 AD EF AD EF AD EF ，因 1 ,AD EF0, 故向量 1 AD与EF夹角为 3 ，因此， 1 AD
13、与EF所成角的大小为 3 6 分 （2） 1 1 ( 1, 1) 2 AF ， 1 ( 1,1,1)AC ， 11 (1,1,0)D B ， 1 (0,1, 1)DC ， 因为 111 1 1+1 1+1 0=0ACD B ， 11 1 0+1 1+1 ( 1)=0ACDC ， 所以 111 ACD B， 11 ACDC， 又 1111 DCDCD，所以 1 AC 平面 11 D BC，因此 1 AC是平面 11 D BC的法向量；8 分 因为 222 1 13 ( 1)( )( 1) 22 AF ， 222 1 ( 1)113AC ， 11 11 1 ( 1)1( 1) 1 22 AF AC
14、 ，10 分 所以， 11 11 11 3 cos, 9 AF AC AF AC AF AC ，11 分 综上， 1 A F与平面 11 D BC所成角的正弦值为 3 9 12 分 20解： （1）因为32 nn Sa，所以当1n 时， 11 32Sa，解得 1 3a 当n2时， 11 (32)(32) nnnnn aSSaa ，化简得 1 2 nn aa 又 1 30a ，所以0 n a ，因此 1 2 n n a a ， 所以 n a是首项为3公比为 2 的等比数列，即 1 3 2n n a ；.3 分 又 11 1ab ， 2 3 48a b ，即 1 31b ， 3 648b ，所以
15、1 2b ， 3 8b ， 因为数列为等差数列，所以公差 31 1 ()3 2 dbb，故31 n bn；.5 分 （2）由（1）知 n a是首项为3公比为 2 的等比数列，所以 1(1 ) 33 2 1 n n n aq S q ， 所以 11 13 nnn SSS 11 13 33 2(33 2 ) (33 2) nnn 11 11 3(12)3(12 ) (12) nnn 11 121111 () 3(12 ) (12)3 2121 n nnnn ，8 分 故 n T 1223341 111111111 ()()() 32121212121212121 nn 1 11 (1) 321 n
16、 10 分 n b 若 10 1023 3 2 n T ，即 110 111023 (1) 3213 2 n ，即 110 111 2110242 n ， 可得 110 212 n ，所以9n ， 综上，使得的最大的的值为 912 分 21解： （1）在ABP中作BDAP，垂足为D， 因为5PBPC，2ABAC，AP为公共边， 所以ABPACP，又BDAP，所以CDAP， 所以BDC为二面角BAPC的平面角；.2 分 又 222 PBABPA，所以90PBA， 故ABP的面积 11 22 ABP SAB PBPA BD ， 所以 2 5 3 AB PB BD PA ，同理 2 5 3 CD ，
17、 在BCD中， 222 1 cos 210 BDCDBC BDC BD CD ，.4 分 所以，二面角BAPC大小的余弦值为 1 10 .5 分 （2） （法一）取BC中点E，连结AE，PE，在平面PAE中作POAE，垂足为O 因为ABAC，所以AEBC同理PEBC 又AEPEE，AE 平面PAE，PE 平面PAE，所以BC 平面PAE 因为PO 平面PAE，所以POBC 又POAE，BCAEE，BC 平面ABC，AE 平面ABC， 所以PO 平面ABC， 10 1023 3 2 n T n P A B C D E O 因此，点P到底面ABC的距离即为PO的长；.8 分 在Rt ABE中， 2
18、222 15 () 23 AEABBEABBC， 在Rt PBE中， 2222 134 () 23 PEPBBEPBBC， 在PAE中， 222 4 cos 25 PAAEPE PAE PA AE ，.10 分 所以， 2 3 sin1 cos 5 PAEPAE， 在Rt PAO中， 9 sin 5 POPAPAE，.11 分 综上，点P到底面ABC的距离为 9 5 .12 分 （法二）由（1）知BDAP，CDAP，又BDBCD面，CDBCD面，BDCDD 所以APBCD面，则 1 3 P ABCP BCDA BCDBCD VVVPA S ， 在BCD中， 2 5 3 BDCD， 1 cos
19、10 BDC ， 故 1 sin 2 BCD SDB DCBDC 2 2 12 5111 1 23103 . 则 111 33 P ABCBCD VPA S . 在ABC中，2ABAC， 2 11 3 BC ，则 5 11 9 ABC S. 设点P到底面ABC的距离为h，则 111 33 P ABCABC VhS ，故 9 5 h . 22解： （1）由 6 (2,) 2 P 在椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 上得 22 23 1 2ab ； 如图，由A为C的右顶点B为C的上顶点可知( ,0)A a，(0, )Bb 因OPAB，所以 OPAB kk，则 3 2 b a ；
20、2 分 联立得方程组 22 23 1, 2 3 , 2 ab b a 解得 2, 3. a b 故所求椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2） （法一）因椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，所以( 1,0)F ，(2,0)A 因直线l的斜率不为 0，可设直线l的方程为1xky，设 11 ( ,)D x y， 22 (,)E x y， 联立方程组 22 1, 43 1, xy xky 消去x得 22 (34)690kyky ，6 分 解得 2 1,2 2 6121 2(34) kk y k ，故 12 2 6 34 k yy k ， 12 2 9 34 y y k ， 2 12
21、2 121 34 k yy k 因2 ADAE kk ，则 12 12 2 22 yy xx ，则 12 12 2 33 yy kyky ，即 21 2 1212 3() 2 3 ()9 yy k y yk yy ， 化简得 2 12k ，故3k ，10 分 所以直线l的方程为31xy ，即310 xy .12 分 （法二）因椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，所以( 1,0)F ，(2,0)A 当直线l的斜率不存在时1 ADAE kk 6 分 当直线l的斜率存在时，设l的方程为(1)yk x，设 11 ( ,)D x y， 22 (,)E x y， 联立方程组 22 1, 43 (1),
22、 xy yk x 消去y得 2222 (43)84120kxk xk， 解得 22 1,2 2 8121 2(43) kk x k ，故 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k ， 2 12 2 121 43 k xx k 因2 ADAE kk ，则 12 12 2 22 yy xx ，由(1)yk x得 12 12 (1)(1) 2 22 k xk x xx ，即 21 12 3 () 2 (2)(2) k xx xx ，8 分 21 1212 3 () 2 2()4 k xx x xxx ， 2 2 22 22 121 3() 43 41216 4 4343 k k k kk kk 2 ， 化简得 2 12kk ，解得 3 3 k ， 所以直线l的方程为 3 (1) 3 yx ，即310 xy 12 分
